专题20 全等三角形动点问题（共30道）-【暑期培优】2024年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题20 全等三角形动点问题（共30道） 1．在中，， ，，点在上，且，过点作射线（与 在同侧），若动点从点出发， 沿射线匀速运动， 运动速度为，设点运动时间为 秒．连接、． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当于点时，求此时的值． 2．如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当__________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，求点的运动速度． 3．如图①，在中，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．设运动时间为．    (1)当时， ；当时， ； (2)如图①，当 时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，请直接写出点的运动速度． 4．如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是秒． (1)在运动过程中，当点位于线段的垂直平分线上时，求出的值； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使和全等，若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 5．如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t 秒． (1)_____________．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，？ (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 6．【基础巩固】如图1，已知垂足分别为点A，B．若， ，探究与的关系，并说明理由． 【尝试应用】如图2，垂足分别为点A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上以同样的速度运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当时，判断此时线段和线段的关系，并说明理由． 【拓展提高】如图3，在【尝试应用】的基础上，把“”改为“”，若点Q的运动速度为，其它条件不变，当点P，Q运动到何处时有与全等，求出相应的x的值． 7．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，当点与点重合时，停止运动．设点的运动时间为秒． (1)________．（用含的代数式表示） (2)如图1，当为何值时，． (3)如图2，当点从点开始运动，同时点从点向点以的速度运动（点运动到点处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点和点运动过程中，与可能全等吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 8．如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 9．如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动．点P运动时间为ts (1)用含有t的代数式表示． (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等； (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 10．如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． (1)当时，线段的长为______，当时，线段的长为______（用含t的式子表示）． (2)请判断与的数量与位置关系，并证明你的结论． (3)连接，当线段经过点C时，求t的值． 11．如图，在中，，，，点D为的中点，点P在线段上以每秒6个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）．    (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)若点的运动速度相等，时，与是否相等？请说明理由； (3)若点的运动速度不相等，与全等时，求a的值． 12．如图， 已知正方形中， 边长为， 点E在边上，，如果点P在线段上以4cm/秒的速度由B点向C 点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向 D 点运动，设运动的时间为t秒，    (1) 厘米， 厘米．（用含t的代数式表示） (2)若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等， 求a的值 13．如图，已知中，，厘米，厘米，点D为的中点. 如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（）. (1)用含t的式子表示的长度； (2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使与全等？ 14．在中，，，点为延长线上一点，过点作于点，交于点．    (1)如图①，若，求的长； (2)如图②，若点在延长线上运动，且，其它条件不变，连接，试探究是否平分，如果平分，请给出证明；如果不平分，请说明理由． 15．如图（1），在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图（1），当________时，的面积等于面积的一半： (2)如图（2），在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等于，求点的运动速度． 16．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 17．如图，在中，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，当与全等时，求的长 18．已知，如图1，线段，点为线段上一点，，，点从点开始，以的速度向点运动，点的运动过程中，始终为等腰直角三角形，，，若点运动的时间为秒．    (1)若时，点的运动路程为　　． (2)图2，过点作直线，取的中点，直线与直线相交于点，则的长是否为定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请用的代数式表示． 19．如图，在四边形中，，，，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点、、同时出发，当其中一个点到达终点时，另外两个点也随之停止运动，设移动时间为．    (1)如图1，连接、，当时，的值为______； (2)如图2，当以、、为顶点的三角形与全等时，求出相应和的值； (3)如图3，连接、交于点，当且时，试证明：． 20．在中，，D，A，E三点都在直线m上，． (1)若， ①如图1，若，则与的数量关系为______，与的数量关系为______； ②如图2，猜想与的数量关系并说明理由． (2)如图3，若，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由． 21．如图1，在中，，，点P、Q分别是边、上的动点（端点除外），点P从点A、点Q从点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点M． (1)求证：； (2)点P、Q分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． (3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，直接写出的度数． 22．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D． (1)求证：； (2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒． ①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值； ②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由． 23．如图1，点P，Q分别是等边边AB，BC上的动点，点P从顶点A向点B运动，点Q从顶点B向点C运动，两点同时出发，且它们的速度都相同． (1)连接AQ，CP交于点M则在P、Q运动的过程中，的大小发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则的大小发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 24．在中，，，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC． （1）如果点D在线段BC上运动，如图1：求证： （2）如果点D在线段BC上运动，请写出AC与CE的位置关系．通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作交直线BC于F，如图2所示，通过证明，可推证等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程． （3）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 25．如图，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，动点P以每秒2cm的速度从A点向B点运动，动点Q以每秒1cm的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求证：△AED≌△AFD； （2）若AE=10cm，当t取何值时，△DEP与△DFQ全等． 26．如图所示，点D是线段BC的中点，AD⊥BC，点N是线段BC延长线上一点，在∠ACN内部有一动点E，且∠BEC＝2∠BAD，点F在线段CE的延长线上，AC与BE交于点P，过点A作AM⊥BE于点M． （1）求证：∠ACE＝∠ABE； （2）求证：EA平分∠BEF； （3）当点E在∠ACN内部运动时，的值是否会发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 27．如图，在的平分线上取点B作于点C，在直线AC上取一动点P，在直线AE上取点Q使得 （1）如图1，当点P在线段AC上运动时，求证：； （2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系．    28．在中，是的平分线 (1)如图1, 于点于点.求证: ; (2)当一点从点向运动时，于,于,如图2, 是否垂直? (请直接写出结论，无需证明) (3)当点沿方向，从点向其延长线运动时，如图3, 其他条件同上， 上述结论是否 成立?请说明理由. (3)得证明方式与（1）相同. 29．如图，在中，是的平分线，于，于，并且，动点以的速度从点向点运动，动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求证:在运动过程中，不管取何值，都有； (2)当取何值时，与全等； (3)若，当时，求此时的面积． 30．如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点时停止运动．设运动的时间为秒，连接、．    （1）填空：______； （2）当且点运动的速度也是时，求证：； （3）若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题20 全等三角形动点问题（共30道） 1．在中，， ，，点在上，且，过点作射线（与 在同侧），若动点从点出发， 沿射线匀速运动， 运动速度为，设点运动时间为 秒．连接、． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当于点时，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）本题考查全等三角形的判定，利用等角的余角相等得出，再结合题干的其他条件，即可解题． （2）本题与（1）问的证明类似，证得，再利用全等的性质得出线段的长，最后根据时间等于路程除以速度，即可解题． 【详解】（1）证明：如图①，， ， ， 又， ， 又， ， ， 又，， ， 在和中， ； （2）解：如图②，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 运动速度为， (秒)． 2．如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当__________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)Q运动的速度为或或或． 【分析】（1）分点P运动到、的中点时，根据三角形中线的性质即可求解； （2）由，分①，②，由全等三角形的性质即可依次求解． 此题主要考查三角形的面积与三角形全等的判定，解题的关键是会画出与已知三角形全等的三角形． 【详解】（1）如图，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 当P在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 综上当t为或时，的面积等于面积的一半． （2）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得， ②当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得， ③当点P在上，点Q在上，时，， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得， ④当点P在上，点Q在上，时，， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或或或． 3．如图①，在中，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．设运动时间为．    (1)当时， ；当时， ； (2)如图①，当 时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，请直接写出点的运动速度． 【答案】(1) (2)或 (3)运动的速度为或或或 【分析】（1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可；当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可 【详解】（1）当时，点P在线段上， ∵点P速度为， ∴； 当时，点P在线段上， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ①当点P在上时，    ， ∴， ； ②当点P在上时，    过点C作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ； 故答案为：或； （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时，    ， ∴ 解得 ； ②当点在上，点在上，时，    ， ∴， 解得 ； ③当点P在上，点在上，时，    ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得 ； ④当点P在上，点Q在上，时    ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得 ； ∴运动的速度为或或或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． 4．如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是秒． (1)在运动过程中，当点位于线段的垂直平分线上时，求出的值； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使和全等，若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，1 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，据此列出方程求解即可； （2）分情况讨论：当时，≌，，时，≌． 【详解】（1）由题意得，， 点位于线段的垂直平分线上， ， ， 解得； （2）， ， 又， 当时，≌， ，为的中点， ， ， 解得； 当，时，≌， ，此方程组无解， 不存在≌这种情况， 综上所述，当时，≌． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键． 5．如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t 秒． (1)_____________．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，？ (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时， (3)当或时，与全等 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． （1）根据路程速度时间，根据点的速度，表示出，再表示出即可； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ， ∴， 解得， 当时，； （3）解：情况一：当，，时， ， ， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当，，时， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 6．【基础巩固】如图1，已知垂足分别为点A，B．若， ，探究与的关系，并说明理由． 【尝试应用】如图2，垂足分别为点A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上以同样的速度运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当时，判断此时线段和线段的关系，并说明理由． 【拓展提高】如图3，在【尝试应用】的基础上，把“”改为“”，若点Q的运动速度为，其它条件不变，当点P，Q运动到何处时有与全等，求出相应的x的值． 【答案】基础巩固：，理由见解析；尝试运用：；拓展提高当与全等时的x值为2或 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明，解决此题的是注意分类讨论． 基础巩固：根据证明，进而解答即可； 尝试应用：根据证明，进而解答即可； 拓展提高：根据全等三角形的性质得出方程解答即可，注意分类． 【详解】解：基础巩固：． 理由：， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； 尝试运用： ． 当时，， ， ， ， 由基础巩固中的结论可知：； 拓展提高 ①若设运动时间为时， 则， 可得：，， ； ②若设运动时间为时，， 则，可得：，， ，， 综上所述，当与全等时的x值为2或． 7．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，当点与点重合时，停止运动．设点的运动时间为秒． (1)________．（用含的代数式表示） (2)如图1，当为何值时，． (3)如图2，当点从点开始运动，同时点从点向点以的速度运动（点运动到点处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点和点运动过程中，与可能全等吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． （1）根据路程速度时间，根据点的速度，表示出，再表示出； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点A出发，以秒的速度向点运动，点的运动时间为秒， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 当时，； （3）解：情况一：当，，时，， ，， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当当，，时， ，， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 8．如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 【答案】(1)见解析 (2)当为或时，的面积为 (3)或 时，与全等 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识， （1）首先推导出，通过即可证明； （2）分两种情形讨论求解即可①当点在线段上时，②当点在射线上时，时；依据三角形面积计算公式解答即可； （3）分两种情形求解即可①如图中，当时，．②如图中，当时，． 【详解】（1）如图1中， 是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ， （2）解：由（1）知， ， ， ， 由题意 ①当点在线段上时， ， 解得：； ②当点在延长线上时，， ， 解得：， 综上，当为或时，的面积为； （3）存在． ①如图2中，当时， ，， ． ， ， 解得， ②如图中，当时， ，， ． ， ， 解得 ． 综上所述，或 时，与全等． 9．如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动．点P运动时间为ts (1)用含有t的代数式表示． (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等； (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)厘米 (2)全等 (3)厘米/秒 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有，用了分类讨论思想． （1）求出，即可求出答案； （2）求出、、，根据全等三角形的判定推出即可； （3）设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使与全等，求出厘米，厘米，厘米，厘米，，根据全等三角形的性质得出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴厘米， ∵厘米， ∴厘米； （2）解∶ 全等，理由如下∶ ∵厘米，点D为的中点， ∴，厘米， ∵厘米， ∴厘米， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解∶ 设当点Q的运动速度为x厘米/秒，时间是t秒， ∵厘米，厘米，厘米， ∴当，或，，与全等， 即①，， 解得：（不合题意，舍去）， ②，， 解得： ， 即当点Q的运动速度为厘米/秒． 10．如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． (1)当时，线段的长为______，当时，线段的长为______（用含t的式子表示）． (2)请判断与的数量与位置关系，并证明你的结论． (3)连接，当线段经过点C时，求t的值． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 (3)当线段经过点C时，t的值为1或2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等是解题的关键． （1）分两种情况计算即可； （2）由证明，得，即可得出结论； （3）先证，得，再分两种情况，当时，，解得；当时，可得，解得即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 则； 综上所述，线段AP的长为或， （2）且，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （3）由（1）得：，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当线段经过点C时，t的值为1或2． 11．如图，在中，，，，点D为的中点，点P在线段上以每秒6个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）．    (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)若点的运动速度相等，时，与是否相等？请说明理由； (3)若点的运动速度不相等，与全等时，求a的值． 【答案】(1) (2)相等，理由见解析 (3) 【分析】（1）先根据路程=速度×时间，得出，即可根据； （2）根据题意得出，，根据中点的定义得出，即可求证，得出，根据平角和三角形内角和得出，，可得出结论； （3）根据点的运动速度不相等，得出，则，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点P在线段上以每秒6个单位的速度由点B向点C运动，运动时间为t秒， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 当时，，， ∵，点D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵点的运动速度不相等， ∴， 根据题意可得：， ∵与全等，， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了列代数式，全等三角形的判定和性质，解题的关键的掌握全等三角形的判定方法有，全等三角形对应角相等，对应边相等． 12．如图， 已知正方形中， 边长为， 点E在边上，，如果点P在线段上以4cm/秒的速度由B点向C 点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向 D 点运动，设运动的时间为t秒，    (1) 厘米， 厘米．（用含t的代数式表示） (2)若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等， 求a的值 【答案】(1)， (2)或4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，一元一次方程等知识，分类讨论的思想思考问题． （1）根据路程与速度的关系求解即可； （2）分两种情形，利用全等三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】（1）解：点 P在线段上以/秒的速度由 B点向 C点运动，运动的时间为 t秒 ， ， ， 故答案为： ，； （2）解：∵点 Q在线段上以a厘米/秒的速度由 C点向 D点运动，运动的时间为t秒， ， 当时， ，即，，即， ， ， 解得； 当时， 即，， ， ， ， 即； 综上所述，以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，a的值为 或4． 13．如图，已知中，，厘米，厘米，点D为的中点. 如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（）. (1)用含t的式子表示的长度； (2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1) (2)全等，理由见解析 (3)当点Q的运动速度a为3时，能够使与全等 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题、全等三角形的判定及性质问题： （1）先根据点P的运动速度得到的边长，相减即可得到结果； （2）先根据运动时间得到边长的长度，根据得到三角形全等； （3）根据两个三角形全等，可得到两种情况，有一种情况不符合题意，即可得到结果． 【详解】（1）解：∵点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动， 当运动时间为t（秒）时，， ∵厘米， ∴厘米； （2）解：若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与全等，理由如下： 当点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，此时厘米，厘米， 此时厘米，如图所示： ∵厘米，点D为的中点， ∴厘米， 在和中， ， ∴（）； （3）解：由题可得：，厘米， ∵与全等， ∴或， 当时，则，, 即，解得， 此时（不符合题意）； 当时，此时，如图所示： 即，解得， 根据即，解得， ∴当点Q的运动速度a为3时，能够使与全等． 14．在中，，，点为延长线上一点，过点作于点，交于点．    (1)如图①，若，求的长； (2)如图②，若点在延长线上运动，且，其它条件不变，连接，试探究是否平分，如果平分，请给出证明；如果不平分，请说明理由． 【答案】(1) (2)平分，证明见解析 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即得答案； （2）如图，过点作于点，作于点，根据全等三角形的性质可得，进而可得结论． 【详解】（1）解：，， ，     又， ，     在和中， ，     ，     ， ； （2）如图，过点作于点，作于点，        ， ，且，     ，， ，     平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线的判定，证明是解题的关键． 15．如图（1），在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图（1），当________时，的面积等于面积的一半： (2)如图（2），在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等于，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （2）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上四种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图，当P在上，的面积等于面积的一半，    ∴， ∴， 当在上时，如图，的面积等于面积的一半，    ∴， ∴， 综上所述，当为或时，的面积等于面积的一半． （2）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时， ∴，    ∴， 解得； ②当点P在上，点Q在上，时， ∴，    ∴， 解得； ③当点P在上，点Q在上，时， ∴，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴， 解得； ④当点P在上，点Q在上，时， ∴，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴， 解得； ∴Q运动的速度为或或或． 16．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或2时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：依题意，得 ∴． 故答案为：； （2）解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或2时与全等． 17．如图，在中，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，当与全等时，求的长 【答案】5或2.5或6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．分P在上，Q在上；P在上，Q在上以及Q在上，且点Q与A重合，点P运动到上，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：当P在上，Q在上时， ∵， ∴， ∵于E，于F． ∴， ∴， 若，则， ∴， 解得， ∴； 当P在上，Q在上时，即P、Q重合时，，则， 由题意得，， 解得， ∴， 当Q在上，且点Q与A重合，点P运动到上时，， 此时． 综上，当与全等时，满足条件的的长为5或2.5或6． 故答案为5或2.5或6． 18．已知，如图1，线段，点为线段上一点，，，点从点开始，以的速度向点运动，点的运动过程中，始终为等腰直角三角形，，，若点运动的时间为秒．    (1)若时，点的运动路程为　　． (2)图2，过点作直线，取的中点，直线与直线相交于点，则的长是否为定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请用的代数式表示． 【答案】(1)4 (2)是定值， 【分析】（1）当点与点C重合时，作出等腰直角三角形，连接，求出时，由“”可证，可得； （2）过点F作，交的延长线于点G，延长交直线于点H，证明，利用全等三角形的性质可得，，再证，利用全等三角形的性质可得，求出，可得，则． 【详解】（1）：如图1，当点与点C重合时，作出等腰直角三角形，连接，    ∵， ∴， ∵，都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）定值，； 如图2，过点F作，交的延长线于点G，延长交直线于点H，    ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 19．如图，在四边形中，，，，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点、、同时出发，当其中一个点到达终点时，另外两个点也随之停止运动，设移动时间为．    (1)如图1，连接、，当时，的值为______； (2)如图2，当以、、为顶点的三角形与全等时，求出相应和的值； (3)如图3，连接、交于点，当且时，试证明：． 【答案】(1) (2)，或， (3)见解析 【分析】（1）当时，由，推出，列出方程即可解决问题； （2）当时或当时，分别列出方程即可解决问题； （3）如图连接交于只要证明，推出，可得，，推出，即． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， ， 故答案为：； （2）， 当时，有，，即①， ②， 由①、②联立并解得：， 当时，有，，即③， ④， 由③、④联立并解得：， 综上所述，当，或，时，以、、为顶点的三角形与全等； （3）且时，，而， ， 点在点、之间， ，， ， 如图3中，连接交于    ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，二元一次方程组的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 20．在中，，D，A，E三点都在直线m上，． (1)若， ①如图1，若，则与的数量关系为______，与的数量关系为______； ②如图2，猜想与的数量关系并说明理由． (2)如图3，若，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)存在或使得与全等 【分析】（1）①利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得；②同（1）①可得，得，可得答案； （2）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： 由（1）同理可得， ∴， ∴； （2）解：当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，； 当时， ∴ ∴，， ∴， 综上所述，存在或使得与全等． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 21．如图1，在中，，，点P、Q分别是边、上的动点（端点除外），点P从点A、点Q从点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点M． (1)求证：； (2)点P、Q分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． (3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)不变，是定值 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质以及三角形外角的性质，得到，即可得解； （3）证明，得到，利用三角形的内角和定理，推出即可． 【详解】（1）证明：∵点P、Q运动速度相同， ∴， 在与中 ， ∴； （2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，不变 理由：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵点P、Q运动速度相同， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角以及三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 22．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D． (1)求证：； (2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒． ①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值； ②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②存在，或 【分析】（1）①先证Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），推出∠BAC＝∠BCA．再由角平分线的定义得∠BAM＝∠BAC，等量代换即可证明； （2）①作BH⊥AM，垂足为M．先证△AHB≌△ADB（AAS），推出BH＝BD，再由S△ABP＝S△BQC，推出，结合P，Q运动方向及速度即可求解；②分“点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上”，以及“点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上”两种情况讨论，利用三角形全等得出AP与CQ的关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵BD⊥AC， ∴， 在Rt△BDA和Rt△BDC中， ∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL）， ∴∠BAC＝∠BCA． ∵AB平分∠MAN， ∴∠BAM＝∠BAC， ∴∠BAM＝∠BCA． （2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M． ∵BH⊥AM，BD⊥AC， ∴∠AHB＝∠ADB＝90°， 在△AHB和△ADB中， ∴△AHB≌△ADB（AAS）， ∴BH＝BD， ∵S△ABP＝S△BQC， ∴， ∴， ∴， ∴． ②存在，理由如下： 当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示， ∵AB＝BC， 又由（1）得∠BAM＝∠BCA， ∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB， ∴， ∴； 当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示， 由（1）得∠BAM＝∠BCA， ∴∠BAP＝∠BCQ， 又∵AB＝BC， ∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB， ∴， ∴． 综上所述，当或时，△APB和△CQB全等． 【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，并注意分类讨论是解题的关键． 23．如图1，点P，Q分别是等边边AB，BC上的动点，点P从顶点A向点B运动，点Q从顶点B向点C运动，两点同时出发，且它们的速度都相同． (1)连接AQ，CP交于点M则在P、Q运动的过程中，的大小发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则的大小发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【答案】(1)不变； (2)不变； 【分析】（1）通过证明得到，再利用三角形外角的性质即可求解； （2）同样通过证明得到，再利用三角形外角的性质和三角形内角和的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：（1）点、在运动的过程中，不变. ∵是等边三角形， ∴，， 又∵点、运动速度相同， ∴，且，， ∴， ∴. ∵， ∴ （2）点、在运动的过程中，不变. 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴点、在运动的过程中，不变． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质和三角形的内角和是180°等知识，解题关键是正确找到全等三角形． 24．在中，，，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC． （1）如果点D在线段BC上运动，如图1：求证： （2）如果点D在线段BC上运动，请写出AC与CE的位置关系．通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作交直线BC于F，如图2所示，通过证明，可推证等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程． （3）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）垂直，理由见解析；（3）成立，证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形的性质证明即可； （2）过点E作交直线BC于F，如图2所示，通过证明，可推证等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系； （3）如图3所示，过点E作于F，证明，进一步可证明 【详解】解：（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）垂直 ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ 即． ∴ 又∵ ∴，且 ∴ 即． （3）（2）中的结论仍然成立 如图3所示，过点E作于F ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明是解本题的关键． 25．如图，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，动点P以每秒2cm的速度从A点向B点运动，动点Q以每秒1cm的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求证：△AED≌△AFD； （2）若AE=10cm，当t取何值时，△DEP与△DFQ全等． 【答案】（1）见解析；（2）t=4或 【分析】（1）利用直接证明△AED≌△AFD即可； （2）先求解 再分三种情况讨论，①当0＜t＜5时，点P在线段AE上，点Q在线段CF上，②当5≤t＜6时，点P在线段BE上，点Q在线段CF上，③当6≤t＜12时，点P在线段BE上，点Q在线段AF上，再利用全等三角形的对应边相等建立方程，解方程即可得到答案. 【详解】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ ∠AED=∠AFD=90°． ∵ ∠BAD=∠CAD，AD=AD． ∴ △AED≌△AFD(AAS)． （2）∵△AED≌△AFD ∴ DE=DF，AF=AE=10． ∴CF=6 若△DEP与△DFQ全等，且DE=DF，∠DEP=∠DFQ=90°， ∴EP=FQ， ①当0＜t＜5时，点P在线段AE上，点Q在线段CF上， ∴EP=10﹣2t，FQ=6﹣t ∴10﹣2t＝6﹣t， ∴t=4； ②当5≤t＜6时，点P在线段BE上，点Q在线段CF上， ∴EP=2t-10，FQ=6﹣t ∴2t-10=6﹣t， ∴t= ③当6≤t＜12时，点P在线段BE上，点Q在线段AF上， ∴EP=2t-10，FQ=t﹣6 ∴2t-10=t-6， ∴t=4（不合题意，舍去）． 综上所述，当t=4或时，△DEP与△DFQ全等． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，动态三角形全等问题，清晰的分类讨论是解题的关键. 26．如图所示，点D是线段BC的中点，AD⊥BC，点N是线段BC延长线上一点，在∠ACN内部有一动点E，且∠BEC＝2∠BAD，点F在线段CE的延长线上，AC与BE交于点P，过点A作AM⊥BE于点M． （1）求证：∠ACE＝∠ABE； （2）求证：EA平分∠BEF； （3）当点E在∠ACN内部运动时，的值是否会发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变化，2． 【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，进而判断出∠BEC＝∠BAC，即可得出结论； （2）过点A作AQ⊥CF于Q，判断出∠AMB＝∠AQC＝90°，进而判断出△AMB≌△AQC（AAS），得出AM＝AQ，再判断出Rt△AME≌Rt△AQE（HL），即可得出结论； （3）由（2）知，BM＝CQ，ME＝EQ，判断出CE＝CQ﹣EQ＝BM﹣ME，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵点D是BC的中点，AD⊥BC， ∴BD＝CD，AB＝AC， ∵AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC， ∵∠BEC＝2∠BAD， ∴∠BEC＝∠BAC， ∵∠APB＝∠CPE， ∴180°﹣∠BAC﹣∠APB＝180°﹣∠BEC﹣∠CPE， ∴∠ACE＝∠ABE； （2）如图，过点A作AQ⊥CF于Q， ∴∠AQC＝90°， ∵AM⊥BE， ∴∠AMB＝90°， ∴∠AMB＝∠AQC＝90°， 由（1）知，AB＝AC，∠ACE＝∠ABE， ∴△AMB≌△AQC（AAS）， ∴AM＝AQ， 在Rt△AME和Rt△AQE中， ， ∴Rt△AME≌Rt△AQE（HL）， ∴∠AEM＝∠AEQ， ∴EA平分∠BEF； （3）当点E在∠ACN内部运动时，的值是不发生变化，其值为2， 理由：由（2）知，BM＝CQ，ME＝EQ， ∴CE＝CQ﹣EQ＝BM﹣ME， ∵BE＝BM+ME， 当点E在∠ACN内部运动时，的值是不发生变化，其值为2． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题关键． 27．如图，在的平分线上取点B作于点C，在直线AC上取一动点P，在直线AE上取点Q使得 （1）如图1，当点P在线段AC上运动时，求证：； （2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）或． 【分析】（1）作BMAE于点M，根据角平分线的性质得到BM=BC，证明 ,继而证明解题即可； （2）作于M，先证明（AAS），继而得到，，，再证明（HL），从而得到，据此解题即可； （3）分两种情况讨论，当点P在线段AC上时，或当点P在线段AC的延长线上时，分别画出适合的图，再由结合全等三角形的性质即可解题． 【详解】（1）证明：过点B作于M ∵BA平分，    ∴ 在和中 ∴（HL） ∴ 又∵    ∴ （2）解： 理由如下：如图2，作于M ∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴，，    在和中 ∴（HL） ∴ ∴ （3）当点P在线段AC上时，如图1，    理由如下：∵ ∴ 由（2）可知： ∴ 当点P在线段AC的延长线上时，如图3， 理由如下：作于M ∵ ∴ 由（2）可知： ∴ 故答案为：或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 28．在中，是的平分线 (1)如图1, 于点于点.求证: ; (2)当一点从点向运动时，于,于,如图2, 是否垂直? (请直接写出结论，无需证明) (3)当点沿方向，从点向其延长线运动时，如图3, 其他条件同上， 上述结论是否 成立?请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 成立，理由见解析. 【分析】（1）通过证明可可得，由此可证明，根据全等三角形的性质，再据图，即可证明结论； （2）与（1）中的证明方式相同，可得； (3)得证明方式与（1）相同. 【详解】证明：是的平分线， 在和中 在和中 将（1）中证明过程中的D用G替代，即可证明垂直 上述结论成立 理由：点在的平分线上， 在和中 在和中 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定.熟练掌握三角形全等的判定定理并能灵活运用是解题关键. 29．如图，在中，是的平分线，于，于，并且，动点以的速度从点向点运动，动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求证:在运动过程中，不管取何值，都有； (2)当取何值时，与全等； (3)若，当时，求此时的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）当时，△DFE与△DMG全等；(3) 【分析】（1）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DGC的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有； （2）分两种情况进行讨论：①当0＜t＜3时，②当3＜t＜5时，分别根据△DFE≌△DMG，得出EF=GM，据此列出关于t的方程，进行求解即可； （3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案． 【详解】（1）∵是的平分线， DF⊥AB，DM⊥AC， ∴DF=DM， ∵ ∴， ∵点E以3cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴在运动过程中，不管取何值，都有． （2）∵是的平分线， DF⊥AB，DM⊥AC， ∴， ∴， ①当0＜t＜3时，点G在线段CM上，点E在线段AF上． ， ∴， ∴（不合题意，舍去）； ②当3＜t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上． ，， ∴， ∴， 综上所述当时，△DFE与△DMG全等； （3）∵， ∴()， ∵， ∴ ∵， ∴()， ∴()， ∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题，解题的难点在于第二问中求运动的时间，此题容易漏解和错解． 30．如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点时停止运动．设运动的时间为秒，连接、．    （1）填空：______； （2）当且点运动的速度也是时，求证：； （3）若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值． 【答案】（1）8;(2)见解析；（3）或4. 【分析】（1）直接可求△ABC的面积； （2）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD，且BE=CF，即可证△CDF≌△BDE，可得DE=DF； （3）分△ADF的面积是△BDE的面积的两倍和△BDE与△ADF的面积的2倍两种情况讨论，根据题意列出方程可求x的值． 【详解】解：（1）∵S△ABC= AC×BC ∴S△ABC=×4×4=8（cm2） 故答案为：8 （2）如图：连接CD    ∵AC=BC，D是AB中点 ∴CD平分∠ACB 又∵∠ACB=90° ∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45° ∴CD=BD 依题意得：BE=CF ∴在△CDF与△BDE中 ∴△CDF≌△BDE（SAS） ∴DE=DF （3）如图：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，    ∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90° ∴△ADN≌△BDM（AAS） ∴DN=DM 当S△ADF=2S△BDE． ∴×AF×DN=2××BE×DM ∴|4-3x|=2x ∴x1=4，x2= 综上所述：x=或4 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判定，利用分类思想解决问题是本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$