1.3 正方形的性质与判定（第1课时，正方形的性质）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

九年级北师大版数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定 第一课时 正方形的性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱 形之间的联系和区别.(重点、难点) 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. （难点） 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 你还能举出其他的例子吗？ 情景导入 矩 形 〃 〃 矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 正方形 1.正方形的性质 问题1 新知探究 5 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 正方形 问题2 图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 你能总结出正方形的定义吗？ 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 概念归纳 1.已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 证一证 2.已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 证一证 （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流. 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质. 议一议 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.  正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 4条 A B C D 议一议 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 概念归纳 平行四边形的性质 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 菱形的性质 四条边相等 对角线互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 矩形的性质 正方形的性质 概念归纳 相关图形性质的关系 例1.求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. A D C B O 已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相 交于点O. 求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的 等腰直角三角形. 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都 是等腰直角三角形,并且 △ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO. 典例剖析 例2 (课本例5)如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF, 且 BE⊥DF. 理由如下： （1）∵四边形 ABCD 是正方形. ∴BC = DC,∠BCE = 90°（正方形的四条边都 相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵CE = CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF. 典例剖析 （2）延长 BE 交 DF 于点 M. ∵△BCE ≌ △DCF. ∴∠CBE = ∠CDF. ∵∠DCF = 90°. ∴∠CDF +∠F = 90°. ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°. ∴BE ⊥ DF. 例2 (课本例5)如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 典例剖析 例3.如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° . 证明：∵ ΔBEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°， ∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°. 典例剖析 【变式1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小． 解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 典例剖析 当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC的大小为30°或150°. 易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部． 典例剖析 【变式2】 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD． （1）求证：△APB≌△DPC； 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠DCB=90°． ∵PB=PC， ∴∠PBC=∠PCB． ∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB， 即∠ABP=∠DCP． 又∵AB=DC，PB=PC， ∴△APB≌△DPC． 典例剖析 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠DAC=45°． ∵△APB≌△DPC， ∴AP=DP． 又∵AP=AB=AD， ∴DP=AP=AD． ∴△APD是等边三角形． ∴∠DAP=60°． ∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°． ∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°． ∴∠BAP=2∠PAC． （2）求证：∠BAP=2∠PAC． 典例剖析 例4.如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF. A B C D P E F 解: 连接PC，AC. 又∵PE⊥BC ， PF⊥DC, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD, ∴四边形PECF是矩形, ∴PC=EF. ∴AP=PC. ∴AP=EF. 归纳总结：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明. 典例剖析 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 B D 练一练 3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 ∴正方形的周长为4AD＝ ， 面积为AD2＝8. 练一练 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点， 连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其 中一对进行证明. 解：图中的全等三角形共有 3 对， 分别是 △ADC 与 △ABC, △FCD与 △FCB, △FAD 与 △FAB． 选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下： ∵正方形 ABCD, ∴AD = AB,∠DAF =∠BAF, 又∵AF = AF， ∴△FAD≌△FAB. 随堂练习 解：设正方形的边长为x cm， 则x2+x2=22，解得x= . ∴正方形的边长为 cm. 对角线长为2 cm的正方形，边长是多少？ 1. 如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，求∠AEB的度数． 2. 解：∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABC=90°,AB=BC. ∵△CBE是等边三角形, ∴BE=BC=AB,∠EBC=60°.∴∠ABE=30°. ∴∠AEB= (180°－∠ABE)=75°. 习题1.7 知识技能 证明：如图，AQ与BP交于点O. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA， ∠BAD=∠D=90°. 如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD= QC．证明两条直路BP=AQ且BP⊥AQ． 3. 数学理解 ∵PD=QC,∴AP=DQ. ∴△ABP≌△DAQ(SAS). ∴BP=AQ,∠1=∠2. ∵∠BAD=∠2+∠3=90°， ∴∠1+∠3=90°. ∴∠AOB=90°，即BP⊥AQ. 在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考虑道路的宽度）．你有几种方法？（至少说出三种） 4. 解：过正方形两条对角线的交点任意做两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小、形状完全相同的四部分. 问题解决 如图所示即为所求（答案不唯一）. 相等 直角 4 B 分层练习-基础 15° 分层练习-基础 直角 相等 A C 分层练习-基础 2 分层练习-基础 分层练习-基础 A 分层练习-巩固 C 分层练习-巩固 13 分层练习-巩固 6 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 课堂小结 知识点一：正方形的定义及轴对称性 有一组邻边 ，并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形．正方形是轴对称图形，有 条对称轴． 1．如图，已知四边形ABCD是矩形，则添加下列哪一个条件可使得四边形ABCD是正方形( ) A．AC＝BD　　 B．AB＝BC　　 C．AB⊥BC　　 D．AD＝BC 2．如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠DCE＝ . 知识点二：正方形的性质 性质定理1：正方形的四个角都是 ，四条边都 ． 性质定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分． 3．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( ) A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为( ) A．45° B．55° C．60° D．75° 5．若正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 cm2. 6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的边长是　 　. eq \r(5) 7．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G. (1)求证：AE＝CF； (2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小． (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∵BE⊥BF，∴∠FBE＝90°，∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∠CBF＋∠EBC＝90°，∴∠ABE＝∠CBF，∵BE＝BF， ∴△AEB≌△CFB(SAS)，∴AE＝CF； (2)解：80° 8．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B＝90°时，如图①，测得AC＝2；当∠B＝60°时，如图②，AC等于( ) A.eq \r(2)　　 B．2　　 C.eq \r(6)　　 D．2eq \r(2) 9．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( ) A．7 B．8 C．7eq \r(2) D．7eq \r(3) 10．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于　 　. 11．如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为 cm. 2eq \r(5) 12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 . 13．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF、CE交于点G.求证：AG＝CG. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADF＝∠CDE＝90°，AD＝CD，∵AE＝CF，∴DE＝DF，∴△ADF≌△CDE，∴∠DAF＝∠DCE，又∵∠AGE＝∠CGF，AE＝CF，∴△AGE≌△CGF，∴AG＝CG. 14．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE. (1)求证：CE＝CF； (2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？ (1)证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF； (2)解：GE＝BE＋GD成立．理由是：∵由(1)得△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF，∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG(SAS)．∴GE＝GF.∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD. 15．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F. (1)证明：∠BAE＝∠FEC； (2)证明：△AGE≌△ECF； (3)求△AEF的面积． (1)证明：∵∠AEF＝90°，∴∠FEC＋∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC； (2)证明：∵G、E分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，∴AG＝GB＝BE＝EC，且∠AGE＝180°－45°＝135°.又∵CF是∠DCH的平分线，∴∠ECF＝90°＋45°＝135°.在△AGE和△ECF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AG＝EC,∠AGE＝∠ECF＝135°,∠GAE＝∠FEC))，∴△AGE≌△ECF； (3)解：由△AGE≌△ECF，得AE＝EF.又∵∠AEF＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形．由AB＝a，BE＝eq \f(1,2)a，知AE＝eq \f(\r(5),2)a，∴S△AEF＝eq \f(1,2)·AE·EF＝eq \f(1,2)·eq \f(\r(5),2)a·eq \f(\r(5),2)a＝eq \f(5,8)a2. 会解平移、旋转等变换问题． 【例1】把正方形ABCD绕着点A按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H(如图)．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察、猜想，然后再证明你的猜想． 【思路分析】本题是将正方形ABCD绕着点A按顺时针方向进行旋转，画出正方形AEFG，构造全等三角形． 【规范解答】HG＝HB.证明：连接AH(如图)．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴∠B＝∠G＝90°.由题意知AG＝AB，又AH＝AH，∴Rt△AGH≌Rt△ABH，∴HG＝HB. 【方法归纳】证明两线段相等：①若两条线段在同一三角形中，一般证等腰三角形，②若两线段分别在两个形状相同的三角形中一般证其全等，③若两线段在同一四边形中，一般需证这个四边形为特殊四边形，④若两线段联系不明显，一般需进行等量转化． 会利用正方形性质进行有关计算． 【例2】如图，并排摆放两个正方形ABCD和FEBG，其中正方形FEBG的边长为3cm，则图中阴影部分的面积是　 　. eq \f(9,2)cm2 【思路分析】设正方形ABCD的边长为a，则S阴影部分＝S△EBG＋S梯形GBCD－S△ECD＝eq \f(1,2)×3×3＋eq \f(1,2)(3＋a)a－eq \f(1,2)(3＋a)a＝eq \f(9,2)(cm2)． 【方法归纳】此题除上述解法还可以连接BD，根据两直线平行，同底等高进行转化S△DGE＝S△EGB＝eq \f(9,2)(cm2)． $$