2.3 基本不等式及其应用（第1课时）（九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

2.3 基本不等式及其应用（第1课时） 题型1：平均值不等式 1．平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有 ，且等号当且仅当 时成立； 定理：对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立． 2．已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为 ． 3．不等式中等号成立的条件是 ． 4．设、为正数，且与的算术平均值为1，则与的几何平均值最大值为 . 5．已知，则的取值范围为 ． 题型2：几个重要不等式的内容及辨析 6．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是 A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b 7．设a，b为非零实数，给出不等式： ①；②；③；④. 其中恒成立的不等式是 ． 8．若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 题型3：由基本不等式比较大小 9．设，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，且，那么（    ） A． B． C． D． 11．给出下列不等式： ①；     ②；    ③； ④；   ⑤. 其中正确的是 (写出序号即可)． 12．若a>0，b>0，则 与 的大小关系是 . 13．若，，且，则在中最大的一个是 . 14．已知，则与的大小关系是 题型4：由基本不等式求最值 15．平均值不等式与最值 已知，，则 （1）若（和为定值），则当时，积取得最大值 ； （2）若（积为定值），则当时，和取得最小值 ． 16．设、为正数，且，则 （填“，，，”） 17．已知实数、满足，则的最大值为 ． 18．已知，那么c的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 19．已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．2 20．已知函数()，当时，取得最小值，则（    ） A． B．2 C．3 D．8 21．（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 22．已知，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 23．已知，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5：基本不等式中“1”的妙用 24．已知，，，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 25．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 27．已知，条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．已知，，且，则的最小值为 . 29．已知a>0，b>0，且+=1，则4a+2b+的最小值为 . 题型6：基本不等式的恒成立问题 30．若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 31．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．若关于x的不等式对于一切实数x都成立，则实数a的范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 33．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 题型7：二次与二次（或一次）的商式最值 34．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 35．若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 36．若实数满足：，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型8：基本不等式的实际应用 38．甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 39．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为 . 40．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1500步有树，出南门1200步能见到此树，则该小城的周长的最小值为 里（注：1里=300步）． 41．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 . 42．运货卡车以的速度匀速行驶，按交通法规限制速度为（单位：），假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油，司机的工资是每小时46元.令行车总费用为（元），当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值. 43．某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）．设矩形绿地的南北侧边长为x米．    (1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围； (2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到0.1m）． 题型9：由基本不等式证明不等关系 44．已知，，，且．求证：． 45．设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 46．已知a，b，c均为正实数，且． (1)求abc的最大值； (2)求证：． 一、填空题 1．下面四个推导过程正确的有 ．（填序号） ①若、为正实数，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． 2．若正数，满足，则的最大值为 . 3．若正实数满足，则的最大值为 . 4．如果关于的不等式的解集为，其中常数，则的最小值是 . 5．设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为 . 6．设，则的最大值为 . 二、单选题 7．如果正数满足，那么（　　） A．，且等号成立时的取值唯一 B．，且等号成立时的取值唯一 C．，且等号成立时的取值不唯一 D．，且等号成立时的取值不唯一 8．某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 9．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 三、解答题 11．为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/小时的公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：. (1)当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？ (2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 12．已知，集合. (1)用区间表示集合； (2)设，探究能否为有限集？若能，求出使中元素个数最少时的的取值范围，及此时的集合；若不能，请说明理由. 13．设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ (1)令，用a、b表示 (2)求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 基本不等式及其应用（第1课时） 题型1：平均值不等式 1．平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有 ，且等号当且仅当 时成立； 定理：对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立． 【答案】 【解析】略 2．已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可. 【解析】由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立， 故答案为：2 3．不等式中等号成立的条件是 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【解析】由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 故答案为： 4．设、为正数，且与的算术平均值为1，则与的几何平均值最大值为 . 【答案】1 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解. 【解析】由题意可得：，， 可知与的几何平均值为，当且仅当时等号成立， 所以与的几何平均值最大值为1. 故答案为：1. 5．已知，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，分别利用基本不等式计算可得. 【解析】因为， 当时，，∴，当且仅当时取等号； 当时，，∵， ∴，当且仅当时取等号． ∴的取值范围是． 故答案为： 题型2：几个重要不等式的内容及辨析 6．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是 A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b 【答案】B 【解析】因为0<a<b，所以由基本不等式得<， 且<＝b，又a＝<，故a<<<b，故选B. 7．设a，b为非零实数，给出不等式： ①；②；③；④. 其中恒成立的不等式是 ． 【答案】①② 【解析】由a2＋b2≥2ab可判断①②正确；取特殊值可判断③④错误. 【解析】对于①，由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确； 对于②， ，故②正确； 对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为，右边为，可知③不正确； 对于④，令a＝1，b＝－1可知④不正确． 故答案为：①②. 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题. 8．若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可. 【解析】因为，显然有，故A正确； 而，所以，故B正确； 又，所以，故C正确； 不妨令则，故D错误. 故选：D. 题型3：由基本不等式比较大小 9．设，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质结合基本不等式即得. 【解析】， ，，，即, . 故选：A． 10．已知，，且，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误. 【解析】因为，，由基本不等式可得，， 上述两个不等式当且仅当时成立，故ABD选项错误，C选项正确. 故选：C. 11．给出下列不等式： ①；     ②；    ③； ④；   ⑤. 其中正确的是 (写出序号即可)． 【答案】② 【分析】利用特殊值排除错误的不等式，利用基本不等式证明正确的不等式. 【解析】当时，，所以①不正确； 因为与同号，所以，所以②正确； 当时，，所以③不正确； 当时，，所以④不正确； 当时，，所以⑤不正确． 故答案为：② 【点睛】本小题主要考查基本不等式，属于基础题. 12．若a>0，b>0，则 与 的大小关系是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式的性质即可判断出结论. 【解析】因为， 所以，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关不等式的问题，正确解题的关键是能够熟练掌握基本不等式，注意等号成立的条件. 13．若，，且，则在中最大的一个是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式和不等式的基本性质判断. 【解析】因为， 所以，且， 由不等式的基本性质得， 所以在中最大的一个是 故答案为： 14．已知，则与的大小关系是 【答案】. 【分析】将化为，然后运用基本不等式比较大小. 【解析】∵，∴，， ∴，当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式的运用，属于简单题，将化为是关键. 题型4：由基本不等式求最值 15．平均值不等式与最值 已知，，则 （1）若（和为定值），则当时，积取得最大值 ； （2）若（积为定值），则当时，和取得最小值 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合基本不等式，准确运算，即可求解. 【解析】解：（1）因为且，可得， 当且仅当时，等号成立，所以取得最大值. （2）因为且，可得， 当且仅当时，等号成立，所以取得最大值. 故答案为：；. 16．设、为正数，且，则 （填“，，，”） 【答案】 【分析】由已知结合基本不等式即可比较大小． 【解析】因为、为正数，且， 所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立． 故答案为： 17．已知实数、满足，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】使用重要不等式即可得解 【解析】因为，又 所以，即，当且仅当时取等号， 故答案为：2. 18．已知，那么c的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用基本不等式即可得解. 【解析】由于，所以， 当且仅当时，等号成立，即c的最大值为1， 故选：A. 19．已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】B 【分析】根据基本不等式即可求解最值. 【解析】由于，故，所以，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4， 故选：B 20．已知函数()，当时，取得最小值，则（    ） A． B．2 C．3 D．8 【答案】C 【分析】通过题意可得，然后由基本不等式即可求得答案 【解析】解：因为，所以， 所以, 当且仅当即时，取等号， 所以y的最小值为1， 所以，所以， 故选：C 21．（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 【答案】 1 6 【分析】（1）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （2）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （3）用分离常数法得，再用基本不等式即可求解. 【解析】（1），，， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故所求的值为. （2），，即， 则 ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最大值为1. （3）， ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值为. 故答案为：. 22．已知，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由基本不等式求解即可 【解析】因为， 所以可得， 则， 当且仅当，即时，上式取得等号， 的最大值为2． 故选：A． 23．已知，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊值排除错误选项，由此得出正确答案.另可用基本不等式证明A选项正确. 【解析】当时，，，所以CD选项错误. 当时，，，所以B选项错误. ， 即当且仅当或时等号成立. 则，，解得. 故选：A 题型5：基本不等式中“1”的妙用 24．已知，，，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】将化为，即可将变形为，结合基本不等式即可求得答案. 【解析】， ， （当且仅当时等号成立）， 故选：C 25．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得结果. 【解析】由，，得：， （当且仅当，即，时取等号）， 的最小值为. 故选：C. 26．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】转化后由基本不等式“1”的妙用求解 【解析】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立.所以的最小值为2. 故选：A 27．已知，条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用“1”的妙用探讨命题“若p则q”的真假，取特殊值计算说明“若q则p”的真假即可判断作答. 【解析】因为，由得：， 则， 当且仅当，即时取等号，因此，， 因，，由，取，则，，即，， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 28．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】12 【分析】，展开后利用基本不等式可求． 【解析】∵，，且， ∴ ， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为12． 故答案为：12． 29．已知a>0，b>0，且+=1，则4a+2b+的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题设可得，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案. 【解析】， ，，则，，        ，当且仅当时等号成立， 的最小值为. 故答案为：. 题型6：基本不等式的恒成立问题 30．若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】将不等式对任意正数恒成立，化为恒成立，利用基本不等式求得的最小值，即可求得答案. 【解析】由题意不等式对任意正数恒成立， 即恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 则， 当且仅当时，等号成立， 故，即实数x的最大值为， 故选：C 31．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为不等式恒成立，结合基本不等式求得，即可求解. 【解析】因为对任意，不等式， 即不等式恒成立， 因为，可得，当且仅当时，即等号成立， 所以，所以. 故选：D. 32．若关于x的不等式对于一切实数x都成立，则实数a的范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】，其中，据此可得答案. 【解析】关于x的不等式对于一切实数x都成立， 则，其中. 又，则由基本不等式有： ，当且仅当，即时取等号. 则. 故选：C 33．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件及分离参数将不等式恒成立转为为，再利用基本不等式即可求解. 【解析】由不等式对任意恒成立转化为 ，其中,即可. ， 当且仅当，即时，等号成立， 即， 所以实数的取值范围是 . 故选：A. 题型7：二次与二次（或一次）的商式最值 34．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【解析】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 35．若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【解析】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A 36．若实数满足：，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据基本不等式可求的最小值. 【解析】因为，所以， 由基本不等式可得， 故，解得或（舍），即 当且仅当时等号成立， 故的最小值为1， 故选：A. 37．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用可得，根据基本不等式最值成立的条件可得，代入可得关于的二次函数，利用单调性求最值即可. 【解析】 由正实数，，满足， ． ， 当且仅当时取等号，此时． ，当且仅当时取等号， 即的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 题型8：基本不等式的实际应用 38．甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 【答案】50 【分析】依据题意建立函数关系，再利用基本不等式求解最值即可. 【解析】设汽车速度为千米/时，运输成本为， ∴当且仅当，即时，运输成本最小． 故答案为：50 39．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为 . 【答案】6 【分析】设矩形空地的长为m，根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积，利用基本不等式即可求出结果. 【解析】设矩形空地的长为m，则宽为m， 依题意可得，试验区的总面积， 当且仅当即时等号成立， 所以每块试验区的面积的最大值为. 故答案为：6 40．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1500步有树，出南门1200步能见到此树，则该小城的周长的最小值为 里（注：1里=300步）． 【答案】 【分析】根据题目条件得到，再利用均值不等式计算得到答案. 【解析】设该小城的长宽分别为，，步里，步里， 则，即， 故周长为，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 41．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 . 【答案】3 【分析】计算出，得到，由基本不等式求出. 【解析】因为，，所以， 故， 因为，当且仅当时，等号成立， 故， 故答案为：3 42．运货卡车以的速度匀速行驶，按交通法规限制速度为（单位：），假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油，司机的工资是每小时46元.令行车总费用为（元），当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值. 【答案】当时，这次行车的总费用最低，最低费用为600元 【分析】结合题意列出解析式，再利用基本不等式求解即可. 【解析】行车所用时间，根据汽油的价格是每升6元，汽车每小时耗油，司机的工资是每小时46元， 可得行车总费用为. ，当且仅当，即时，等号成立. 所以当时，这次行车的总费用最低，最低费用为600元. 43．某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）．设矩形绿地的南北侧边长为x米．    (1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围； (2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到0.1m）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知得出人行道的占地面积为.进而得出不等式，求解不等式，即可得出答案； （2）根据基本不等式求解，即可得出的最小值. 【解析】（1）由已知可得，矩形绿地的东西侧边长为米， 则人行道的占地面积为. 由已知可得，， 整理可得，，解得. （2）由（1）知，人行道的占地面积为， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，矩形绿地的南北侧边长为时，人行道的占地面积最小． 题型9：由基本不等式证明不等关系 44．已知，，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将证明式子中的1用代换，整理为，根据基本不等式即可证明． 【解析】因为a，b，c都为正实数，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以． 45．设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证； （2）根据，，，即可得证. 【解析】（1）由，得， 又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，， 当且仅当时，上述不等式等号均成立， 所以， 即， 所以，当且仅当时等号成立； （2）因为，，均为正数， 则，，，当且仅当时，不等式等号均成立， 则， 即，当且仅当时等号成立. 所以. 46．已知a，b，c均为正实数，且． (1)求abc的最大值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）变形后，利用三元基本不等式求出最值； （2）变形后，利用基本不等式“1”的妙用进行求解 【解析】（1）， 当且仅当，即时等号成立． （2）证明： ， 当且仅当同时成立， 即时等号成立． 一、填空题 1．下面四个推导过程正确的有 ．（填序号） ①若、为正实数，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． 【答案】①③． 【分析】利用基本不等式的性质判断①③④，利用基本不等式的条件判断②即可. 【解析】①中，因为，为正实数，所以、为正实数， 符合平均值不等式的条件，故①正确； ②中，因为，，不符合平均值不等式的条件， 所以是错误的； ③中，由，得、均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，、均变为正数，符合平均值不等式的条件，故③正确； ④中，对任意的，都有，即，所以④错误． 故答案为：①③． 2．若正数，满足，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】根据得出，得出，，根据的范围求出的范围即可. 【解析】，，，所以，即，， 根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2. 故答案为：2. 3．若正实数满足，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】将用的表达式表示，结合，利用均值不等式求出，从而确定的范围. 【解析】因为， 所以， 又且， 所以， 解得， = 结合知，有最大值4. 故答案为：4. 4．如果关于的不等式的解集为，其中常数，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和基本不等式即可求解. 【解析】不等式的解集为，其中常数， 所以是方程的实数根， 时，，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值是 故答案为： 5．设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为 . 【答案】[1,13] 【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围. 【解析】二次函数f(x)对称轴为， ∵f(x)值域为， ∴且，n＞0. ， ∵ ==== ∴，， ∴∈[1,13]. 故答案为：[1,13]. 6．设，则的最大值为 . 【答案】 【分析】依题意将原式变形为，再利用基本不等式，令，即可求出，从而得解； 【解析】解： 令或（舍去） 所以 故答案为： 二、单选题 7．如果正数满足，那么（　　） A．，且等号成立时的取值唯一 B．，且等号成立时的取值唯一 C．，且等号成立时的取值不唯一 D．，且等号成立时的取值不唯一 【答案】A 【解析】正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A． 8．某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 【答案】C 【分析】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项. 【解析】设原来的水价为，AB选项中，两次提价后的水价为， C选项中，两次提价后的水价为， D选项中，两次提价后的水价为， 因为，则，则， 所以，，则， 即， 由基本不等式可得， 所以，. 故选：C. 9．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可. 【解析】 ，要使得不等式有解，只需有解即可， 解得或者， 故选：D 10．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式分析判断即可. 【解析】因为，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当，时取等号， 即时，必有，， 所以成立， 所以由，可推出， 因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，必有成立， 此时，不一定成立， 所以由推不出， 所以“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 三、解答题 11．为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/小时的公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：. (1)当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？ (2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【答案】(1)车辆的平均速度为35千米/小时，最大车流量为12000辆/小时； (2). 【分析】（1）利用函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最大值即得. （2）利用给定条件，列出不等式并求解即得. 【解析】（1）当时，函数在上单调递增，当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以车辆的平均速度为35千米/小时时，公路段的车流量最大，最大车流量为12000辆/小时. （2）当时，，整理得，解得，则， 当时，，不等式化为： ，整理得，解得或，则， 所以汽车的平均速度应在范围内. 12．已知，集合. (1)用区间表示集合； (2)设，探究能否为有限集？若能，求出使中元素个数最少时的的取值范围，及此时的集合；若不能，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)能，，此时 【分析】（1）对的取值进行分类讨论，利用一次不等式和二次不等式的解法解原不等式，可得原不等式的解集； （2）当时，为无限集，当时，为有限集，利用基本不等式可得出，可知当时，集合中的元素个数最少，求出此时的集合，进而可求得集合. 【解析】（1）解：当时，解方程，得或， ①当时，，则， 解原不等式可得，即； ②当，，当且仅当时，等号成立， 解原不等式可得或，即； 当时，. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. （2）解：由（1）可知，当时，为无限集，当时，为有限集， 此时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即当时，，此时，. 13．设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ (1)令，用a、b表示 (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，消去y即可得结果； （2）令，由（1）整理可得，结合常用不等式分析求解. 【解析】（1）因为，可得， 整理得. （2）令，由（1）可得：，即， 因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当，等号成立， 即，则， 可得，即， 所以的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$