专题01 直线与方程（重点+难点）-2024-2025学年高二数学期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019选择性必修第一册，江苏专用）

专题01 直线与方程（重点+难点） 一、单选题 1．已知点在直线上，则直线的倾斜角大小为（     ） A． B． C． D． 2．如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 3．直线（、）的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线经过两条直线和的交点.且垂直于直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（    ） A． B． C． D．6 6．已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．下列说法错误的是（    ） A．若直线与直线互相垂直，则 B．直线必过定点 C．直线在y轴上的截距为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 10．已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为 B．对任意的，与都有公共点 C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都不垂直 11．定义点到直线:的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是.以下命题不正确的是（    ） A．若，则直线与直线平行 B．若，，则直线与直线垂直 C．若，则直线与直线垂直 D．若，则直线与直线相交 三、填空题 12．已知直线，直线，若，则实数的值为 ． 13．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 . 14．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 四、解答题 15．已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 16．已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 17．已知的三个顶点分别为，，. (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线与坐标轴围成的三角形的面积. 18．已知直线：. (1)求证：直线与直线总有公共点； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 19．在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 . (1)填空：(直接写出结论) ①若， 则 ； ②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； ③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ； (2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标； (3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件： ①； ② 若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A． B． C． D． 2．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（    ） A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点 C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点 3．设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（ ） ①不论为何值，点都不在直线上； ②若，则过的直线与直线相交； ③若，则直线经过的中点. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个. 4．已知函数，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为9 C．有1个实根 D．有1个实根 5．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）＝|x1－x2|＋|y1－y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ③到M（－1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x＝0； ④到M（－1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线． 其中真命题有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 6．已知点P是直线上的动点，定点，则下列说法正确的是（    ） A．线段PQ的长度的最小值为 B．当PQ最短时，直线PQ的方程是 C．当PQ最短时P的坐标为 D．线段PQ的长度可能是 7．已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，成为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，、，点Р满足，设点Р所构成的曲线为C，下列结论正确的是（    ） A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得 C．在C上存在点M，使M在直线上 D．在C上存在点N，使得 三、填空题 9．点B在y轴上运动，点C在直线上运动，若，则的周长的最小值为 . 10．若，则的最小值为 . 四、解答题 11．如图，已知，，，直线. (1)求直线l经过的定点坐标； (2)若直线l等分的面积，求直线l的方程； (3)若，点E､F分别在线段BC和AC上，上，求的取值范围. 12．如图，是一张三角形纸片，，，，设与，的交点分别为，，将沿直线折叠后，使落在边上的点处. (1)设，试用表示点到距离； (2)求点到距离的最大值. 13．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线与方程（重点+难点） 一、单选题 1．已知点在直线上，则直线的倾斜角大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线的斜率公式得直线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系求解即可. 【解析】直线斜率， 则，由，则 故选：D 2．如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定直线的斜率和纵截距的取值即可判断作答. 【解析】因AB>0且BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0的斜率，纵截距， 所以直线Ax＋By＋C＝0必过第一、二、四象限，不经过第三象限. 故选：C 3．直线（、）的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求直线的斜率并确定其范围，再利用倾斜角与斜率的关系，即可求解． 【解析】由题意，直线方程可化为： 直线的斜率为 设直线的倾斜角为 故选：D 【点睛】本题以直线为载体，考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查三角函数的性质，属于基础题． 4．已知直线经过两条直线和的交点.且垂直于直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出两条直线的交点，再由两条直线垂直，设出直线方程，将点代入求解. 【解析】解：由， 解得交点坐标为， 因为直线垂直于直线， 所以设直线的方程为：， 因为直线过点， ， ， 直线的方程为：， 故选：A. 5．已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据平行线间距离求值. 【解析】与间距离， 与间距离， 又由正方形可知， 即， 解得， 故选：D. 6．已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案. 【分析】解：直线方程为转化为， 所以直线过定点，且与线段相交，如图所示， 则直线的斜率是， 直线的斜率是， 则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或. 故选：A． 7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【解析】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示，    由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故选：C 8．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据直线过定点确定出对于给定的一点，取最大值时且，然后根据点为正方形上任意一点求解出，由此可知. 【解析】直线过定点， 对于任意确定的点， 当时，此时， 当不垂直时，过点作，此时，如图所示： 因为，所以，所以， 由上可知：当确定时，即为，且此时； 又因为在如图所示的正方形上运动，所以， 当取最大值时，点与重合，此时， 所以， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析取最大值时与直线的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解. 二、多选题 9．下列说法错误的是（    ） A．若直线与直线互相垂直，则 B．直线必过定点 C．直线在y轴上的截距为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AD 【分析】A.根据时也垂直判断；B.变为点斜式即可判断；C.令即可；D.截距都为0也符合条件. 【解析】解：对A：，解得或，A不正确； 对B：直线可变为， 因此直线必过定点，即B正确； 对C：直线在轴上的截距，令，得，所以直线在轴上的截距为，所以C正确． 对D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，所以D不正确； 故选：AD． 10．已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为 B．对任意的，与都有公共点 C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都不垂直 【答案】ABD 【分析】当时可判断A；直线与均过点可判断B；当时可判断C，由两直线垂直斜率乘积等于可判断D，进而可得正确选项. 【解析】对于A：当时，直线：，此时直线的倾斜角为，故选项A正确； 对于B，直线与均过点，所以对任意的，与都有公共点，故选项B正确； 对于C，当时，直线为，即与重合，故选项C错误； 对于D，直线的斜率为，若的斜率存在，则斜率为，所以与不可能垂直，所以对任意的，与都不垂直，故选项D不正确； 故选：ABD. 11．定义点到直线:的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是.以下命题不正确的是（    ） A．若，则直线与直线平行 B．若，，则直线与直线垂直 C．若，则直线与直线垂直 D．若，则直线与直线相交 【答案】BCD 【分析】要理解题目中有向距离的概念，点在直线上方时为正，下方时为负，绝对值代表点到直线的距离，根据各选项判断即可 【解析】设, , 选项A, 若, 则, 则点在直线的同一侧，且到直线距离相等，所以直线与直线平行, 所以正确; 选项B, 点在直线的两侧且到直线的距离相等, 直线不一定与垂直, 所以错误; 选项C, 若, 满足, 即, 则点都在直线上, 所以此时直线与直线重合, 所以错误; 选项D, 若, 即, 所以点分别位于直线的两侧或在直线上, 所以直线与直线相交或重合, 所以错误. 故选：BCD 三、填空题 12．已知直线，直线，若，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据两直线垂直的充要条件求解即可. 【解析】因为， 所以，解得或， 故答案为：或 13．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 . 【答案】/0.5 【分析】求出点关于的对称点为，设，则，求出关于轴的对称点为，表达出直线的方程，由对称性可得在直线上，代入方程，求出，求出直线的方程，联立直线与直线，求出，从而得到的值. 【解析】设点关于的对称点为， 则，解得，故， 设， 因为，所以， 则，则， 设点关于轴的对称点为， 则直线的方程为， 由对称性可得在直线上，即， 解得， 故直线的方程为， 联立直线与直线， ，解得， 所以，将代入中， . 故答案为： 14．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 【答案】/ 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【解析】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 四、解答题 15．已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)0 (2)或 【分析】（1）根据直线平行的必要条件求a，然后验证即可； （2）根据直线垂直的充要条件求解可得. 【解析】（1）若，则有， 即，解得或， 当时，，，满足； 当时，，，此时重合，不满足. 综上，实数的值为0. （2）若，则， 即，解得或. 所以，实数的值为或. 16．已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【解析】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 17．已知的三个顶点分别为，，. (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线与坐标轴围成的三角形的面积. 【答案】(1)， (2)25 【分析】（1）由截距式直线方程与两点式直线方程即可写出直线方程； （2）先将直线方程求出，再写出截距式直线方程即可求三角形面积. 【解析】（1）由截距式，得边所在直线的方程为，即. 由两点式，得边所在直线的方程为，即. （2）由题意，得点的坐标为， 由两点式，得边所在直线的方程为， 即，所以. 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积. 18．已知直线：. (1)求证：直线与直线总有公共点； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)最小值为，此时直线的方程为. 【分析】 （1）直线变形为，得到方程组，求出直线恒过点，又在上，从而证明出结论； （2）先根据题意得到直线的斜率存在且大于0，故，得到点的坐标，得到，表达出，换元后得到最值，进一步得到直线的方程. 【解析】（1）直线变形为， 令，解得，故直线恒过点， 又，故点在上， 故直线与直线总有公共点； （2）直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点， 故直线的斜率存在且大于0，故， 中，令，得， 中，令，得， 显然，解得， 则， 令， 则， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为16， 此时，，直线的方程为. 19．在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 . (1)填空：(直接写出结论) ①若， 则 ； ②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； ③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ； (2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标； (3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件： ①； ② 若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)5；；6 (2)最小值为，点B的坐标为 (3) 【分析】（1）①代入定义即可得出答案；②设是轨迹上任意一点，根据定义列出式子，化简即可得出答案；③根据定义，化简得出.分情况去绝对值，作出函数的图象，进而得出答案； （2）设，则，得出.然后分情况讨论去掉绝对值，得出表达式，进而逐段求解，即可得出最小值； （3）分当，时，当，时，当，时等情况，分别讨论得出满足条件的点，即可得出答案. 【解析】（1）①根据定义可得，； ②设是轨迹上任意一点， 由已知可得， 根据定义可得，. 所以，到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是； ③设曲线G上任意一点， 由已知可得，， 所以有， 整理可得，. （ⅰ）当时，该式可化为， 即. 当且时，为； 当且时，为； （ⅱ）当时，该式可化为， 整理可得，即； （ⅲ）当时，该式可化为， 整理可得. 当且时，为； 当且时，为； 作出曲线满足的图象    所以，曲线G所围成的封闭图形的面积的值为. 故答案为：5；；6. （2）设，则，所以， 所以，. 当时，有； 当时，有； 当时，有. 综上所述，当时，有最小值，此时. 所以，的最小值为，取得最小值时点B的坐标为. （3）（ⅰ）当，时， 由条件②可得，， 即有. 因为，所以. 由条件①可得，， 所以有. 又， 所以有，所以. 因此，所求的点为； （ⅱ）当，时， 由（ⅰ）同理可得，所求的点为； （ⅲ）当，时，不妨设. ①若， ，，， 所以，. 当且仅当与同时成立， 所以有，且， 从而由条件②可得，， 此时所求的点的全体为； ②若， 由条件①可得，，且， 从而由条件②可得，， 此时所求的点的全体为. 综上所述，所有符合条件的点的集合为. 【点睛】关键点点睛：根据定义得出关系式后，根据未知量的范围，分类讨论，去掉绝对值，化简求解. 一、单选题 1．已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式， 联立得到表达式代入求解即可. 【解析】解：设，，则 ， 的中点为， ， 分别在直线和， ，， ，即. ，即 ， 又，，即 ， 所以，即 ， 解得. 故选：A. 【点睛】平面解析几何问题中的设而不求方法注意事项： （1）凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”； （2）“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多. 2．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（    ） A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点 C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点 【答案】A 【分析】根据在直线可得，从而可得有唯一交点，从而可得正确的选项. 【解析】因为与是直线（为常数）上两个不同的点， 所以即， 故既在直线上，也在直线上. 因为与是两个不同的点，故、不重合， 故无论，，如何，总有唯一交点. 故选：A. 3．设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（ ） ①不论为何值，点都不在直线上； ②若，则过的直线与直线相交； ③若，则直线经过的中点. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个. 【答案】C 【分析】①通过分母不为0，确定，可以判断①的对错；②③通过对条件整理变形，利用直线的相关性质判断. 【解析】因为，分母不为0，所以，所以不论为何值，点都不在直线上，①正确； 当时，设，（），则，为直线上的两个点，显然直线与直线平行，故过的直线与直线不会相交，②错误； 当时，设，整理得：，因为，，所以的中点坐标为，故若，则直线经过的中点.③正确；正确的个数为2个 故选：C 4．已知函数，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为9 C．有1个实根 D．有1个实根 【答案】B 【分析】先设点的坐标，把函数转化为，再结合图形特征得出最小值即可. 【解析】是抛物线上一点， 到直线的距离为 到点的距离为， 所以 当共线时，取最小值， 最小值为到的距离. 因为， 且的最小值为， 所以的最小值为9，且在交点或处取到， 故选：B. 5．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）＝|x1－x2|＋|y1－y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ③到M（－1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x＝0； ④到M（－1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线． 其中真命题有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】试题分析：点到原点的“折线距离” ，由数形结合可知点的集合为边长为的正方形，所以①正确， ②不正确； 设点到两点的“折线距离”相等，即，则有， 两边平方并整理可得，所以③正确； 设点到两点的“折线距离”差的绝对值为1，即， 整理可得，可解得，为两条平行线，所以④正确． 综上可得正确的有①③④共3个，故C正确． 考点：新概念． 二、多选题 6．已知点P是直线上的动点，定点，则下列说法正确的是（    ） A．线段PQ的长度的最小值为 B．当PQ最短时，直线PQ的方程是 C．当PQ最短时P的坐标为 D．线段PQ的长度可能是 【答案】AC 【分析】当PQ垂直直线时，PQ最短，即可判断A、D，设出P坐标，根据最短使PQ与直线垂直求解P坐标，即可判断C，由两点式求出直线方程，即可判断B． 【解析】解：当PQ垂直直线时，PQ最短， Q到直线的距离为，故A正确； 故PQ的长度范围为，，故D错误； 设，则，解得， 故P为，故C正确； 此时直线PQ的方程是，即，故B错误， 故选：AC． 7．已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】BCD 【分析】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，对于A：根据对称性可得，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断. 【解析】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为， 可知， 对于选项A： 可得周长， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以周长的最小值为，故A错误；    对于选项B：设到轴，直线：的距离分别为， 则， 可得， 所以的最小值为，故B正确；    对于选项C：因为， 设到直线：的距离为， 可得， 所以的最小值为，故C正确；    对于选项D：作，垂足为， 因为直线的斜率，则，可得， 则， 可得， 所以的最小值为4，故D正确；    故选：BCD. 8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，成为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，、，点Р满足，设点Р所构成的曲线为C，下列结论正确的是（    ） A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得 C．在C上存在点M，使M在直线上 D．在C上存在点N，使得 【答案】AD 【分析】通过设出点P的坐标，利用，即可求出曲线C的轨迹方程，然后假设曲线C上一点坐标，根据BCD三个选项逐一列出所满足条件，然后与C的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案. 【解析】设点，由， 得，化简得，即，故A选项正确； 对于B选项，设，由得， 又，联立方程可知无解，故B选项错误； 对于C选项，设，由M在直线上得， 又，联立方程可知无解，故C选项错误； 对于D选项，设，由，得，又，联立方程可知有解，故D选项正确. 故选：AD. 三、填空题 9．点B在y轴上运动，点C在直线上运动，若，则的周长的最小值为 . 【答案】 【分析】关于轴的对称点，关于的对称点，连接交直线与，交轴于，则此时的周长的值最小，求出即可． 【解析】 解：关于轴的对称点，关于的对称点， ， 连接交直线与，交轴于， 的周长, 则此时的周长的值最小，即的长度即为三角形周长的最小值， 由题意及作图知． 设点，解得所以. 由两点距离公式知，． 故答案为:． 10．若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意并结合两点间的距离公式，将原不等式转化为，其中是轴上的动点，是轴上的动点，，是定点，根据距离的几何意义和对称关系，可知当、、、四点共线时，取得最小值，则，最后利用两点间的距离公式即可求得结果. 【解析】解：将配方得： ， 根据两点间的距离公式可知， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 其中是轴上的动点，是轴上的动点，，是定点， 所以， 如图，作关于轴的对称点，关于轴的对称点， 所以要求的最小值， 则需求的最小值， 可知当、、、四点共线时，取得最小值， 即， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 11．如图，已知，，，直线. (1)求直线l经过的定点坐标； (2)若直线l等分的面积，求直线l的方程； (3)若，点E､F分别在线段BC和AC上，上，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将直线变形为，由恒等式可得方程组，从而求得直线所过的定点； （2）根据条件确定直线l所过的定点在直线AB上，设出直线l与AC交点D，由确定D点位置，从而求出D点坐标，代入直线l的方程可求解方程； （3）由可得有，设，可确定，由向量共线可得出F点坐标，表示出,利用二次函数的图象与性质即可求得其取值范围. 【解析】（1）解：直线可化为， 联立，解得，故直线l经过的定点坐标为； （2）解：因为，，，所以有， 由题可得直线AB方程为，故直线l经过的定点在直线AB上， 所以，设直线l与AC交于点D，所以有， 即， 所以，设， 所以，即， 所以，，所以， 将D点坐标代入直线l的方程，解得， 所以直线l的方程为：； （3）解：由（2）可知为等边三角形， 所以，， 而，，，所以有， 设，则，所以， 因为F在AC上，设， 所以，即，解得，， 所以， 所以，， 故， 因为，所以. 12．如图，是一张三角形纸片，，，，设与，的交点分别为，，将沿直线折叠后，使落在边上的点处. (1)设，试用表示点到距离； (2)求点到距离的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以为原点，边，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，，设，求出，由可得，再求出的中点坐标，可得直线的方程与的方程联立求得的值即可求解； （2）结合（1）利用换元法求最大值即可. 【解析】（1）以为原点，边，所在的直线分别为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系 ， 设，又因为， 所以， 因为点与点重合，所以，所以， 因为的中点为，从而直线的方程为：， 即① ， 又直线的方程为：② 由①②解得：； （2）令，则，， 所以， 由于 ，当且仅当，即时， 即时，取最大值， 所以当时，点到距离最大，最大值为. 13．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，和 【分析】（1）代入和的公式，即可求解； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程. 【解析】（1）， ， ； （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． （3）易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$