1.4 用一元二次方程解决问题(1)　　同步练习　2024—2025学年苏科版九年级数学上册　

1.4 用一元二次方程解决问题(1) 练霸基础台 夯实基础 全面过关 1. 我国南宋数学家杨辉在 1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步.”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步.设宽为x 步，根据题意列方程正确的是 ( ) A. 2x+2(x+12) =864 C. x(x--12) =864 D. x(x+12) =864 2.某商品经过两次降价，售价由原来的每件25 元降到每件16元.若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ( ) A. 20% B. 25% C. 30% D. 36% 3.为助力当地经济发展，该地市长连续三天在某直播间推介当地特色产品.如果第一天的销售额为1 000万元,第三天的销售额为1 960 万元,那么销售额的日平均增长率为 ( ) A. 20% B. 30% C. 40% D. 50% 4.2023年某省新能源汽车产能达到 30万辆.预计到 2025年，该省新能源汽车产能达到 41万辆.设从2023年到 2025 年该省新能源汽车产能的年平均增长率为x，则由题意可列方程为 。 5.*张师傅去年开了 一家超市，今年2月份开始盈利，3 月份盈利5 000元,5月份盈利达到 7 200 元.若从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则 每月 盈利的平 均增长 率 是 6.给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，那么我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”.若已知矩形的长和宽分别为3 和 1，则其“加倍矩形”的对角线长为 . 7. 如图,老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈 ABCD，并在边 BC 上留一个 2m 宽的门(建在 EF 处，另用其他材料). (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为 640 m²的羊圈? (2)羊圈的面积能达到 650 m²吗? 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 8.有一个人患流感，经过两轮传染后共有 81 个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人?设每轮传染中平均一个人传染x 个人，可列方程为 ( ) A. 1+2x=81 D. 1+x+x(1+x)=81 9.某省加快新旧动能转换，促进企业发展.某企业一月份的营业额是 1 000 万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3 990万元.若设月平均增长率是x，则可列出的方程是 ( ) B. 1 000+1 000(1+x)+1 000(1 + C. 1000(1+2x)=3990 D. 1 000+1 000(1+x)+1 000(1 +2x)=3 990 10.某企业二月份的产值比一月份的产值增长 20%，三月以来，生产呈现出下降趋势，四月份的产值比一月份的产值下降13.3%，则三、四月份的月平均下降率为 ( ) A. 13.3% B. 15% C. 18% D. 20% 11.新素养空间观念 小李有一块矩形菜地，面积为 180 m²，他以菜地的宽为长，修了一个宽为 3m 的矩形蓄水池，修完后小李发现这块菜地刚好变成一块正方形菜地，则原来菜地的周长为 m. 12. 如图是一张长 12 cm、宽 10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是 24 cm²的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为 cm. 13.*某个体经商户第一年以5万元的资金投入，获得8%的利润，第二年以5万元和第一年的利润投入，获得 6 500 元的利润，则两年的平均利润率为 . 14. 亮点原创·2024 年六五环境日主题为“全面推进美丽中国建设”.为建设美丽城市，改造老旧小区.某市计划 2024 年投入资金 1 200 万元,预计 2026 年投入资金1728万元，现假定每年投入资金的增长率相同. (1)求该市改造老旧小区预计投入资金的年平均增长率； (2)2024年老旧小区改造的平均报价为每个85万元.2025 年计划提高老旧小区品质，每个小区的改造费用增加 10%.若投入资金的年增长率保持不变，则该市在 2025 年最多可以改造多少个老旧小区? 练霸拓展台 挑战难度 探究创新 15.五一来临前，某商场将一件原价为a 元的衬衫以一个给定的百分比提升价格，五一那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格比原价降低了0.16a 元，则这个给定的百分比为 ( ) A. 16% B. 36% C. 40% D. 50% 16.某农场去年种植南瓜10 亩，总产量为20000 kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使产量增长到60000 kg.已知今年南瓜种植面积的增长率是今年南瓜平均亩产量增长率的 2倍，则今年南瓜平均亩产量的增长率为 ( ) A. 25% B. 50% C. 100% D. 200% 17. 已知在长方形纸片 ABCD 中,AB=6,AD =5,现将两个边长分别为 a 和b的正方形纸片按图①、图②两种方式放置在长方形纸片 ABCD 中(图①、图②中两张正方形纸片均有部分重叠)，其中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为 S₁，图②中阴影 部分的面积为S₂.若S₂-S₁=3,则 b= ;在边长为a 的大正方形纸片的左上角摆放一个边长为b的小正方形纸片，如图③，若 则图③中阴影部分的面积 18.新趋势情境素材某调查公司对本区域的共享单车数量及使用次数进行了调查后发现，今年 3 月份第1周共有各类单车1000辆,第2 周比第1 周增加了10%,第3 周比第2 周增加了 100 辆.调查还发现某款单车深受群众喜爱，第1 周该款单车的每辆平均使用次数是这一周所有单车的每辆平均使用次数的 2.5倍，第2周和第3周该款单车的每辆平均使用次数都比前一周增长一个相同的百分数m，第3周所有单车的每辆平均使用次数比第1周增加的百分数也是m，且第3周该款单车(共100 辆)的总使用次数占所有单车总使用次数的四分之一.(注：总使用次数=每辆平均使用次数×车辆数) (1)求第3周该区域内各类共享单车的总数； (2)求 m 的值. 1.4 用一元二次方程解决问题(1) 1. D 2. A 3. C 5. 20% ·方法归纳·解答增长(降低)率问题时，可以设平均增长(降低)率为x.若基数为a，增长(降低)的次数为n，增长(降低)后的结果为b，则可列出方程 通过解方程来解答，同时要注意把不合题意的解舍去. 解析：设已知矩形的“加倍矩形”的长为x，则宽为 由题意，得 整理，得 解得 当 时，宽为 符合题意；当 时，宽为 不合题意.故已知矩形的“加倍矩形”的长为 宽为 因为所以已知矩形的“加倍矩形”的对角线长为 7. (1) 设矩形 ABCD 的边 则边 由题意，得 640.整理,得 解得 当 时, 当 时, .故当羊圈的长为 40 m、宽为 16 m或长为32m、宽为20 m时，能围成一个面积为 的羊圈. (2)不能.理由如下：由题意，得 650.整理,得 因为 所以该一元二次方程没有实数根，所以羊圈的面积不能达到 8. D 9. B 10.B 解析：设一月份的产值为a，三、四月份的月平均下降率为x，则二月份的产值为 20%)，四月份的产值为 )因为四月份的产值比一月份的产值下降13.3%，所以 因为 所以 解得 (不合题意，舍去).故三、四月份的月平均下降率为 15%. 11. 54 解析：设原来菜地的宽为x m，则原来菜地的长为( 由题意，得. 整理，得 解得 (不合题意，舍去)，则. 所以原来菜地的周长为 12. 2 解析：设剪去的正方形的边长为x cm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为( 宽为 由题意，得( .整理，得 解得 (不合题意，舍去).故剪去的正方形的边长为 2cm . 13. 10%解析：设两年的平均利润率为 x.由题意，得 即 解得 (不合题意，舍去).故两年的平均利润率为10%. ·易错警示· 解答有关利润率的实际问题时，要找准等量关系，正确列出方程. 14. (1)设该市改造老旧小区预计投入资金的年平均增长率为x.由题意，得 1 728,即 解得 (不合题意，舍去).故该市改造老旧小区预计投入资金的年平均增长率为 20%. (2)由题意,得 故该市在 2025年最多可以改造15个老旧小区. 15. C 解析：设这个给定的百分比为x.由题意，得 解得 (不合题意，舍去)，所以这个给定的百分比为40%. 16.B 解析：设今年南瓜平均亩产量的增长率为x，则今年南瓜种植面积的增长率为 2x.由题意，得 整理，得 解得 (不合题意，舍去).故今年南瓜平均亩产量的增长率为50%. 17. 3 解析：由题意，得 长方形ABCD —S大正方形—S小正方形+S，大、小正方形重叠部分=6×5--a²-S长方形ABCD —S大正方形—S小正方形+S大、小正方形重叠部分= 30,所以 ab--6b+30)=b.因为 所以 b=3.又 所以 把b=3代入 整理，得 3a--4=0,解得 (不合题意，舍去)，所以a=4.由题图，得 18. (1) 由题意,得1000×(1+10%)+100=1 200(辆).故第 3 周该区域内各类共享单车的总数是1 200辆. (2)设第1周所有单车的每辆平均使用次数为a.由题意，得 整理,得(5m-1)(m+1)=0,解得 (不合题意，舍去).故 m 的值为20%. 学科网（北京）股份有限公司 $$