3.2图形的旋转（9大题型提分练）数学浙教版九年级上册

九年级数学上册《圆的基本性质》 3.2 图形的旋转 知识点一 旋转的相关概念 ◆1、旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转 中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. ◆2、旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度.在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点旋转.方向分为顺时针与逆时针. ★温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素； ②旋转变换同样属于全等变换. 知识点二 旋转的性质 ◆1、旋转的性质 ①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． ◆2、旋转中心的确定： 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 知识点三 旋转作图 ◆图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 题型一 旋转中的相关概念 解题技巧提炼 把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 1．（2023秋•琼中县期末）图中的底底是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转90°后的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据旋转的定义进行判断即可． 【解答】解：将它顺时针旋转90°后，只有B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了生活中的旋转现象，解题的关键是熟练掌握旋转的定义． 2．（2023秋•芜湖期末）如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用旋转的性质得出对应图形即可． 【解答】解：将其按顺时针方向旋转90°后得到的图片是． 故选：B． 【点评】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确掌握旋转方向是解题关键． 3．（2023•馆陶县二模）如图是一个钟表，将其旋转180度，根据时针和分针的位置，钟表中的时间可以是（　　） A．8：30 B．9：30 C．2：30 D．12：30 【分析】将钟表旋转180°后，即可得到，钟表中的时间为8：30， 【解答】解：将钟表旋转180°后，如图所示， 钟表中的时间为8：30， 故选：A． 【点评】本题考查了镜面对称，将钟表旋转180°是解题的关键． 4．（2023秋•射阳县校级期中）下列运动属于旋转的是（　　） A．滚动过程中的篮球的滚动 B．钟摆的摆动 C．一个图形沿某直线对折过程 D．气球升空的运动 【分析】根据旋转的定义分别判断得出即可． 【解答】解：A、滚动过程中的篮球的滚动，也有平移，故此选项不符合题意； B、钟摆的摆动，属于旋转，故此选项符合题意； C、一个图形沿某直线对折过程，是轴对称，故此选项不符合题意； D、气球升空的运动，也有平移，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了旋转的定义，正确把握旋转的定义是解题关键． 5．（2023秋•新丰县期末）下列现象：①地下水位逐年下降，②传送带的移动，③方向盘的转动，④水龙头的转动；其中属于旋转的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带的移动，是平移现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④水龙头的转动，是旋转现象． 属于旋转的有③④，共有2个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了生活中的旋转现象，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键． 6．（2023•禹会区模拟）北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将如图图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用旋转的性质得出对应图形即可． 【解答】解：如图所示：“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是． 故选：D． 【点评】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确掌握旋转方向是解题关键． 7．如图，△ABC旋转后与△AED重合，且△ABE为等边三角形，那么： （1） 旋转中心是 点； （2） 旋转方向是 ； （3） 旋转角是 ； （4） AC的对应线段是 ，BC的对应线段是 ，∠ABC的对应角是 ； （5）连接CD，判断△ACD的形状是 ． 【分析】△ABC旋转后与△AED重合，两个三角形有公共点A，则旋转中心是点A．△ABC旋转到△AED时，AC与AD完全重合，∠ABC与∠AED完全重合．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【解答】解：（1）旋转中心是点A； 故答案为：点A； （2） 旋转方向是顺时针； 故答案为：顺时针； （3） 旋转角是∠CAD或∠BAE； 故答案为：∠CAD或∠BAE； （4） AC的对应线段是AD，BC的对应线段是ED，∠ABC的对应角是∠AED； 故答案为：AD，ED，∠AED； （5）△ACD是等边三角形．理由如下： 连接CD，如图所示： 连接CD，如图所示： ∵△ABE为等边三角形， ∴∠BAE=60°． ∵∠BAC=∠EAD， ∴∠CAD=∠BAE=60°． ∵AC=AD， ∴△ACD是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点评】本题考查的是旋转的性质、旋转的定义，①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等． 题型二 旋转的性质 解题技巧提炼 ①对应点到旋转中心的距离相等．　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． 1．（2024春•晋江市期末）正六边形是旋转对称图形，它绕其旋转中心旋转一定的角度，能和自身重合，则这个角度至少为（　　） A．30° B．60° C．120° D．180° 【分析】求出正六边形的中心角的度数即可． 【解答】解：如图，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOA60°， ∴绕着点O顺时针或逆时针至少旋转60°才能与原正六边形重合， 故选：B． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，求出正六边形中心角的度数是正确解答的关键． 2．（2023秋•乐陵市期中）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　 　度． 【分析】观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【解答】解：图形可看作由一个基本图形旋转6次所组成，故最小旋转角为60°． 故答案为：60． 【点评】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键． 3．（2024春•开封期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC边BC的延长线上一点，连接AD，逆时针旋转线段AD得到AE，且∠DAE＝∠CAB，连接BE．则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝CD B．∠CAB＝∠EBD C．∠ACB＝∠AEB D．AD＝ED 【分析】由旋转得，AE＝AD，证明△ACD≌△ABE，可得∠ADC＝∠AEB，进而可得∠DAE＝∠EBD，则∠CAB＝∠EBD． 【解答】解：由旋转得，AE＝AD， ∵∠DAE＝∠CAB， 即∠DAC+∠CAE＝∠BAE+∠CAE， ∴∠DAC＝∠BAE． 在△ACD和△ABE中， ， ∴△ACD≌△ABE（SAS）， ∴∠ADC＝∠AEB． 设AE与BD相交于点O， 则∠AOD＝∠BOE． ∵∠AOD+∠ADO+∠DAE＝180°，∠BOE+∠AEB+∠EBD＝180°， ∴∠DAE＝∠EBD， ∴∠CAB＝∠EBD． 故选：B． 【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 4．（2023春•东方校级期末）如图，将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，当点D在BC边上时，恰好有AE∥BC，若∠C＝40°，则旋转角∠EAC＝　　 ，∠B＝　 ． 【分析】由旋转可知：△ABC≌△ADE得AB＝AD，从而得∴∠B＝∠ADB，有平行可得旋转角∠CAE的大小，即可得∠BAD的大小，问题解决． 【解答】解：由旋转可知：△ABC≌△ADE， ∴∠C＝∠E＝40°，AB＝AD， ∵AE∥BC， ∴∠CAE＝∠C＝40°， ∵∠BAD、∠CAE均为旋转角， ∴∠BAD＝∠CAE＝40°， ∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB70°， 故答案为：40°，70°． 【点评】本题考察了旋转的性质全等三角形的性质定理以及平行线的性质定理，读懂题意，理解已知条件，并灵活运用相关的知识是解决问题的关键． 5．如图，△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝4cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求出∠BAE的度数和AE的长． 【分析】（1）先利用三角形内角和计算出∠BAC＝140°，然后根据旋转的定义求解； （2）根据旋转的性质得∠EAD＝∠BAC＝140°，AE＝AC，AD＝AB＝4，则可利用周角定义可计算出∠BAE＝80°，然后计算出AC，从而得到AE的长． 【解答】解：（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣15°﹣25°＝140°， 即∠BAD＝140°， 所以旋转中心为点A，旋转的度数为140°； （2）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合， ∴∠EAD＝∠BAC＝140°，AE＝AC，AD＝AB＝4 ∴∠BAE＝360°﹣140°﹣140°＝80°， ∵点C恰好成为AD的中点， ∴ACAD＝2， ∴AE＝2． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 6．（2023春•麦积区期末）如图所示，△ABC直角三角形，延长AB到D，使BD＝BC，在BC上取BE＝AB，连接DE．△ABC顺时针旋转后能与△EBD重合，那么： （1）旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？ （2）AC与DE的关系怎样？请说明理由． 【分析】（1）由条件易得BC和BD，BA和BE为对应边，而△ABC旋转后能与△EBD重合，于是可判断旋转中心为点B；根据旋转的性质得∠ABE等于旋转角，从而得到旋转角度； （2）根据旋转的性质即可判断AC＝DE，AC⊥DE． 【解答】解：（1）∵BC＝BD，BA＝BE， ∴BC和BD，BA和BE为对应边， ∵△ABC旋转后能与△EBD重合， ∴旋转中心为点B； ∵∠ABC＝90°， 而△ABC旋转后能与△EBD重合， ∴∠ABE等于旋转角， ∴旋转角是90度； （2）AC＝DE，AC⊥DE．理由如下： ∵△ABC绕点B顺时针旋转90°后能与△EBD重合， ∴DE＝AC，DE与AC成90°的角，即AC⊥DE． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 7．（2023秋•大冶市期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F． （1）求证：△ABD≌△CBE； （2）求∠AFC的度数． 【分析】（1）根据旋转角求出∠ABC＝∠DBE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等． （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°， ∴∠ABC＝∠DBE＝40°， ∴∠ABD＝∠CBE＝100°， 又∵BA＝BC， ∴AB＝BC＝BD＝BE， 在△ABD与△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）． （2）解：∵∠ABD＝∠CBE＝100°，BA＝BC＝BD＝BE， ∴∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC＝40°． ∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝140°， ∴∠AFE＝360°﹣∠ABE﹣∠BAD﹣∠BEC＝140°， ∴∠AFC＝180°﹣∠AFE＝40°． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 题型三 旋转中心的确定 解题技巧提炼 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 1．（2023秋•遵义期末）如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋转中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】连接ER、FP、GQ，作FP的垂直平分线，作ER的垂直平分线，作GQ的垂直平分线，交点为旋转中心． 【解答】解：如图， ∵△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ， ∴连接ER、FP、GQ， 作FP的垂直平分线，作ER的垂直平分线，作GQ的垂直平分线， ∴三条线段的垂直平分线正好都过C， 即旋转中心是C． 故选：C． 【点评】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上． 2．（2024•同心县模拟）在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【分析】连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交点M为旋转中心． 【解答】解： 连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M． 故选：A． 【点评】本题主要考查了旋转的性质以及学生的理解能力和观察图形的能力．注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上． 3．如图，△DEA是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点（旋转中心）的坐标是（　　） A．（0，1） B．（2，0） C．（1，1） D．（3，1） 【分析】连接CE，分别作CE、AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心． 【解答】解：如图，连接CE， 分别作CE、AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心， 故选：C． 【点评】本题考查坐标与图形的旋转变换，熟练掌握图形旋转的性质，利用线段的垂直平分线找旋转中心是解题的关键． 4．如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（　　） A．（1，1） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．（2，0） 【分析】利用旋转的性质，旋转中心在各对应点的连线段的垂直平分线上，则作线段AD、BE、FC的垂直平分线，它们相点P（0，1）即为旋转中心． 【解答】解：作线段AD、BE、FC的垂直平分线，它们相交于点P（0，1），如图， 所以△DEF是由△ABC绕着点P逆时针旋转90°得到的． 故选：B． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是利用旋转的性质确定旋转中心． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（　　） A．（0，0） B．（1，0） C．（1，﹣1） D．（2.5，0.5） 【分析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x＝1，线段AD的垂直平分线为以AD为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线． 【解答】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF， ∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E， 作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，﹣1）， ∴旋转中心的坐标为（1，﹣1）． 故选：C． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 6．（2024春•泉港区期末）如图，正方形网格中，△PEF绕某一点逆时针旋转n度后得到△P′E′F′．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 　　 ． 【分析】根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案． 【解答】解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上， ∴旋转中心为B点， 故答案为：B点． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心在对应点连线的垂直平分线上是解题的关键． 7．如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 　 　． 【分析】画出中心对称图形即可判断 【解答】解：观察图象可知，点P，点N满足条件． 故答案为：P、N． 【点评】本题考查旋转的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型四 求旋转图形中相关角度的大小 解题技巧提炼 ①利用旋转前、后的图形全等求解． ②利用旋转角相等求解． 1．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，边B'C′与DC交于点O，则∠DOB'的度数为（　　） A．125° B．130° C．135° D．140° 【分析】由旋转的性质可得∠B'＝∠B＝90°，∠DAB'＝45°，由四边形内角和定理可求解． 【解答】解：∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′， ∴∠B'＝∠B＝90°，∠DAB'＝45°， ∴∠DOB'＝360°﹣∠D﹣∠B'﹣∠DAB'＝135°， 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 2．（2024春•株洲期末）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（　　） A．135° B．90° C．60° D．45° 【分析】根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角． 【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置， ∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角， 而∠DOB＝90°． ∴旋转的角度为90°． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键． 3．（2024•惠阳区二模）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面AB与水平地面的夹角∠CAB为61°，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面AB绕点A旋转的度数为（　　） A．119° B．120° C．61° D．121° 【分析】根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解． 【解答】解：∵AB与地面的夹角∠CAB为61°， ∴∠BAB'＝180°﹣∠CAB＝180°﹣61°＝119°， 即旋转角为119°， ∴箕面AB绕点A旋转的度数为119°． 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由角的和差关系得到∠BAB'的度数．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 4．（2023春•邗江区期中）如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转68°后与△AB1C1重合，连接BB1，则∠ABB1＝（　　） A．56° B．58° C．62° D．68° 【分析】根据旋转的性质得出∠BAB1＝68°，AB＝AB1，进而根据等边对等角，三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转68°后与△AB1C1重合， ∴∠BAB1＝68°，AB＝AB1， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理的应用，掌握旋转的性质是解题的关键． 5．（2023秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 【分析】由旋转的性质可得AC＝CD，∠BAC＝∠CDE＝130°，由等腰三角形的性质可求∠CDA＝∠CAD＝50°，即可求解． 【解答】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC， ∴AC＝CD，∠BAC＝∠CDE＝130°， ∴∠CDA＝∠CAD＝50°， ∴∠BAD＝80°， 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 6．（2023春•北林区期末）如图在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，点C的对称点C′恰好落在变AB上，连接AA′，则∠CAA′度数是（　　） A．50° B．70° C．110° D．120° 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再根据旋转的性质得出BA＝BA'，∠ABC＝∠ABA'＝40°，得出∠BAA'的度数即可求解． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝40°， ∴∠CAB＝50°， ∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′， ∴BA＝BA'，∠ABC＝∠ABA'＝40°， ∴∠BA'A＝∠BAA'70°， ∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA'＝50°+70°＝120°， 故选：D． 【点评】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键． 7．（2023春•永丰县期中）一副三角板如图放置，三角板ABC不动，三角板DBE绕点B顺时针旋转一周，在旋转过程中，若DE∥AC，则∠ABD＝　 　． 【分析】分两种情况，由角的和差，即可求出∠ABD的度数． 【解答】解：如图①， ∵∠ABC＝45°，∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠DBE﹣∠ABC＝15°； 如图②， ∵∠DBE＝60°， ∴∠CBD＝180°﹣DBE＝120°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝165°． ∴∠ABD＝15°或165°． 故答案为：15°或165°． 【点评】本题考查旋转的性质，关键是要分两种情况讨论． 题型五 求旋转图形中线段的长度 解题技巧提炼 根据图形旋转前、后的对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角，可以构成特殊三角形求解一些问题. 1．（2024•石嘴山校级一模）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，此时点C在边A'B上，若AB＝5，BC'＝2，则A'C的长是 　 　． 【分析】由旋转的性质可得A'B＝AB＝5，BC＝BC'＝2，即可求解． 【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'， ∴△ABC≌△A'BC'， ∴A'B＝AB＝5，BC＝BC'＝2， ∴A'C＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 2．（2023春•新城区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A′恰好落在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（　　） A． B． C．4 D．2 【分析】先由旋转性质得AC＝A′C，BC＝B′C，∠B′CB＝∠A′CA，再证明△ACA′、△BCB′是等边三角形，得到BB′＝BC，再根据含30度角的直角三角形的性质求解BC即可． 【解答】解：由旋转性质得AC＝A′C，BC＝B′C，∠B′CB＝∠A′CA， ∵∠A＝60°， ∴△ACA′是等边三角形， ∴∠A′CA＝60°，则∠B′CB＝60°， ∴△BCB′是等边三角形， ∴BB′＝BC， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4， ∴， ∴，即， 故选：B． 【点评】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解答的关键． 3．（2023春•梁平区期中）如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°，C'D＝2，则线段BC的长度为（　　） A．4 B．5 C． D． 【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，证明△BCE≌△CDC'（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝C'D，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出CC'＝4，由勾股定理可得出答案． 【解答】解：过点B作BE⊥CC'于点E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠BCE+∠C'CD＝90°， ∵∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠C'CD＝∠CBE， 又∵∠BEC＝∠CC'D， ∴△BCE≌△CDC'（AAS）， ∴CE＝C'D， ∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'， ∴BC＝BC'， 又∵BE⊥CC'， ∴CE＝C'E＝C'D＝2， ∴CC'＝4， ∴CD2， ∴BC＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 4．（2024春•广陵区期末）如图，边长为4的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（　　） A．4 B．4 C．4 D．44 【分析】连接AC、AF，根据旋转的性质可证明△ACF是等边三角形，进而得出答案． 【解答】解：连接AC、AF， ∵边长为4的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG， ∴AC＝AF＝4，∠CAF＝60°， ∴△ACF是等边三角形， ∴CF＝AC＝4， 故选：C． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，说明△ACF是等边三角形是解题的关键． 5．（2023秋•昌图县期末）如图，点E在正方形ABCD的CD边上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，若四边形AECF的面积为16，DE＝3，则AE的长度为 　　． 【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案． 【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置， ∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于16， ∴AD＝DC＝4， ∵DE＝3， ∴Rt△ADE中，AE5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键． 6．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP′，若PB＝3，则PP′的长是 　 　． 【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形的大小和形状没有改变．即PB＝P′B，△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°至△CBP′，则∠PBP′＝90°，在Rt△PBP′中，利用勾股定理，可求出PP′的长． 【解答】解：由旋转的性质得到旋转角∠PBP′＝90°，对应边PB＝P′B＝3， 在Rt△PBP′中，PP′2＝PB2+P′B2， ∴PP′3， 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握旋转前后图形的对应关系是解决问题的关键． 7．（2024春•庄河市期末）如图，在四边形ABCD中，将边AB逆时针旋转90°交CD于点E．若AD∥BC，∠C＝45°，AD＝3，则CE＝ 　． 【分析】过A点作AF⊥AD交CD延长线于点F，连接BD，先证明AF＝AD，再证明△ABD≌△AEF，即可得BD＝FE，∠BDC＝90°，即有△BCD为等腰直角三角形，即可得EF＝CD，进一步解答即可． 【解答】解：如图，过A点作AF⊥AD交CD延长线于点F，连接BD， 根据旋转有：∠BAE＝90°，AB＝AE， ∵∠C＝45°，AD∥BC， ∴∠ADF＝45°， 即∠ADC＝180°﹣∠FDA＝180°﹣45°＝135°， ∵AF⊥AD， ∴∠DAF＝90°， ∴∠AFD＝∠ADF＝45°， ∴AF＝AD＝3， 即D， ∵∠BAE＝90°，∠DAF＝90°， ∴∠BAD＝∠EAF， 又∵AB＝AE， ∴△ABD≌△AEF（SAS）， ∴∠BDA＝∠AFE＝45°，BD＝FE， ∴2∠BDC＝∠ADC+∠ADB＝135°﹣45°＝90°， 又∵∠C＝45°， ∴△BCD为等腰直角三角形， ∴BD＝CD， ∴EF＝CD， ∴EC+DE＝FD+ED， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线是解答本题的关键． 题型六 旋转作图 解题技巧提炼 图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 1．（2023春•商水县期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出△ABC平移后的图形△A1B1C1． （2）以点C为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，得到△A2B2C，请画出△A2B2C． 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质，把点A、B、C分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所作； （2）如图所示，△A2B2C为所作． 【点评】本题考查了作图：旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 2．（2023春•滕州市期中）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1； （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2． （3）△AB2C2可看作由△A1B1C1绕P点旋转而成，点P坐标为 　 　． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C2即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B2，C2即可； （3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△AB2C2即为所求； （3）△AB2C2可看作由△A1B1C1绕P点旋转而成，点P坐标为（﹣2，﹣2）． 故答案为：（﹣2，﹣2）． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． 3．（2024春•洪洞县期末）如图，将△ABC逆时针旋转一定角度后得到△DEC，点D为BC的中点． （1）若∠ACE＝130°，则旋转中心为点 　 　，旋转角度为 　 　； （2）若BC＝8，求AC的长． 【分析】（1）根据旋转的概念可得结论； （2）由点D为BC的中点得出CD＝4，由旋转的性质得AC＝CD＝4． 【解答】解：（1）根据题意得，点C为旋转中心， 由旋转得，∠ACB＝∠DCE， ∵∠ACE＝130°， ∴∠ACB+∠DCE＝360°﹣∠ACE＝360°﹣130°＝230°， ∴∠ACB＝115°， ∴旋转角度为115°， 故答案为：C；115°； （2）∵BC＝8，且点D为BC的中点， ∴， 由旋转得，AC＝CD＝4． 【点评】本题主要考查旋转的概念和性质，①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． 4．（2023秋•任城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题： （1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，0）作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标； （2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标． 【分析】（1）根据平移的性质作图，可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，可得出答案． （3）连接A1A2，B1B2，C1C2，再分别作出线段A1A2，B1B2，C1C2的垂直平分线，交点P即为所求的旋转中心，可得出答案． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示． 点A1（3，﹣3），B1（4，﹣1）． （2）△A2B2C2如图所示． （3）如图，点P即为所求的旋转中心， ∴旋转中心的坐标为（5，0）． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键． 5．（2024春•龙泉驿区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（3，1），B（4，3），C（2，4），按要求解答问题： （1）将△ABC向左平移7个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1图形； （2）将△ABC以A点为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△AB2C2，画出△AB2C2图形； （3）直接写出B1B2的长度． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）利用勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△AB2C2即为所求． （3）由勾股定理得，B1B2． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、勾股定理是解答本题的关键． 题型七 在平面直角系中根据旋转求坐标 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中，根据旋转的性质求点的坐标，可以先过所求的点作x轴或y轴的垂线构造直角三角形，再根据旋转的性质求出有关线段的长，从而确定点的坐标. 1．（2023春•于洪区期中）如图，点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1）．以点O为旋转中心，将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B1的坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【分析】利用旋转的性质得B1C1＝BC＝1，OC1＝OC＝2，A1B1⊥y轴，然后利用第四象限内点的坐标特征写出点B1坐标． 【解答】解：∵点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1）， ∴OC＝2，BC＝1，AB⊥x轴， ∴将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B1，A1B1⊥y轴， ∴B1C1＝BC＝1，OC1＝OC＝2， ∴B1坐标为：（1，﹣2）． 故选：A． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 2．（2024•海州区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，2），连接AB，现将△AOB绕点A顺时针旋转90°，得到△AO'B'，则点B′的坐标是 　 ． 【分析】利用全等三角形的性质得出O′B′和O′A的值，再结合点A和点B的坐标得出OA和OB的长即可解决问题． 【解答】解：由旋转可知， △ABO≌△AB′O′， ∴∠O′＝∠AOB＝90°，O′B′＝OB，AO′＝AO． 又∵O′A⊥OA， ∴O′B′∥x轴． ∵点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，2）， ∴O′B′＝OB＝2，AO′＝AO＝5， ∴点B′的坐标为（7，5）． 故答案为：（7，5）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 3．（2024•辽宁二模）如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（﹣1，3），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C坐标是 　　 ． 【分析】作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．证明△ABM≌△CAN，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：如图，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N． ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABM+∠BAM＝∠BAM+∠CAN， ∴∠ABM＝∠CAN， ∵AB＝CA，∠AMB＝∠CNA＝90°， ∴△ABM≌△CAN（AAS）， ∴AM＝CN，BM＝AN， 当A（﹣2，0），B（﹣1，3）时， ON＝AN﹣OA＝BM﹣OA＝3﹣2＝1， CN＝AM＝OA﹣OM＝2﹣1＝1， ∴C（1，﹣1）． 故答案为：（1，﹣1）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 4．（2023秋•新抚区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在第二象限，点A在y轴正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，则点B的对应点B'的坐标是（　　） A．（3，1） B． C． D． 【分析】过点B作B′C⊥x轴于C，根据旋转的性质及等角对等边性质，利用含30°角的直角三角形及勾股定理即可求解． 【解答】解：过点B'作B'C⊥y轴于C，如图所示： ∵∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2， ∴∠B'OA＝60°，OA＝OB＝2， ∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'， ∴∠BOB'＝90°，OA＝OB＝OA'＝A'B'＝2， ∴∠B'OA'＝∠OB'A'＝90°﹣∠B'OA＝30°， ∴∠B'A'C＝∠B'OA'+∠OB'A'＝60°， ∴∠A'B'C＝30°， ∴A'C＝1， ∴OC＝A'C+OA＝3，， ∴点B'的坐标为：， 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质、等角对等边性质、含30°角的直角三角形和勾股定理的应用，熟练掌握旋转的性质及勾股定理的应用，借助辅助线构造直角三角形是解题的关键． 5．（2023•西陵区模拟）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．若点C的坐标为（m，5），则B点的坐标为 　 ． 【分析】过C作CD⊥y轴于点D，通过证得△AOB≌△CDA（AAS），得出OA＝CD＝1，OB＝AD＝4，可得点B的坐标， 【解答】解：过C作CD⊥y轴于点D，如图： ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAO+∠CAD＝90°， ∵∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠CAD＝∠ABO， ∵∠AOB＝∠CDA＝90°，AB＝AC， ∴△AOB≌△CDA（AAS）， ∵OA＝CD，OB＝AD， ∵点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（m，5）， ∴OA＝1，AD＝5﹣1＝4， ∴OB＝4， ∴B（4，0）， 故答案为：（4，0）． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 6．（2024•牡丹江一模）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，OA＝AB＝1，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为 　 　． 【分析】分当点F在x轴正半轴时，当点F在x轴负半轴时，过点E作EH⊥OF于H，根据旋转的性质得到∠EOF＝∠AOB＝30°，OE＝OA＝1，据此利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出点E的坐标即可得到答案． 【解答】解：∵OA＝AB＝1，∠OAB＝120°， ∴∠AOB＝30°， 设点A的对应点为点E，点B的对应点为F， 如图所示，当点F在x轴正半轴时，过点E作EH⊥OF于H， 由旋转的性质可得∠EOF＝∠AOB＝30°，OE＝OA＝1， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点F在x轴负半轴时，同理可得； 综上所述，当点B落在x轴上，此时点A的坐标为或， 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，等边对等角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟记含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 题型八 利用旋转的性质求阴影部分的面积 解题技巧提炼 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 1．（2023秋•路南区期中）如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（　　） A．4π B．3π C．2π D．π 【分析】根据图形可得阴影部分面积为大圆一半面积，利用圆的面积公式进行计算即可． 【解答】解：阴影部分面积：π×22＝2π， 故选：C． 【点评】此题主要考查了生活中的旋转，关键是从图中找出阴影部分面积的计算方法． 2．（2023•阿荣旗一模）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点O旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（　　） A． B． C．1 D．2 【分析】根据正方形的性质得出OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，推出∠BON＝∠MOC，证出△OBN≌△OCM（ASA），可得四边形OMBN的面积等于△BOC的面积，即重合部分的面积等于正方形面积的，从而可得答案． 【解答】解：如图：OE交AB于点N，O交BC于点M， ∵四边形ABCD和四边形OEFG是两个边长相等的正方形， ∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°， ∴∠BON＝∠MOC， 在△OBN与△OCM中， ， ∴△OBN≌△OCM（ASA）， ∴S△OBN＝S△OCM， ∴四边形OMBN的面积等于△BOC的面积，即重合部分的面积等于正方形面积的， ∴两个正方形的重合部分的面积， 故选：C． 【点评】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形OMBN的面积等于△BOC的面积是解此题的关键． 3．如图所示的图案由三个菱形叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为3cm2，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2． 【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答． 【解答】解：∵每个叶片的面积为3cm2， ∴图形的面积是9cm2， ∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB＝120° ∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的 ， ∴图中阴影部分的面积之和为3cm2． 故答案为：3． 【点评】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△ADE，若AC＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．9 C． D．3 【分析】先利用互余计算出∠BAC＝60°，再根据旋转的性质得到AE＝AC＝3，∠AEF＝∠ACB＝90°，∠CAE＝15°，所以∠FAE＝60°﹣15°＝45°，于是可判断△AEF为等腰直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△ADE， ∴AE＝AC＝3，∠AEF＝∠ACB＝90°，∠CAE＝15°， ∴∠FAE＝60°﹣15°＝45°， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴S△AEF32， 即图中阴影部分的面积为． 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 5．（2023春•苏州期中）如图，在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 　 ． 【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B＝AB＝10，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA＝30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC＝S△A1BA，最终得到阴影部分的面积． 【解答】解：过A作AD⊥A1B于D，如图： 在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B＝AB＝10， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°， ∵AD⊥A1B， ∴ADAB＝5， ∴S△A1BA10×5＝25， 又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A1BA＝25， 故答案为：25． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 6．（2023•灞桥区模拟）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【分析】作MH⊥DE于H，如图，利用正方形的性质得AB＝AD＝1，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，则根据旋转的性质得AE＝AB＝1，∠1＝30°，∠AEF＝∠B＝90°，再证明△AED为等腰三角形得到∠3＝∠4＝60°，DE＝AD＝1，接着证明△MDE为等边三角形得到DH＝EH，则利用含30度的直角三角形三边的关系计算出MH，然后利用三角形面积公式计算即可． 【解答】解：作MH⊥DE于H，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD＝1，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置， ∴AE＝AB＝1，∠1＝30°，∠AEF＝∠B＝90°， ∴∠2＝60°， ∴△AED为等边三角形， ∴∠3＝∠4＝60°，DE＝AD＝1， ∴∠5＝∠6＝30°， ∴△MDE为等腰三角形， ∴DH＝EH， 在Rt△MDH中，MHDH， ∴S△MDE1． 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 题型九 旋转性质的综合运用 解题技巧提炼 本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 1．（2024•保康县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，连接AD，CE，延长EC交AD于点F，若CF＝1，CE＝2，则AF的长 　 　． 【分析】由旋转的性质可得AB＝DB，AC＝DE，CB＝BE，∠ABD＝CBE＝90°，由勾股定理可求BF的长，由“SAS”可证△DEH＝≌△ACF，可得AF＝DH，∠AFC＝∠DHE，可证AF＝DF，由等腰直角三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，连接BF，过点B作BH⊥CE于H，连接DH， ∵将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE， ∴AB＝DB，AC＝DE，CB＝BE，∠ABD＝CBE＝90°， 又∵BH⊥CE， ∴BH＝CH＝HE＝1＝FC， ∴FH＝2，∠BCE＝∠BEC＝45°， ∴FB，∠ACF＝45°＝∠DEH， 又∵DE＝AC，EH＝FC＝1， ∴△DEH＝≌△ACF（SAS）， ∴AF＝DH，∠AFC＝∠DHE， ∴∠DFH＝∠DHF， ∴DH＝DF， ∴AF＝DF， 又∵AB＝BD，∠ABD＝90°， ∴BF＝AF， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（2024春•江都区月考）如图，在边长为的正方形ABCD中，E是边BC上一动点，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，点M、N分别是边AD、AF的中点，则MN的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】作FG⊥BC交BC的延长线于点G，连接DF，CF，延长CF交AD的延长线于点P，作PQ⊥BQ交BC的延长线于点Q，如图，证得△ABE≌△EGF（AAS），推导出△CQP是等腰直角三角形，四边形CQPD是正方形，点F在正方形CQPD的对角线CP上运动，得出MN是△ADF的中位线，当DF最小时，MN最小，此时，DF⊥CP，即F位于正方形对角线的交点，进而得到DF＝1，MN． 【解答】解：作FG⊥BC交BC的延长线于点G，连接DF，CF，延长CF交AD的延长线于点P，作PQ⊥BQ交BC的延长线于点Q，如图， ∵四边形ABCD是正方形，∠ABC＝90°， 又∵∠AEF＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠GEF＝90°， ∴∠BAE＝∠GEF， 在△ABE和△EGF中， ∴△ABE≌△EGF（AAS）， ∴BE＝FG，AB＝EG＝BC， ∴BE＝CF， ∴CG＝FG， ∴△CGF是等腰直角三角形， ∴△CQP是等腰直角三角形， ∴四边形CQPD是正方形， ∴点F在正方形CQPD的对角线CP上运动， ∵AM＝MD，AN＝NF， ∴MN是△ADF的中位线， ∴MNDF， ∴当DF最小时，MN最小， 此时，DF⊥CP，即F位于正方形对角线的交点， ∴DFDP1， ∴MNDF， 故选：B． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，正方形的性质，解答本题的关键是确定出点F在正方形CQPD的对角线CP上运动． 3．（2024春•两江新区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）如图1，AC＝15，BC＝20，CM⊥AB于点M，NM＝AM，连接CN，求线段BN的长； （2）如图2，将线段CB绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CD，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AE，连接DE，点G为DE中点，连接AG，CG．求证：ACCG． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB，利用等面积法求出CM，再利用勾股定理求出AM，进一步解答即可求解； （2）将线段AC绕点A按顺时针方向旋转90．得到线段AM，连接EM并延长交BC于点N，连接AN交DE于点O，可得△BAC≌△EAM（SAS），四边 形CAMN是正方形，进而证明△ENO≌△DAO（AAS），OD＝OE，推出点G与点O重合，可得△AGC是等腰直角三角形，即可证明． 【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20， ∴， ∵CM⊥AB， ∴， ∴， ∴， ∴NM＝AM＝9， ∴BN＝AB﹣NM﹣AM＝25﹣9﹣9＝7； （2）证明：如图，将线段AC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AM，连接EM并延长交BC于点N，连接AN交DE于点O， 由旋转知∠MAC＝∠BAE＝90°，AM＝AC，AB＝AE，CB＝CD， ∴∠MAC﹣∠BAM＝∠BAE﹣∠BAM， ∴∠BAC＝∠EAM， ∴△BAC≌△EAM（SAS）， ∴ME＝CB＝CD，∠BCA＝∠EMA＝90°， ∵∠BCA＝∠MAC＝∠AMN＝90°，AM＝AC， ∴四边形CAMN是正方形， ∴MN＝AC，NE∥AD， ∴MN+ME＝AC+CD，即NE＝AC， 又∵NE∥AD， ∴∠NEO＝∠ADO，∠ENO＝∠DAO， ∴△ENO≌△DAO（AAS）， ∴OD＝OE， 又∵点G为DE中点， ∴点G与点O重合， ∵四边形CAMN是正方形， ∴CG＝AG，∠AGC＝90°， ∴△AGC是等腰直角三角形， ∴． 【点评】本题考查勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2024•海宁市三模）在△ABC中，∠ABC＝α，以点B为中心，将△ABC顺时针旋转α，得到△A1BC1；再以点A1为中心，将△A1BC1 顺时针旋转α，得到△A1B1C2；连结AB1． （1）如图1，若AB＝2，α＝90°，求AB1的长； （2）如图2，60°＜α＜90°，探究AB1与A1B的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据旋转的性质得到∠ABA1＝90°，AB＝A1B，根据旋转的性质得到∠BA1B1＝90°，A1B＝A1B1，根据正方形的判定定理得到四边形ABA1B1是正方形，于是得到AB1＝AB＝2； （2）A作AE⊥A1B，过B1作B1F⊥A1B于F，得到∠AEB＝∠B1FA1＝90°，AE∥B1F，根据旋转的性质得到∠ABA1＝∠A1BC1＝α，AB＝A1B，∠BA1B1＝∠BA1B1＝α，A1B＝A1B1，根据全等三角形的性质定理得到AE＝B1F，推出四边形AEFB1是矩形，根据矩形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵以点B为中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1BC1， ∴∠ABA1＝90°，AB＝A1B， ∵以点A1为中心，将△A1BC1 顺时针旋转90°，得到△A1B1C2， ∴∠BA1B1＝90°，A1B＝A1B1， ∴AB∥A1B1，AB＝A1B1， ∴四边形ABA1B1是正方形， ∴AB1＝AB＝2； （2）AB1∥A1B． 理由：过A作AE⊥A1B，过B1作B1F⊥A1B于F， ∴∠AEB＝∠B1FA1＝90°，AE∥B1F， ∵以点B为中心，将△ABC顺时针旋转＝α，得到△A1BC1， ∴∠ABA1＝∠A1BC1＝α，AB＝A1B， ∵以点A1为中心，将△A1BC1 顺时针旋转α，得到△A1B1C2， ∴∠BA1B1＝∠BA1B1＝α，A1B＝A1B1， ∴AB＝A1B1， ∴△ABE≌△B1A1F（AAS）， ∴AE＝B1F， ∴四边形AEFB1是矩形， ∴AB1∥EF， ∴AB1∥A1B． 【点评】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（2024春•双流区期末）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F． （1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数； （2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【分析】（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，证明△BCE≌△CBK（SAS），推出BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，再证明∠ADF+∠AEF＝180°，可得结论； （2）结论：BF+CF＝2CN．首先证明∠BFC＝120°．如图2﹣1中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，证明△CNM≌△QNF（SAS），推出FQ＝CM＝BC，延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，再证明△PFQ≌△PBC（SAS），推出PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，推出△PCQ是等边三角形，可得结论 【解答】解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE， 在△BCE和△CBK中， ， ∴△BCE≌△CBK（SAS）， ∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD， ∵CE＝BD， ∴BD＝BK， ∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB， ∵∠BEC+∠AEF＝180°， ∴∠ADF+∠AEF＝180°， ∴∠A+∠EFD＝180°， ∵∠A＝60°， ∴∠EFD＝120°， ∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°； （2）结论：BF+CF＝2CN． 理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°， ∵AE＝BD， ∴△ABE≌△BCD（SAS）， ∴∠BCF＝∠ABE， ∴∠FBC+∠BCF＝60°， ∴∠BFC＝120°， 如图2中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ， ∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ， ∴△CNM≌△QNF（SAS）， ∴FQ＝CM＝BC， 延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形， ∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°， ∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC， ∵PB＝PF， ∴△PFQ≌△PBC（SAS）， ∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°， ∴△PCQ是等边三角形， ∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！51 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册《圆的基本性质》 3.2 图形的旋转 知识点一 旋转的相关概念 ◆1、旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转 中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. ◆2、旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度.在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点旋转.方向分为顺时针与逆时针. ★温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素； ②旋转变换同样属于全等变换. 知识点二 旋转的性质 ◆1、旋转的性质 ①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． ◆2、旋转中心的确定： 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 知识点三 旋转作图 ◆图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 题型一 旋转中的相关概念 解题技巧提炼 把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 1．（2023秋•琼中县期末）图中的底底是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转90°后的图形是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•芜湖期末）如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（　　） A． B． C． D． 3．（2023•馆陶县二模）如图是一个钟表，将其旋转180度，根据时针和分针的位置，钟表中的时间可以是（　　） A．8：30 B．9：30 C．2：30 D．12：30 4．（2023秋•射阳县校级期中）下列运动属于旋转的是（　　） A．滚动过程中的篮球的滚动 B．钟摆的摆动 C．一个图形沿某直线对折过程 D．气球升空的运动 5．（2023秋•新丰县期末）下列现象：①地下水位逐年下降，②传送带的移动，③方向盘的转动，④水龙头的转动；其中属于旋转的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（2023•禹会区模拟）北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将如图图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（　　） A． B． C． D． 7．如图，△ABC旋转后与△AED重合，且△ABE为等边三角形，那么： （1） 旋转中心是 点； （2） 旋转方向是 ； （3） 旋转角是 ； （4） AC的对应线段是 ，BC的对应线段是 ，∠ABC的对应角是 ； （5）连接CD，判断△ACD的形状是 ． 题型二 旋转的性质 解题技巧提炼 ①对应点到旋转中心的距离相等．　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． 1．（2024春•晋江市期末）正六边形是旋转对称图形，它绕其旋转中心旋转一定的角度，能和自身重合，则这个角度至少为（　　） A．30° B．60° C．120° D．180° 2．（2023秋•乐陵市期中）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　 　度． 3．（2024春•开封期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC边BC的延长线上一点，连接AD，逆时针旋转线段AD得到AE，且∠DAE＝∠CAB，连接BE．则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝CD B．∠CAB＝∠EBD C．∠ACB＝∠AEB D．AD＝ED 4．（2023春•东方校级期末）如图，将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，当点D在BC边上时，恰好有AE∥BC，若∠C＝40°，则旋转角∠EAC＝　　 ，∠B＝　 ． 5．如图，△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝4cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求出∠BAE的度数和AE的长． 6．（2023春•麦积区期末）如图所示，△ABC直角三角形，延长AB到D，使BD＝BC，在BC上取BE＝AB，连接DE．△ABC顺时针旋转后能与△EBD重合，那么： （1）旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？ （2）AC与DE的关系怎样？请说明理由． 7．（2023秋•大冶市期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F． （1）求证：△ABD≌△CBE； （2）求∠AFC的度数． 题型三 旋转中心的确定 解题技巧提炼 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 1．（2023秋•遵义期末）如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋转中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（2024•同心县模拟）在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 3．如图，△DEA是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点（旋转中心）的坐标是（　　） A．（0，1） B．（2，0） C．（1，1） D．（3，1） 4．如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（　　） A．（1，1） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．（2，0） 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（　　） A．（0，0） B．（1，0） C．（1，﹣1） D．（2.5，0.5） 6．（2024春•泉港区期末）如图，正方形网格中，△PEF绕某一点逆时针旋转n度后得到△P′E′F′．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 　　 ． 7．如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 　 　． 题型四 求旋转图形中相关角度的大小 解题技巧提炼 ①利用旋转前、后的图形全等求解． ②利用旋转角相等求解． 1．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，边B'C′与DC交于点O，则∠DOB'的度数为（　　） A．125° B．130° C．135° D．140° 2．（2024春•株洲期末）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（　　） A．135° B．90° C．60° D．45° 3．（2024•惠阳区二模）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面AB与水平地面的夹角∠CAB为61°，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面AB绕点A旋转的度数为（　　） A．119° B．120° C．61° D．121° 4．（2023春•邗江区期中）如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转68°后与△AB1C1重合，连接BB1，则∠ABB1＝（　　） A．56° B．58° C．62° D．68° 5．（2023秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 6．（2023春•北林区期末）如图在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，点C的对称点C′恰好落在变AB上，连接AA′，则∠CAA′度数是（　　） A．50° B．70° C．110° D．120° 7．（2023春•永丰县期中）一副三角板如图放置，三角板ABC不动，三角板DBE绕点B顺时针旋转一周，在旋转过程中，若DE∥AC，则∠ABD＝　 　． 题型五 求旋转图形中线段的长度 解题技巧提炼 根据图形旋转前、后的对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角，可以构成特殊三角形求解一些问题. 1．（2024•石嘴山校级一模）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，此时点C在边A'B上，若AB＝5，BC'＝2，则A'C的长是 　 　． 2．（2023春•新城区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A′恰好落在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（　　） A． B． C．4 D．2 3．（2023春•梁平区期中）如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°，C'D＝2，则线段BC的长度为（　　） A．4 B．5 C． D． 4．（2024春•广陵区期末）如图，边长为4的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（　　） A．4 B．4 C．4 D．44 5．（2023秋•昌图县期末）如图，点E在正方形ABCD的CD边上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，若四边形AECF的面积为16，DE＝3，则AE的长度为 　　． 6．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP′，若PB＝3，则PP′的长是 　 　． 7．（2024春•庄河市期末）如图，在四边形ABCD中，将边AB逆时针旋转90°交CD于点E．若AD∥BC，∠C＝45°，AD＝3，则CE＝ 　． 题型六 旋转作图 解题技巧提炼 图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 1．（2023春•商水县期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出△ABC平移后的图形△A1B1C1． （2）以点C为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，得到△A2B2C，请画出△A2B2C． 2．（2023春•滕州市期中）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1； （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2． （3）△AB2C2可看作由△A1B1C1绕P点旋转而成，点P坐标为 　 　． 3．（2024春•洪洞县期末）如图，将△ABC逆时针旋转一定角度后得到△DEC，点D为BC的中点． （1）若∠ACE＝130°，则旋转中心为点 　 　，旋转角度为 　 　； （2）若BC＝8，求AC的长． 4．（2023秋•任城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题： （1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，0）作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标； （2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标． 5．（2024春•龙泉驿区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（3，1），B（4，3），C（2，4），按要求解答问题： （1）将△ABC向左平移7个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1图形； （2）将△ABC以A点为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△AB2C2，画出△AB2C2图形； （3）直接写出B1B2的长度． 题型七 在平面直角系中根据旋转求坐标 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中，根据旋转的性质求点的坐标，可以先过所求的点作x轴或y轴的垂线构造直角三角形，再根据旋转的性质求出有关线段的长，从而确定点的坐标. 1．（2023春•于洪区期中）如图，点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1）．以点O为旋转中心，将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B1的坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 2．（2024•海州区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，2），连接AB，现将△AOB绕点A顺时针旋转90°，得到△AO'B'，则点B′的坐标是 　 ． 3．（2024•辽宁二模）如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（﹣1，3），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C坐标是 　　 ． 4．（2023秋•新抚区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在第二象限，点A在y轴正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，则点B的对应点B'的坐标是（　　） A．（3，1） B． C． D． 5．（2023•西陵区模拟）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．若点C的坐标为（m，5），则B点的坐标为 　 ． 6．（2024•牡丹江一模）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，OA＝AB＝1，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为 　 　． 题型八 利用旋转的性质求阴影部分的面积 解题技巧提炼 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 1．（2023秋•路南区期中）如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（　　） A．4π B．3π C．2π D．π 2．（2023•阿荣旗一模）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点O旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（　　） A． B． C．1 D．2 3．如图所示的图案由三个菱形叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为3cm2，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2． 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△ADE，若AC＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．9 C． D．3 5．（2023春•苏州期中）如图，在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 　 ． 6．（2023•灞桥区模拟）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为 　 　． 题型九 旋转性质的综合运用 解题技巧提炼 本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 1．（2024•保康县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，连接AD，CE，延长EC交AD于点F，若CF＝1，CE＝2，则AF的长 　 　． 2．（2024春•江都区月考）如图，在边长为的正方形ABCD中，E是边BC上一动点，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，点M、N分别是边AD、AF的中点，则MN的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 3．（2024春•两江新区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）如图1，AC＝15，BC＝20，CM⊥AB于点M，NM＝AM，连接CN，求线段BN的长； （2）如图2，将线段CB绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CD，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AE，连接DE，点G为DE中点，连接AG，CG．求证：ACCG． 4．（2024•海宁市三模）在△ABC中，∠ABC＝α，以点B为中心，将△ABC顺时针旋转α，得到△A1BC1；再以点A1为中心，将△A1BC1 顺时针旋转α，得到△A1B1C2；连结AB1． （1）如图1，若AB＝2，α＝90°，求AB1的长； （2）如图2，60°＜α＜90°，探究AB1与A1B的位置关系，并说明理由． 5．（2024春•双流区期末）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F． （1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数； （2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$