21.6 综合与实践-获取最大利润（同步课件）数学沪科版九年级上册

九年级沪科版数学上册 第二十一章二次函数与反比例函数 21.6 综合与实践 获取最大利润 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点） 日常生活中存在着许多与数学知识有关的问题． 比如在商品买卖的过程中，如果将商品定价过高，可能会导 致无人购买；如果商品定价过低，可能会导致无利可图．那 么如何定价才能使商场获得最大的利润呢？ 情景导入 一个制造商制造一种产品，它的成本可以分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品 建造厂房 购置设备 培训工人等费用，如果没有更换产品，我们将它看为常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力 材料 包装 运输等费用。例如，生产一种收音机的成本（单位：元）可以近似的表述为 其中C表示生产 t台收音机的总成本，当t=0时 C=120t+1000 ① C成本=120×0+1000=1000 1000元是固定成本，由此可知①式中120t表示可变成本 1.如何定价利润最大 新知探究 制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年销售量 t 和产品的销售单价 x 的乘积，设R表示年总收入，则 R年总收入=t ·x ② 制造商的年利润是出售产品的年收入和生产这些产品的总成本之间的差额，通常设为 p 表示年利润 P利润=R年总收入-C成本 ∴ P利润=R-C=t·x-c ③ 问题1 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降。假设某市场分析专家提供了下列数据 销售单价x/元 50 100 150 300 年销售量t/件 5000 4000 3000 0 设生产t件该产品的成本为 C=50t+1000 (1)在右图中，描出上述表格中各组数据对应的点 4000 1000 2000 3000 5000 50 100 150 200 250 300 x/元 t/件 O · · · · 销售单价x/元 50 100 150 300 年销售量t/件 5000 4000 3000 0 C=50t+1000 4000 1000 2000 3000 5000 50 100 150 200 250 300 x/元 t/件 O · · · · （2）描出的这些点在一条直线吗？求t和x之间的函数关系式 解：由右图可知：这些点在一条直线上，设函数的解析式为：t=kx+b 任意选取两点代入 求得：k=-20,b=6000 ∴t=-20x+6000 （3）销售单价x和年销售量t各为多少时，年利润P最大？ =-20x²+6000x-50t-1000 解：∵R年总收入=t ·x ∴R年总收入=(-20x+6000) ·x ∴P利润=R年总收入-C成本=t·x-c ∴P利润=(-20x+6000) ·x -(50t+1000) =-20x²+6000x-50(-20x+6000)-1000 =-20x²+7000x-301000 由公式可得：当 x= 时 即x=175, P最大 = P=311500元. ∴t=-20x+6000=2500， 例：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. （1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？ 解：由题意得：当40≤x≤50时， Q = 60(x－30)= 60x－1800 ∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大 ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200 答：此时每月的总利润最多是1200元. （2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：当50≤x≤70时， 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20). 50k+b=60 70k+b=20 ∴ ∴y =－2x +160（50≤x≤70） 解得： k =－2 b = 160 ∴y =－2x +160（50≤x≤70） ∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70) ∵a = －2＜0，图象开口向下， ∴当x = 55时，Q最大= 1250 ∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大， 最大利润是1250元. 解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218 ∴售价x应在50~70元之间. ∴令：－2(x－55)2 +1250=1218 解得：x1=51，x2=59 当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件) 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件) ∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件. （3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？ 变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：Q与x的函数关系式为： 60x－1800 （40≤x≤50） －2(x－55)2 + 1250 （50≤x≤70） Q = 由例3可知： 若40≤x≤50， 则当x=50时，Q最大= 1200 若50≤x≤70， 则当x=55时，Q最大= 1250 ∵1200＜1250 ∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元. （2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围； 解：①当40≤x≤50时， ∵Q最大= 1200＜1218， ∴没有此情况 60x－1800 （40≤x≤50 ） －2(x－55)2 + 1250 （50≤x≤70） Q = ②当50≤x≤70时， Q最大= 1250>1218， 令Q = 1218，得 －2(x－55)2 +1250=1218 解得：x1=51，x2=59 由Q = －2(x－55)2 +1250的 图象和性质可知: 当51≤x≤59时，Q≥1218 ∴若该商品所获利润不低于1218元， 则售价x的取值范围为51≤x≤59. x Q 0 55 1218 59 51 1250 （3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？ 解：由题意得： 51≤x≤59 30 (－2 x +160)≥1620 解得：51≤x≤53 ∵Q=－2(x－55)2 +1250的顶点 不在51≤x≤53范围内， 又∵a =－2＜0， ∴当51≤x≤53时 ， Q随x的增大而增大 ∴当x最大 = 53时，Q最大= 1242 ∴此时售价x应定为53元， 利润最大，最大利润是1242元. x Q 0 55 1242 53 51 制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据 问题 2 年销售量t/件 750 3000 5096 8500 9417 销售单价x/元 3850 3400 3000 2300 2100 设生产t件某种电子产品的成本（单位：元）可以近似的表示为： C=1000t+2 000 000 （1）在图中，描出上述表格中各组数据对应的点 3500 2000 2500 3000 4000 1000 2000 3000 4000 7000 8000 t/件 x/元 0 5000 6000 9000 10000 · · · · · 年销售量t/件 750 3000 5096 8500 9417 销售单价x/元 3850 3400 3000 2300 2100 （2）假如该企业高薪聘你，请你分析，当年销售量t和销售单价 x 分别是多少时，年利润 P 最大？并说说你有几种求解方法？与同学进行交流. 请同学们发散思维 解：通过图像可以观察：这些点几乎在一条直线上，不妨设解析式为： x=kt+b 将点（3000，3400）和点（8500，2300）代入x=kt+b中可得 ∵R年总收入=t ·x ∴P利润=R年总收入-C成本=t·x-c ∴ x=2500 由公式 t=- 时，t=7500 = 9250000 B B 分层练习-基础 120 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 课堂小结 1．某汽车经销商销售汽车所获利润y(元)与销售量x(辆)之间的关系满足y＝－x2＋10000x＋250000，则当0＜x≤4500时，最大利润是(　　) A．2500元　　　　　　 B．25000000元 C．2250元 D．24997500元 2．一件工艺品进价为100元，按标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(　　) A．4元　　 B．5元 C．8元　　 D．10元 3．某产品进货单价为90元，按100元一件售出时，能售500件，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，为了获得最大利润，其单价应定为 元． 4．某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，且获利不得高于40%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40. (1)求一次函数y＝kx＋b的表达式； (2)若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？ 解：(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(70k＋b＝50,80k＋b＝40))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝120))，∴所求一次函数表达式为y＝－x＋120；　 (2)依题意有，60≤x≤84，w＝(x－60)(－x＋120)＝－x2＋180x－7200＝－(x－90)2＋900，∵抛物线的开口向下，当x＜90时，w随x的增大而增大，而60≤x≤84，∴x＝84时，w最大＝(84－60)×(120－84)＝864.答：当销售单价定为84元/件时，商场可获得最大利润，最大利润是864元． 5．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)设y＝kx＋b，把(22,36)与(24,32)代入得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(22k＋b＝36,24k＋b＝32))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－2,b＝80))，则y＝－2x＋80； (2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意得：(x－20)y＝150，则(x－20)(－2x＋80)＝150，整理得：x2－60x＋875＝0，(x－25)(x－35)＝0，解得：x1＝25，x2＝35(不合题意舍去)，答：每本纪念册的销售单价是25元；　 (3)由题意可得：w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋200，此时当x＝30时，w最大，又∵售价不低于20元且不高于28元，∴x＜30时，y随x的增大而增大，即当x＝28时，w最大＝－2(28－30)2＋200＝192(元)，答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 6．某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1＝－20x1＋1500(0＜x1≤20，x1为整数)；冰箱的采购单价y2(元/台)与采购数量x2(台)满足y2＝－10x2＋1300(0＜x2≤20，x2为整数)． (1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的eq \f(11,9)，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？ (2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完，在(1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润． 解：(1)设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为(20－x)台，由题意得， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥\f(11,9)20－x　①,－20x＋1500≥1200　②))，解不等式①得，x≥11，解不等式②得，x≤15.所以，不等式组的解集是11≤x≤15.∵x为正整数，∴x可取的值为11、12、13、14、15，所以，该商家共有5种进货方案；　 (2)设总利润为W元，y2＝－10x2＋1300＝－10(20－x)＋1300＝10x＋1100，则W＝(1760－y1)x1＋(1700－y2)x2＝1760x－(－20x＋1500)x＋(1700－10x－1100)(20－x)＝1760x＋20x2－1500x＋10x2－800x＋12000＝30x2－540x＋12000＝30(x－9)2＋9570，当x＞9时，W随x的增大而增大，∵11≤x≤15，∴当x＝15时，W最大值＝30(15－9)2＋9570＝10650(元)．答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润为10650元． 7．旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元． (1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费) (2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，由50x－1100＞0，解得x＞22，又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元；　 (2)设每天的净收入为y元，则0＜x≤100时，y1＝50x－1100，∵y1随x的增大而增大，∴当x＝100时，y1的最大值为50×100－1100＝3900；当x＞100时，y2＝(50－eq \f(x－100,5))x－1100＝－eq \f(1,5)x2＋70x－1100＝－eq \f(1,5)(x－175)2＋5025，当x＝175时，y2的最大值为5025,5025＞3900，故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元． 8．九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90 售价(元/件) x＋40 90 每天销量(件) 200－2x 200－2x 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天利润为y元． (1)求出y与x的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果． 解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000，当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000，综上所述：y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x2＋180x＋20001≤x＜50,－120x＋1200050≤x≤90))；　 (2)当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x＝45，当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x＝50时，y最大＝6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；　 (3)当20≤x≤60时，每天销售利润不低于4800元． 获取最大利润问题 某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75.其图象如图． (1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ 解：(1)y＝ax2＋bx－75的图象过点(5,0)、(7,16)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(25a＋5b－75＝0,49a＋7b－75＝16))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝20))，y＝－x2＋20x－75的顶点坐标是(10,25)．当x＝10时，y最大＝25.答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；　 (2)∵函数y＝－x2＋20x－75图象的对称轴为直线x＝10，可知点(7,16)关于对称轴的对称点是(13,16)，又∵函数y＝－x2＋20x－75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16.答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元． $$