3.1圆（10大题型提分练）数学浙教版九年级上册

九年级数学上册《圆的基本性质》 3.1 圆 知识点一 圆的认识 ★1、圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆O ”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． ★2、确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 知识点二 与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫弦； 直径：经过圆心的 弦 叫直径,是圆中最长的弦； 弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中 叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示，如图中 叫做劣弧； 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆； 等弧：能够互相重合的弧叫做等弧； 【注意】 1、半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧包括优弧、劣弧和半圆.半圆既不是优弧也不是劣弧. 2、等弧只能出现在同圆或等圆中. 知识点三 点和圆的位置关系 ★点和圆的位置关系： 1、点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ； ②点P在圆上⇔d＝r ； ③点P在圆内⇔d＜r . 2、 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 知识点四 三角形的外接圆 ★1、三角形的外接圆与外心 （1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接 三角形. （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个圆心叫做三角形的外心． （3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. （4）三角形外心的位置： 锐角三角形：外心在三角形的内部； 直角三角形：外心在三角形的外部; 钝角三角形：外心是直角三角形斜边的中点. ★2、外接圆的作法： 分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形的外接圆圆心，以交点为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆. 题型一 圆的概念 解题技巧提炼 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 1．（2023秋•桥西区期末）下列图形为圆的是（　　） A． B． C． D． 2．到定点的距离等于定长的点的集合是（　　） A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆 D．圆的内部和圆 3．（2023秋•南岗区校级期中）把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（　　） A．半径是3厘米 B．直径是3厘米 C．周长是3π厘米 D．面积是3π厘米 4．车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的（　　） A．直径 B．周长 C．面积 D．半径 5．下列由实线组成的图形中，为半圆的是（　　） A． B． C． D． 6．下列生活中的做法与其背后的数学原理对应错误的是（　　） A．工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框（三角形具有稳定性） B．在景区两景点之间设计“曲桥”（垂线段最短） C．砌墙时，在两端钉钉子，沿中间的拉线砌墙（两点确定一条直线） D．车轱辘设计为圆形（圆上的点到圆心的距离相等） 7．（2023秋•如皋市校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上． 题型二 与圆有关的概念 解题技巧提炼 与圆有关的概念有弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 1．（2023秋•肇源县期中）下列判断正确的是（　　） A．两端点都在圆上的线段叫作直径 B．通过圆心的线段叫作直径 C．在同一圆中，两端点都在圆上的线段中，最长的是直径 D．所有圆的直径都相等 2．（2023秋•鲤城区期末）已知⊙O的半径3，则⊙O中最长的弦长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，若点O为⊙O的圆心，则线段 　 　是圆O的半径；线段 　 　是圆O的弦，其中最长的弦是 　 ； 　 　是劣弧； 　 　是半圆． 4．（2023秋•郸城县校级期末）若⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上，则AB的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，是圆O弦的是（　　） A．线段AB B．线段AC C．线段AE D．线段DE 7．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三 确定圆的条件 解题技巧提炼 确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 1．能决定圆的位置的是（　　） A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长 2．（2023秋•广平县期末）下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．经过已知点M B．以点O为圆心，10cm长为半径 C．以10cm长为半径 D．以点O为圆心 3．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心O B．已知半径r＝5cm C．已知圆心O，半径r＝5cm D．已知点A为圆上一点 4．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以10cm长为半径 C．以点A为圆心，4cm长为半径 D．经过已知点M 5．（2023秋•桥西区期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023秋•拱墅区校级月考）已知点A，B，且AB＜4，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 题型四 点和圆的位置关系 解题技巧提炼 1、点和圆的位置关系有三种，即点在圆内，点在圆上，点在圆外. 2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 1．（2024•高邮市校级模拟）已知⊙O的半径是6，点A是平面内一点且OA＝8，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．无法确定 2．（2024•龙湾区开学）已知⊙O的半径为7，点A在⊙O外，则OA的长可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2024•二道区校级三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2024•滨海新区模拟）⊙O的直径为10，直线l与⊙O相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（　　） A．d＞5 B．d＜5 C．d＝5 D．d＝10 5．设AB＝3cm，作图说明满足下列要求的图形． （1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形． （2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形． 6．（2023秋•源汇区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E． （1）求DE的长； （2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 7．（2023秋•海州区校级月考）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm． （1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？ （2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 　 　． 题型五 圆中角度的计算 解题技巧提炼 圆中角度长度的计算，主要利用了平行线的性质，三角形的外角，等腰三角形等有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键． 1．（2023•兴化市模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（　　） A．38° B．52° C．76° D．104° 2．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数 是（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 3．（2022•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OCOD，则∠ABD的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．105° 3．（2023•怀宁县一模）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（　　） A．42° B．29° C．21° D．20° 4．如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为40°、70°、150°，则∠B的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 5．（2024春•重庆期中）如图，点A、B、C是⊙O上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠AOB＝∠A+∠B B．∠AOB＝2（∠A+∠B） C．∠AOB＝90°﹣（∠A+∠B） D．∠AOB＝180°﹣2（∠A+∠B） 6．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE＝AO，求∠E的度数． 题型六 圆中线段长度的计算 解题技巧提炼 圆中线段长度的计算，主要利用了同圆的半径相等、勾股定理，在圆中常利用勾股定理计算边的长，熟练掌握勾股定理是关键． 1．（2023•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　） A． B．8 C．6 D．5 2．（2023秋•延吉市校级期末）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 3．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 4．（2023秋•南岗区校级月考）如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于C，四边形CDEF是正方形，连接BD，若CO＝3，OF＝1，则BD＝（　　） A． B． C．13 D． 5．（2023秋•通榆县期中）如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB＝3，BC＝4，则DF的长为 　 　． 6．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长． 题型七 圆中线段长度的证明 解题技巧提炼 利用圆的半径相等进行证明，同时还用到三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的相关知识. 1．已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC． 2．如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE＝DF． 求证：AF＝BE． 3．如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，∠B＝∠C．求证：CE＝BF． 4．如图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分别交BA的延长线，AC于E、F，联结EF并延长交BC于G，EG⊥BC．求证：AB＝AC． 5．如图，PQ是半圆O的直径，正方形ABCD和正方形CEFG彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径PQ上，点E在BC上，正方形CEFG的面积为16． （1）求证：OC＝OD； （2）求⊙O的半径长． 题型八 确定圆心的位置 解题技巧提炼 找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 1．（2023秋•仓山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形边长为1） （1）请写出该圆弧所在圆的圆心P的坐标　 　；⊙P的半径为　 　（结果保留根号）； （2）判断点M（﹣1，1）与⊙P的位置关系　 　． 2．（2023•泗洪县二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是　 ． 3．（2023秋•历下区期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系． （1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为 　 　． （2）求⊙M的面积（结果保留π）． 4．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R． 5．（2023秋•乐亭县期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）． （1）写出圆心M的坐标为 　 　； （2）这个圆的半径为 　 　； （3）直接判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．点D（4，﹣3）在⊙M　 　（填内、外、上）． 题型九 确定三角形外心的位置 解题技巧提炼 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． 1．（2023春•仪征市期末）点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的（　　） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 2．若一个三角形的外心在这个三角形的边上，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．（2023秋•桐庐县期中）△ABC的外心在三角形的一边上，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 4．（2023•任丘市模拟）如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（　　） A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点 5．（2023•邢台一模）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（　　） A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF 6．（2023秋•承德县期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 7．（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O； （2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积． 题型十 三角形的外接圆与外心 解题技巧提炼 主要考查了三角形的外心的性质求角度或线段长，有时要利用等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 1．如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若BC＝6，则MN＝　 　． 2．（2023秋•大兴区期末）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径． 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，AB＝AC，O为△ABC的外心，△OCP为等边三角形，OP与AC相交于D点，连接OA． （1）求∠OAC的度数； （2）求∠AOP的度数． 4．（2023•湖北模拟）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 5．（2023秋•东莞市期末）如图，△ABC为圆O的内接三角形，AB＝AC，连接AO并延长交BC于点M． （1）求证：AM⊥BC； （2）若BC＝6，，求⊙O的半径． 6．（2023秋•涟水县校级月考）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心． （1）如图①，△ABC是等边三角形，点O是△ABC的外心，求证∠ABO＝30° （2）如图②，△ABC是等边三角形，分别延长等边三角形ABC的边AB、BC、CA到点D、E、F，使BD＝CE＝AF，连接DE，EF，DF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册《圆的基本性质》 3.1 圆 知识点一 圆的认识 ★1、圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆O ”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． ★2、确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 知识点二 与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫弦； 直径：经过圆心的 弦 叫直径,是圆中最长的弦； 弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中 叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示，如图中 叫做劣弧； 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆； 等弧：能够互相重合的弧叫做等弧； 【注意】 1、半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧包括优弧、劣弧和半圆.半圆既不是优弧也不是劣弧. 2、等弧只能出现在同圆或等圆中. 知识点三 点和圆的位置关系 ★点和圆的位置关系： 1、点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ； ②点P在圆上⇔d＝r ； ③点P在圆内⇔d＜r . 2、 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 知识点四 三角形的外接圆 ★1、三角形的外接圆与外心 （1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接 三角形. （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个圆心叫做三角形的外心． （3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. （4）三角形外心的位置： 锐角三角形：外心在三角形的内部； 直角三角形：外心在三角形的外部; 钝角三角形：外心是直角三角形斜边的中点. ★2、外接圆的作法： 分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形的外接圆圆心，以交点为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆. 题型一 圆的概念 解题技巧提炼 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 1．（2023秋•桥西区期末）下列图形为圆的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆的定义分析即可． 【解答】解：根据题意得，B图形为圆． 故答案为：B． 【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”是解题的关键． 2．到定点的距离等于定长的点的集合是（　　） A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆 D．圆的内部和圆 【分析】根据圆的定义作答． 【解答】解：圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 故选：C． 【点评】考查了圆的认识，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． 3．（2023秋•南岗区校级期中）把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（　　） A．半径是3厘米 B．直径是3厘米 C．周长是3π厘米 D．面积是3π厘米 【分析】根据确定圆的条件确定答案即可． 【解答】解：∵两脚间的距离是3厘米， ∴圆的半径为3厘米，周长为6π厘米，面积为9π平方厘米， 故选：A． 【点评】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解张开的圆规的两脚间的距离为圆的半径，难度不大． 4．车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的（　　） A．直径 B．周长 C．面积 D．半径 【分析】依据圆的周长的概念，即围成圆的一周的曲线的长度就是圆的周长，即可进行选择． 【解答】解：车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的周长． 故选：B． 【点评】考查了圆的认识，解答此题的主要依据是：圆的周长的概念． 5．下列由实线组成的图形中，为半圆的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆的有关定义进行解答． 【解答】解：根据半圆的定义可知，选项B的图形是半圆． 故选：B． 【点评】本题考查了圆的认识．解题的关键是掌握半圆的定义．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆． 6．下列生活中的做法与其背后的数学原理对应错误的是（　　） A．工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框（三角形具有稳定性） B．在景区两景点之间设计“曲桥”（垂线段最短） C．砌墙时，在两端钉钉子，沿中间的拉线砌墙（两点确定一条直线） D．车轱辘设计为圆形（圆上的点到圆心的距离相等） 【分析】A、根据三角形的稳定性判断； B、根据线段的性质进行判断； C、根据公理“两点确定一条直线”进行判断； D、根据圆的性质进行判断． 【解答】解：A、工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框，利用了三角形具有稳定性的性质，对应正确，不符合题意； B、某两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短，对应不正确，符合题意； C、砌墙时，在两端钉钉子，沿中间的拉线砌墙，这是因为两点确定一条直线，对应正确，不符合题意； D、将车轮设计为圆形是运用了“圆上所有的点到圆心的距离相等”的原理，对应正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】考查直线的性质，线段公理等知识，三角形的稳定性以及圆的认识，将实际问题数学化是解决问题的关键． 7．（2023秋•如皋市校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上． 【分析】连结OC、OD，由直角三角形斜边上的中线定理得OA＝OB＝OC＝ODAB，则可得出结论． 【解答】证明：连结OC，OD， ∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB的中点为O， ∴OA＝OB＝OC＝ODAB， ∴A，B，C，D四点在以O为圆心，OA长为半径的圆上． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键． 题型二 与圆有关的概念 解题技巧提炼 与圆有关的概念有弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 1．（2023秋•肇源县期中）下列判断正确的是（　　） A．两端点都在圆上的线段叫作直径 B．通过圆心的线段叫作直径 C．在同一圆中，两端点都在圆上的线段中，最长的是直径 D．所有圆的直径都相等 【分析】根据圆的直径的定义进行分析解答． 【解答】解：A、两端点都在圆上且经过圆心的线段叫作直径，故不符合题意； B、经过圆心的弦叫直径，故不符合题意； C、在同一圆中，两端点都在圆上的线段中，最长的是直径，故符合题意； D、所有等圆的直径都相等，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了圆的认识，主要考查学生的理解能力和辨析能力． 2．（2023秋•鲤城区期末）已知⊙O的半径3，则⊙O中最长的弦长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦， ∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6． 故选：B． 【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 3．如图，若点O为⊙O的圆心，则线段 　 　是圆O的半径；线段 　 　是圆O的弦，其中最长的弦是 　 ； 　 　是劣弧； 　 　是半圆． 【分析】根据弦、直径、半径、弧、半圆、劣弧等定义一一解答即可； 【解答】解：如图，若点O为⊙O的圆心，则线段OA、OB、OC是圆O的半径；线段AC、AB、BC是圆O的弦，其中最长的弦是AC；、是劣弧；、是半圆． 故答案为OA、OB、OC；AC、AB、BC；AC；、；、； 【点评】本题考查弦、直径、半径、弧、半圆、劣弧等定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（2023秋•郸城县校级期末）若⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上，则AB的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据直径是最长的弦即可求解． 【解答】解：∵若⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上， ∴AB的长不可能是5， 故选：D． 【点评】本题考查了圆的相关概念，掌握直径是最长的弦是解题的关键． 5．下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①直径是最长的弦，正确，符合题意； ②直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意； ③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意； ④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意； ⑤半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意， 故选：C． 【点评】考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大． 6．如图，是圆O弦的是（　　） A．线段AB B．线段AC C．线段AE D．线段DE 【分析】根据弦的定义确定答案即可． 【解答】解：弦是圆上两点间的线段，图中AB是弦，其他均不是， 故选：A． 【点评】考查了圆的认识，了解弦的定义是解答本题的关键，难度不大． 7．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫弦）作答． 【解答】解：⊙O中的弦有：弦BD，弦AB，弦CD，共有3条． 故选：B． 【点评】本题主要考查了圆的认识，在圆中，直径是最长的弦． 题型三 确定圆的条件 解题技巧提炼 确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 1．能决定圆的位置的是（　　） A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长 【分析】根据圆的定义即可解答． 【解答】解：根据圆的定义可知，能决定圆的位置的是圆心， 故选A． 【点评】本题考查了圆的认识，熟悉圆的定义是解题的关键． 2．（2023秋•广平县期末）下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．经过已知点M B．以点O为圆心，10cm长为半径 C．以10cm长为半径 D．以点O为圆心 【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴B选项正确， 故选：B． 【点评】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 3．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心O B．已知半径r＝5cm C．已知圆心O，半径r＝5cm D．已知点A为圆上一点 【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【点评】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 4．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以10cm长为半径 C．以点A为圆心，4cm长为半径 D．经过已知点M 【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【点评】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 5．（2023秋•桥西区期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【解答】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 【点评】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键． 6．（2023秋•拱墅区校级月考）已知点A，B，且AB＜4，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【分析】作AB的垂直平分线，在垂直平分线上找到A、B两点距离为2的点，该点有两个． 【解答】解：根据题意作图如下， 由图可知经过A，B两点且半径为2的圆有2个． 故选：C． 【点评】本题主要考查确定圆的条件的知识点，此题不是很难，但需要有较强的作图能力． 题型四 点和圆的位置关系 解题技巧提炼 1、点和圆的位置关系有三种，即点在圆内，点在圆上，点在圆外. 2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 1．（2024•高邮市校级模拟）已知⊙O的半径是6，点A是平面内一点且OA＝8，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．无法确定 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法对点A与⊙O的位置关系进行判断即可． 【解答】解：∵⊙O的半径为6，OA＝8， ∴点A到圆心的距离大于圆的半径， ∴点A在⊙O外． 故选：B． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r是解题的关键． 2．（2024•龙湾区开学）已知⊙O的半径为7，点A在⊙O外，则OA的长可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据点与圆的位置关系得出即可． 【解答】解：∵⊙O的半径为7，点A在⊙O外， ∴OA＞7， ∵5、6、7都不符合，只有8符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，能熟记点与圆的位置关系的内容是解此题的关键． 3．（2024•二道区校级三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8， ∴AC6， ∵当点C在⊙A内且点B在⊙A外， ∴6＜r＜10， ∴r的值可能是8． 故选：B． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种，熟知设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r； ②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r是解题的关键． 4．（2024•滨海新区模拟）⊙O的直径为10，直线l与⊙O相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（　　） A．d＞5 B．d＜5 C．d＝5 D．d＝10 【分析】根据直线l和⊙O相交⇔d＜r，判断即可得到问题的选项． 【解答】解：∵⊙O的直径为10 ∴⊙O的半径为5， ∵直线l与⊙O相交， ∴圆心O到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5， 故选：B． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 5．设AB＝3cm，作图说明满足下列要求的图形． （1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形． （2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形． 【分析】（1）根据“到定点的距离等于定长的所有点的集合是圆”可知，到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形为⊙A和⊙B的交点，据此可画出图形； （2）根据“到点A和点B的距离小于2cm的所有点组成的图形，是半径为2cm的⊙A和⊙B的公共部分”，可画出图形． 【解答】解：（1）作图如下： ∵到点B的距离等于2cm的点组成的图形是以B为圆心、以2cm长为半径的圆， 到点A的距离等于2cm的点组成的图形是以A为圆心、以2cm长为半径的圆， ∴到点B和点A的距离都等于2cm的所有点组成的图形为⊙B和⊙A的交点，即点D和点C． （2）作图如下： 到点B和点A的距离都小于2cm的所有点组成的图形为⊙B和⊙A的公共部分（不包括公共部分的两条弧），即图中的阴影部分． 【点评】本题考查的是圆的认识，掌握点与圆的位置关系是解决此题的关键． 6．（2023秋•源汇区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E． （1）求DE的长； （2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC，再利用面积法计算出DE； （2）利用B、C、D、E到点A的距离可判断⊙A的半径r的取值范围． 【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4， ∴AC＝BD5， ∵AC•DEDC•AD， ∴DE； （2）∵AB＜AE＜AD＜AC， ∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，即点B在圆内，点C在圆外， ∴⊙A的半径r的取值范围为3＜r＜5． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 7．（2023秋•海州区校级月考）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm． （1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？ （2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 　 　． 【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【解答】解：（1）如图，连接AC， ∵AB＝6cm，AD＝8cm， ∴AC＝10cm， ∵⊙A的半径为6cm长， ∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外； （2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm． 故答案为：6cm＜r＜10cm． 【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 题型五 圆中角度的计算 解题技巧提炼 圆中角度长度的计算，主要利用了平行线的性质，三角形的外角，等腰三角形等有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键． 1．（2023•兴化市模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（　　） A．38° B．52° C．76° D．104° 【分析】根据半径相等得到OM＝ON，则∠M＝∠N＝52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数． 【解答】解：∵OM＝ON， ∴∠M＝∠N＝52°， ∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°． 故选：C． 【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 2．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数 是（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 【分析】先利用半径相等得到OA＝OC，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角性质求解． 【解答】解：∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO＝25°， ∴∠BOC＝∠A+∠ACO＝25°+25°＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆的认识和三角形外角的性质，属于基础题． 3．（2022•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OCOD，则∠ABD的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．105° 【分析】连接OB，则OCOB，由OC⊥AB，则∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案． 【解答】解：如图： 连接OB，则OB＝OD， ∵OCOD， ∴OCOB， ∵OC⊥AB， ∴∠OBC＝30°， ∵OD∥AB， ∴∠BOD＝∠OBC＝30°， ∴∠OBD＝∠ODB＝75°， ∠ABD＝30°+75°＝105°． 故选：D． 【点评】本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键． 3．（2023•怀宁县一模）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（　　） A．42° B．29° C．21° D．20° 【分析】利用半径相等得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E∠AOC进行计算即可． 【解答】解：连接OD，如图， ∵OB＝DE，OB＝OD， ∴DO＝DE， ∴∠E＝∠DOE， ∵∠1＝∠DOE+∠E， ∴∠1＝2∠E， 而OC＝OD， ∴∠C＝∠1， ∴∠C＝2∠E， ∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E， ∴∠E∠AOC87°＝29°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质． 4．如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为40°、70°、150°，则∠B的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】连接OD，如图，利用题意得到∠EOC＝40°，∠EOD＝70°，∠EOA＝150°，则可计算出∠COD＝30°，∠DOA＝80°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ODA＝50°，然后根据三角形外角性质计算∠B的度数． 【解答】解：连接OD，如图， ∵∠EOC＝40°，∠EOD＝70°，∠EOA＝150°， ∴∠COD＝70°﹣40°＝30°，∠DOA＝150°﹣70°＝80°， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠A（180°﹣80°）＝50°， ∵∠ODA＝∠B+∠DOB， ∴∠B＝50°﹣30°＝20°． 故选：A． 【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 5．（2024春•重庆期中）如图，点A、B、C是⊙O上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠AOB＝∠A+∠B B．∠AOB＝2（∠A+∠B） C．∠AOB＝90°﹣（∠A+∠B） D．∠AOB＝180°﹣2（∠A+∠B） 【分析】连接CO并延长交⊙O于D，根据OA＝OB＝OC得∠A＝∠OCA，∠B＝∠OAB，再根据三角形外角定理得∠AOD＝∠A+∠OCA＝2∠A，∠BOD＝∠B+∠OAB＝2∠B，则∠AOD+∠BOD＝2（∠A+∠B），据此即可得出结论． 【解答】解：连接CO并延长交⊙O于D，如下图所示： ∵OA＝OB＝OC， ∴∠A＝∠OCA，∠B＝∠OAB， ∴∠AOD＝∠A+∠OCA＝2∠A，∠BOD＝∠B+∠OAB＝2∠B， ∴∠AOD+∠BOD＝2（∠A+∠B）， 即∠AOB＝2（∠A+∠B）． 故选：B． 【点评】此题主要考查了圆的有关概念及其性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握圆的有关概念及其性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理是解决问题的关键． 6．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE＝AO，求∠E的度数． 【分析】连接OC，如图，由CE＝AO，OA＝OC得到OC＝EC，则根据等腰三角形的性质得∠E＝∠1，再利用三角形外角性质得∠2＝∠E+∠1＝2∠E，加上∠D＝∠2＝2∠E， 所以∠BOD＝∠E+∠D，即∠E+2∠E＝75°，然后解方程即可． 【解答】解：连接OC，如图， ∵CE＝AO， 而OA＝OC， ∴OC＝EC， ∴∠E＝∠1， ∴∠2＝∠E+∠1＝2∠E， ∵OC＝OD， ∴∠D＝∠2＝2∠E， ∵∠BOD＝∠E+∠D， ∴∠E+2∠E＝75°， ∴∠E＝25°． 【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质． 题型六 圆中线段长度的计算 解题技巧提炼 圆中线段长度的计算，主要利用了同圆的半径相等、勾股定理，在圆中常利用勾股定理计算边的长，熟练掌握勾股定理是关键． 1．（2023•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　） A． B．8 C．6 D．5 【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可． 【解答】解：如图，连结CD， ∵CD是直角三角形斜边上的中线， ∴CDAB10＝5． 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 2．（2023秋•延吉市校级期末）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OC． ∵四边形OBCD是矩形， ∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10， ∴OB6， ∴AB＝OA﹣OB＝4， 故选：C． 【点评】本题考查圆，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 【分析】连接OP，根据勾股定理以及矩形的性质定理即可求解． 【解答】解：∵直角△PAB中，AB2＝PA2+PB2， 又∵矩形PAOB中，OP＝AB， ∴PA2+PB2＝AB2＝OP2． 故选：C． 【点评】本题考查的是圆的认识，涉及到矩形的性质定理以及勾股定理，正确作出辅助线是关键． 4．（2023秋•南岗区校级月考）如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于C，四边形CDEF是正方形，连接BD，若CO＝3，OF＝1，则BD＝（　　） A． B． C．13 D． 【分析】连接OD，利用勾股定理求出OD，再利用勾股定理求出BD即可． 【解答】解：连接DO. ∵CO＝3，OF＝1， ∴CF＝4， ∵四边形CDEF是正方形， ∴∠DCO＝90°，CD＝CF＝4， ∴OD5， ∴OB＝OD＝5， ∴CB＝CO+OB＝8， ∴BD4． 故选：B． 【点评】本题考查圆的认识，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 5．（2023秋•通榆县期中）如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB＝3，BC＝4，则DF的长为 　 　． 【分析】如图，连接OB与OE．根据矩形的性质，由四边形OABC是矩形，得∠CBA＝90°，OB＝AC．根据勾股定理，由Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，得AC＝5．根据圆上点到圆心的距离均相等，由AC＝OB＝5，得OE＝OB＝5．根据矩形的性质，由四边形ODEF均为矩形，得DF＝OE＝5． 【解答】解：如图，连接OB与OE． ∵四边形OABC是矩形， ∴∠CBA＝90°，OB＝AC． 在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4， ∴AC5． ∴AC＝OB＝5． ∴OE＝OB＝5． ∵四边形ODEF为矩形， ∴DF＝OE＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、圆，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、圆是解决本题的关键． 6．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长． 【分析】由直径AB＝5cm，可得半径OC＝OAABcm，分别利用勾股定理计算AD、AC的长． 【解答】解：连接OC， ∵AB＝5cm， ∴OC＝OAABcm， Rt△CDO中，由勾股定理得：DOcm， ∴AD1cm， 由勾股定理得：AC， 则AD的长为1cm，AC的长为cm． 【点评】本题考查了同圆的半径相等、勾股定理，在圆中常利用勾股定理计算边的长，本题熟练掌握勾股定理是关键． 题型七 圆中线段长度的证明 解题技巧提炼 利用圆的半径相等进行证明，同时还用到三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的相关知识. 1．已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC． 【分析】首先证明OC＝OD，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD＝BC． 【解答】解：∵OA、OB是⊙O的两条半径， ∴AO＝BO， ∵C、D分别是半径OA、BO的中点， ∴OC＝OD， 在△OCB和△ODA中， ， ∴△OCB≌△ODA（SAS）， ∴AD＝BC． 【点评】此题主要考查了圆的认识，以及全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS． 2．如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE＝DF． 求证：AF＝BE． 【分析】根据AB、CD为⊙O中两条直径，得出OA＝OB，OC＝OD，再根据CE＝DF，得出OE＝OF，从而证出△AOF和△BOE全等，即可得出答案． 【解答】解：∵AB、CD为⊙O中两条直径， ∴OA＝OB，OC＝OD， ∵CE＝DF， ∵OC﹣CE＝OD﹣DF， ∴OE＝OF， 在△AOF和△BOE中， ， ∴△AOF≌△BOE（SAS）， ∴AF＝BE． 【点评】此题考查了圆的认识和全等三角形的判定及性质，关键是根据圆的性质得出△AOF和△BOE全等，要能综合应用全等三角形的判定与性质． 3．如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，∠B＝∠C．求证：CE＝BF． 【分析】证明△BOE≌△COF，即可得到OE＝OF，从而根据等式的性质得到CE＝BF． 【解答】证明：∵在△BOE和△COF中， ， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF， 又∵OB＝OC ∴CE＝BF． 【点评】本题考查了圆的基本概念，以及全等三角形的判定与性质，正确证明两个三角形全等是关键． 4．如图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分别交BA的延长线，AC于E、F，联结EF并延长交BC于G，EG⊥BC．求证：AB＝AC． 【分析】先利用AE＝AF，然后根据等角的余角相等得到∠B＝∠C，从而得到AB＝AC． 【解答】证明：∵AE＝AF， ∴∠E＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠CFG， ∴∠E＝∠CFG， ∵EG⊥BC， ∴∠E+∠B＝90°，∠C+∠CFG＝90°， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC． 【点评】本题考查了圆的认识：通常利用半径相等得到等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质解决问题． 5．如图，PQ是半圆O的直径，正方形ABCD和正方形CEFG彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径PQ上，点E在BC上，正方形CEFG的面积为16． （1）求证：OC＝OD； （2）求⊙O的半径长． 【分析】（1）由Rt△AOD≌Rt△BOC（HL），即可证明OC＝OD； （2）设OC＝OD＝x，则BC＝2x，由勾股定理得到x2+（2x）2＝（x+4）2+42，求出x＝4（舍去负值），即可得到OBx＝4． 【解答】（1）证明：连接OA，OB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADO＝∠BCO＝90°，AD＝BC＝DC， ∵OA＝OB， ∴Rt△AOD≌Rt△BOC（HL）， ∴OD＝OC； （2）解：连接OF， 设OC＝OD＝x，则BC＝2x， ∵正方形EFGC的面积＝16， ∴FG＝CG＝4， ∴OG＝x+4， ∵OB2＝OC2+BC2，OF2＝OG2+FG2，OB＝OF， ∴x2+（2x）2＝（x+4）2+42， ∴x＝4（舍去负值）， ∴OBx＝4， ∴⊙O半径长是4． 【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，关键是由勾股定理求出OC的长． 题型八 确定圆心的位置 解题技巧提炼 找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 1．（2023秋•仓山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形边长为1） （1）请写出该圆弧所在圆的圆心P的坐标　 　；⊙P的半径为　 　（结果保留根号）； （2）判断点M（﹣1，1）与⊙P的位置关系　 　． 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示： 则圆心是（2，﹣1）， r2； （2）d2， 故点M（﹣1，1）与⊙P的位置关系：圆内． 故答案为：（2，﹣1），2，圆内． 【点评】本题考查的是垂径定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键． 2．（2023•泗洪县二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是　 ． 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，1）． 故答案为：（2，1）． 【点评】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 3．（2023秋•历下区期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系． （1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为 　 　． （2）求⊙M的面积（结果保留π）． 【分析】（1）连接AB，AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两直线交于点M，就是过A，B，C三点的圆的圆心，有图形可得M的坐标； （2）由勾股定理即可求得圆的直径，根据圆的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示：连接AB，AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两直线交于点M， 则点M就是过A，B，C三点的圆的圆心，由图形可知M的坐标为M（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）； （2）连接MB， 由勾股定理得MB， 故圆的面积为10π． 【点评】此题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理得出圆心位置． 4．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R． 【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求； （2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R． 【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心； （2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D． ∵BC＝16cm， ∴BD＝8cm， ∵AB＝10cm， ∴AD＝6cm， 设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm， ∴R2＝82+（R﹣6）2， 解得：Rcm， ∴圆片的半径R为cm． 【点评】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立． 5．（2023秋•乐亭县期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）． （1）写出圆心M的坐标为 　 　； （2）这个圆的半径为 　 　； （3）直接判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．点D（4，﹣3）在⊙M　 　（填内、外、上）． 【分析】（1）利用网格特点，作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为M点，从而得到点M的坐标； （2）利用两点间的距离公式计算出MA即可； （3）先计算出DM，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点D与⊙M的位置关系． 【解答】 解：（1）如图，圆心M的坐标为（2，0）； （2）∵A（0，4），M（2，0）， ∴MA2 即⊙M的半径为2； （3）圆的半径AM＝2， 线段MD2 所以点D在⊙M内． 故答案为（2，0）；2，内． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． 题型九 确定三角形外心的位置 解题技巧提炼 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． 1．（2023春•仪征市期末）点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的（　　） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答． 【解答】解：点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的三条垂直平分线交点， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键． 2．若一个三角形的外心在这个三角形的边上，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，则该三角形是直角三角形． 【解答】解：∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角， ∴该三角形是直角三角形． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形的外心，注意：直角三角形的外心就是它的斜边的中点． 3．（2023秋•桐庐县期中）△ABC的外心在三角形的一边上，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形． 【解答】解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部； 由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，关键掌握直角三角形的外心就是其斜边的中点． 4．（2023•任丘市模拟）如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（　　） A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点 【分析】由图可知，△ABC是锐角三角形，于是得到△ABC的外心只能在其内部，根据勾股定理得到BP＝CPPA，于是得到结论． 【解答】解：由图可知，△ABC是锐角三角形， ∴△ABC的外心只能在其内部， 由此排除A选项和B选项， 由勾股定理得，BP＝CPPA， ∴排除C选项， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键． 5．（2023•邢台一模）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（　　） A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF 【分析】根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点解答即可． 【解答】解：∵OA＝OB，OE＝2， ∴OA＝OB≠OE， ∴点O不是△ABE的外心， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键． 6．（2023秋•承德县期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【分析】根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【解答】解：根据题意可知，点D是△ABC外心． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，属于基础题型，比较简单． 7．（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O； （2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积． 【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O； （2）根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求； （2）连接OB， 由勾股定理得：OB， ∴外接圆⊙O的面积为：π×（）2＝10π． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的概念、熟记圆的面积公式是解题的关键． 题型十 三角形的外接圆与外心 解题技巧提炼 主要考查了三角形的外心的性质求角度或线段长，有时要利用等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 1．如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若BC＝6，则MN＝　 　． 【分析】连接DE，利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点，得到D为AB的中点，E为AC的中点，利用三角形的 中位线定理即可求得结论． 【解答】解：连接DE，如图， ∵点O是△ABC的外心， ∴O是△ABC三边垂直平分线的交点， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴D为AB的中点，E为AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC＝3． ∵点M、N分别是OD、OE的中点， ∴MN是△ODE的中位线． ∴MNDE＝1.5． 故答案为：1.5． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，充分利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点是解题的关键． 2．（2023秋•大兴区期末）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径． 【分析】连接AO，BO，由圆周角定理求得∠AOB＝90°，利用勾股定理求出即可． 【解答】解：连接OA，OB， ∵∠C＝45°， ∴∠AOB＝2∠C＝90°， 在Rt△AOB中， OA2+OB2＝AB2，AB＝2，OA＝OB， ∴2OA2＝4， OA2＝2， ∴OA （舍负）， ∴⊙O的半径是 ． 【点评】此题主要考查了圆周角定理和勾股定理等内容，解决问题的关键是由圆周角定理求得∠AOB＝90°． 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，AB＝AC，O为△ABC的外心，△OCP为等边三角形，OP与AC相交于D点，连接OA． （1）求∠OAC的度数； （2）求∠AOP的度数． 【分析】（1）直接利用三角形外心的性质以及等腰三角形的性质得出即可； （2）利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出∠OAC＝∠OCA＝35°，进而结合三角形外角的性质得出答案． 【解答】解：∵O为△ABC的外心，∠BAC＝70°，AB＝AC， ∴∠OAC＝35°（AO垂直平分BC，则三线合一）， （2）∵O为△ABC的外心， ∴AO＝CO， ∴∠OAC＝∠OCA＝35°， ∴∠AOC＝110°， ∵△OCP为正三角形， ∴∠AOP＝50°． 【点评】此题主要考查了三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出∠OAC＝∠OCA＝35°是解题关键． 4．（2023•湖北模拟）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证； （2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC． 【解答】解：（1）连接OB、OC， ∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC， ∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO， 在△OAB和△OAC中， ， ∴△OAB≌△OAC（AAS）， ∴AB＝AC 即△ABC是等腰三角形； （2）延长AO交BC于点H， ∵AH平分∠BAC，AB＝AC， ∴AH⊥BC，BH＝CH， 设OH＝b，BH＝CH＝a， ∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6， ∴， 解得，， ∴BC＝2a＝3． 【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，第（1）关键在证明三角形全等；第（2）题关键由勾股定理列出方程组． 5．（2023秋•东莞市期末）如图，△ABC为圆O的内接三角形，AB＝AC，连接AO并延长交BC于点M． （1）求证：AM⊥BC； （2）若BC＝6，，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和垂径定理得到结论； （2）连接OB，根据等腰三角形的性质得到BMBC＝3，根据勾股定理得到AM9，设OB＝OA＝r，则OM＝9﹣r，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴， ∵AM过圆心， ∴AM⊥BC； （2）解：连接OB， ∵AM⊥BC，AB＝AC， ∴BMBC＝3， ∵， ∴AM9， 设OB＝OA＝r，则OM＝9﹣r， ∵OB2＝BM2+OM2， ∴r2＝32+（9﹣r）2， 解得r＝5， 故⊙O的半径为5． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．（2023秋•涟水县校级月考）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心． （1）如图①，△ABC是等边三角形，点O是△ABC的外心，求证∠ABO＝30° （2）如图②，△ABC是等边三角形，分别延长等边三角形ABC的边AB、BC、CA到点D、E、F，使BD＝CE＝AF，连接DE，EF，DF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，根据全等三角形的性质得到∠ABO＝∠OBC，于是得到结论； （2）连接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，推出∠FAO＝∠DBO，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC， ∵点O是△ABC的外心， ∴OA＝OB＝OC， 在△AOB与△COB中， ， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴∠ABO＝∠OBC， ∵∠ABO+∠OBC＝∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝30°； （2）连接OF，OD，OE， 由（1）得，∠ABO＝30°， ∵点O为△ABC的外心， ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠ABO＝30°， ∴∠OAC＝60°﹣30°＝30°， ∴180°﹣∠OAC＝180°﹣∠ABO， ∴∠FAO＝∠DBO， 在△FAD与△DBO中， ， ∴△FAD≌△DBO（SAS）， ∴OF＝OD， 同理，OF＝OE， ∴OF＝OE＝OD， ∴点O也是△DEF的外心． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！43 学科网（北京）股份有限公司 $$