精品解析：河南省漯河市2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试题

漯河市2023-2024学年下学期期末质量监测 高一数学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则可得相关线段长，将直观图复原为原图形，即可求得答案. 【详解】由题意知，, 如图，将直观图复原为四边形，则四边形为平行四边形， 因为，是的中点，故，且, 故,故， 故选：C 3. 三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理进行转化，判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理，， 因为，所以. 故选：A 4. 已知空间两条不同直线，两个不同平面，下列命题不正确的是（ ） A. ，则 B. ，，则 C. ，则 D. ，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的有关性质可判断ABC的真假，根据线面平行和面面平行的有关性质可判断D的真假. 【详解】对A：因为垂直于同一个平面的两条直线平行，故A正确； 对B：因为，所以在平面内，存在直线，使得，又，所以，且，所以.故B正确； 对C：因为垂直于同一条直线的两个平面平行，故C正确； 对D：两个平面互相平行，与这两个平面平行的直线位置关系不能确定，故D错误. 故选：D 5. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为，乙罐中有三个相同的小球，标号为，从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件相互独立 C. 事件是互斥事件 D. 事件发生的概率为 【答案】B 【解析】 【分析】写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，结合古典概型概率计算公式、独立事件以及互斥事件的概念即可逐一判断各个选项. 【详解】从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，设甲罐中抽取小球的标号为，乙罐中抽取小球的标号为， 则的所有可能为：，共12种可能， 事件“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，共3种可能， 事件“抽取的两个小球标号之积小于6”包含的基本事件有： ，共7种可能， 对于A，事件发生的概率为，故A不符合题意； 对于BC，，而不可能同时发生，这意味着事件是互斥事件，即， 故，即事件不相互独立，故B符合题意，C不符合题意； 对于D，事件发生的概率为，故D不符合题意. 故选：B. 6. 已知向量，满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算律运算即可. 【详解】由题得， 所以. 故选：. 7. 函数，则“”是“函数在上存在零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】首先得出“函数在上存在零点”的充要条件是的取值范围是，进一步结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】设方程即方程在上存在零点， 令，显然在上单调递减， 而，所以的值域为， 所以函数在上存在零点当且仅当的取值范围是， 所以“”是“函数在上存在零点”的必要不充分条件. 故选：C. 8. 已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过条件得到三点共线，进而根据O为的外心得到，且O为斜边的中点，再利用投影向量的定义结合已知可得. 【详解】， ，即， 又O为的外心，则, , 则 即，且O为斜边的中点，过作的垂线，垂足为， 向量在向量上的投影向量为， ， . 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 复数的共轭复数 C. 若角的终边经过点，则 D. 函数的一个对称中心是 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，利用复数的定义，即可求解；选项B，利用共轭复数的定义，即可求解；选项C，根据条件，利用三角函数的定义，即可求解；选项D，利用的性质，求出函数的对称中心，即可求解. 【详解】对于选项A，因为复数的虚部为，所以选项A错误， 对于选项B，因为复数的共轭复数为，所以选项B正确， 对于选项C，因为角的终边经过点，得到，所以选项C正确， 对于选项D，由，得到，取， 得到函数的一个对称中心是，所以选项D正确， 故选：BCD. 10. 在中，，，所对的边分别是，，，，，则（ ） A. 若，则角有一个解 B. 若，则边上的高为 C. 的周长不可能为 D. 若为锐角三角形，则面积的最值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦定理可判断A选项，结合向量数量积公式及三角形面积可判断B选项，利用正弦定理与周长及面积公式结合三角函数求值域可判断D选项. 【详解】A选项，由正弦定理，即，则，又，故有两个解，A选项错误； B选项，由，即，所以，即，解得，B选项正确； 由正弦定理，即，， C选项，的周长为，又，即，故，又，故C选项错误； D选项，的面积，为锐角三角形，则，即，，D选项正确； 故选：BD. 11. 已知正方体的棱长为3，棱的中点分别为，点在底面正方形内（含边界），且平面∥平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若存在实数使得，则 B. 若，则∥平面 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 二面角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】做辅助线，根据面面平行分析可知由面面平行的性质可知点线段.对于A：根据向量的线性关系分析判断；对于B：根据面面平行的性质可得∥，即可得结果；对于C：根据垂直分析可知以为底面的三棱锥的体积最大值为，进而可得结果；对于D：根据平行的性质可知二面角等于二面角，结合二面角的定义运算求解. 【详解】分别取的中点，连接， 可知∥，∥，因为∥，则∥， 同理可得∥，∥，可知六点共面，平面即为平面， 又因为∥，平面，平面，得∥平面，同理∥平面， 且，平面，所以平面∥平面， 又因为点在底面正方形内（含边界），由面面平行的性质可知点线段. 对于A：若存在实数使得，可知三点共线，则点即为点，为的中点，所以，正确； 对于B：若，可知点即为点， 因为平面∥平面，且平面平面，平面平面，得∥， 又平面，平面，所以∥平面，即∥平面，正确； 对于C：因为平面，平面，则，又为正方形，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得，同理， 且，平面，可得平面， 结合正方体的对称性可知：正方体中点到平面的距离最大， 可知在正方体内，以为底面的三棱锥的体积最大值为， 可得， 所以三棱锥体积的最大值不为，错误； 对于D：设，连接， 因为平面∥平面，可知二面角等于二面角， 因为，且为的中点，则， 可知二面角的平面角为， 因为，则， 所以二面角的正切值为，正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：对于选项D，立体几何求角度问题，常常利用平行的性质进行转化，把复杂的线面关系转化为简单的线面关系，进而求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，若向量与共线，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量共线可列关于的方程，进而求解. 【详解】平面向量，若向量与共线，则，解得. 故答案为：. 13. 某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，为了获取学生身高信息，采用男、女按比例分配分层抽样的方法抽取样本50人，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为170，方差为20，女生样本的均值为160，方差为30，据此估计该校高一年级学生身高的总体方差为____________． 【答案】48 【解析】 【分析】根据分层抽样的均值和方差的计算公式计算即可. 【详解】由题意，某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人， 可得总体的均值为， 总体的方差为. 故答案为：48. 14. 在侧棱长为4的正三棱锥中，点为线段上一点，且，则该正三棱锥的外接球体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接、，只需证明、、两两垂直即可求得正三棱锥的外接球的半径，进一步即可得解. 【详解】 取中点，连接、，则有，， 又，、平面，故平面， 又平面，故，又， ，、平面，故平面， 又、平面，故，， 由正三棱锥的性质可得、、两两垂直， 正三棱锥的外接球的半径为， 所以正三棱锥的外接球体积为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数（其中），. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知为实数，所以，求得，再进行复数的乘法运算即可； （2）由题知为纯虚数，所以，求得，再根据复数的模长公式计算即可. 【小问1详解】 由已知， 是实数， ，即， . 【小问2详解】 ， 由于是纯虚数，，解得， 则. . 16. 已知三角形的内角所对的边分别为，若，且. （1）若，求； （2）点在边上且平分，若，求三角形的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可求B，进而可得结果； （2）利用面积关系可得，结合列式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可知， 则. 可得，整理可得. 由余弦定理知， 且，可得， 由知. 可知为直角三角形，所以. 【小问2详解】 点在边上且平分，可知， 则， 即，可得.① 又因为，即，可得.② ①代入②得到，解得或（舍去）， 所以的周长为. 17. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 【答案】（1）0.4 （2）52.5 （3） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可得：组距为10，所以： ， 得：，故样本中数据落在的频率为：. 【小问2详解】 设第50百分位数为，易得位于50和60之间， 则有： 解得：. 【小问3详解】 分组人数为：人； 分组人数为：人， 利用分层抽样的方法易得： 分组抽人， 分组抽人， 从这6人中随机抽取2人进行座谈，抽取的2人中至少有1人的年龄在分组，即： 2人中有1人的年龄在分组，另1人的年龄在分组；2人的年龄都在分组， 故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为：. 18. 在四棱锥中，平面平面，E为边上一点，为中点，. （1）求四棱锥的体积； （2）证明:平面； （3）证明:平面平面. 【答案】（1）3 （2）证明：取中点，为中点， 为中位线，，且， 又，且， ，且，四边形为平行四边形， ，又平面平面， 平面. （3）证明：由（2）得四边形为平行四边形，为的中点， ，又， ，在中，为中点， ，平面平面， 平面，又平面，    平面⊥平面. 【解析】 【分析】（1）证明平面以及求出四边形的面积即可根据锥体体积公式求解； （2）取中点，连接，利用平行四边形证明即可得证； （3）证明平面，再结合面面垂直判定定理即可得证. 【小问1详解】 ， 且， 又， 由余弦定理得，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 连接为等边三角形， ， 为直角三角形， ， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图所示，设多边形的顶点均在半径为2的圆上，恰好为圆的直径，点在上，，且，设. （1）用表示； （2）求的最小值以及取得最小值时的值； （3）求多边形的面积与的函数关系式，并求出的取值范围. 【答案】（1） （2）最小值4， （3）， 【解析】 【分析】（1）由题意得，结合数量积的运算律、定义即可求解； （2）由（1）中结论得出表达式，结合基本不等式即可求解； （3）由，用表示出各个线段长即可得表达式，进一步通过换元法结合二次函数性质即可求解. 【小问1详解】 连接，因为， 所以，所以，同理， 又因为，所以. 如图， . 【小问2详解】 在中，，所以 当且仅当，即时取等号； 因为，所以，所以. 【小问3详解】 在直角三角形中，， 所以，所以， 所以 ， 令，则，且， 所以， 此函数在上单调递增， 当，即时，， 代入得到， 所以多边形的面积的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漯河市2023-2024学年下学期期末质量监测 高一数学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 4. 已知空间两条不同直线，两个不同平面，下列命题不正确的是（ ） A. ，则 B. ，，则 C. ，则 D. ，则 5. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为，乙罐中有三个相同的小球，标号为，从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件相互独立 C. 事件是互斥事件 D. 事件发生的概率为 6. 已知向量，满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数，则“”是“函数在上存在零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 复数的共轭复数 C. 若角的终边经过点，则 D. 函数的一个对称中心是 10. 在中，，，所对的边分别是，，，，，则（ ） A. 若，则角有一个解 B. 若，则边上的高为 C. 的周长不可能为 D. 若为锐角三角形，则面积的最值范围为 11. 已知正方体的棱长为3，棱的中点分别为，点在底面正方形内（含边界），且平面∥平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若存在实数使得，则 B. 若，则∥平面 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 二面角的正切值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，若向量与共线，则__________. 13. 某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，为了获取学生身高信息，采用男、女按比例分配分层抽样的方法抽取样本50人，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为170，方差为20，女生样本的均值为160，方差为30，据此估计该校高一年级学生身高的总体方差为____________． 14. 在侧棱长为4的正三棱锥中，点为线段上一点，且，则该正三棱锥的外接球体积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数（其中），. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求. 16. 已知三角形的内角所对的边分别为，若，且. （1）若，求； （2）点在边上且平分，若，求三角形的周长. 17. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 18. 在四棱锥中，平面平面，E为边上一点，为中点，. （1）求四棱锥的体积； （2）证明:平面； （3）证明:平面平面. 19. 如图所示，设多边形的顶点均在半径为2的圆上，恰好为圆的直径，点在上，，且，设. （1）用表示； （2）求的最小值以及取得最小值时的值； （3）求多边形的面积与的函数关系式，并求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $