第十二讲 代数式 讲义 - 人教版数学新七年级暑假预习课讲义

人教版新七年级暑假预习课讲义 第十二讲 代数式 一、专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 代数式的概念 代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或者一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 例1-1．下列式子：①；②；③；④⑤；⑥；⑦0．其中是代数式个数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例1-2．请你帮助李飞同学，告诉他：他写的哪个式子不是代数式是（   ） A． B．0 C． D． 知识点2 代数式的书写规范 列代数式六注意 ①代数式中字母与字母相乘，通常乘号省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如a2-b2平方米。 例2-1．下列各式中，符合代数式书写要求的是（   ） A． B． C． D． 例2-2．下列各式中，符合代数式书写要求的是（    ） （1）；　（2）；  （3）；　（4）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例2-3．下列代数式中符合书写要求的是（　　） A． B． C． D． 知识点3 列代数式 把文字表述的数量关系用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）表示出来. 例3-1．已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ）． A． B． C． D． 例3-2．甲袋有a千克大米，乙袋有b千克大米，如果从甲袋拿出9千克大米放入乙袋，那么甲、乙两袋质量相等．列成等式是（    ）． A． B． C． D． 例3-3．一段路，甲车用小时行完，乙车用小时行完，甲、乙两车的速度的比是（　　） A． B． C． 知识点4 代数式的意义 把所给出的代数式按运算顺序用文字表述出来。 例4-1．对“”解释错误的是（    ） A．x与的积 B．x与的和 C．x与8的差 D．x减去8 例4-2．代数式的意义是（    ） A．m除以n减1 B．n减1除m C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商 例4-3．某商店举办促销活动．促销的方法是将原价为x元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义的描述正确的是（    ） A．原价打8折后再减去7元 B．原价减去7元后再打8折 C．原价减去7元后再打2折 D．原价打2折后再减去7元 知识点5 用代数式表示数式规律 探索图形与数字规律.探索规律的一般方法： 1.探索规律的主要过程： 特殊 —— 一般 —— 特殊 2.探索规律的步骤：（1） 寻找数量关系； （2） 用代数式表示规律；（3）验证规律 1.数式规律 例5-1．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 例5-2．观察下列一组数：，，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（   ） A． B． C． D． 例5-3．一组按规律排列的式子：，，，，…，第n个式子是（n为正整数）（　　） A． B． C． D． 2.图形规律 例5-4．如图所示，叫做C型积木，叫做H型积木，若C型积木的个数为x，H型积木的个数为y，按照此规律连接两种积木，则y与x之间的关系式为（    ）    A． B． C． D． 例5-5．某同学用大小相同的黑色棋子摆成如图所示的图形，第一个图形由颗棋子组成，第二个图形由颗棋子组成，第三个图形由颗棋子组成……，观察图形的变化规律，则第八个图形用的棋子数量是（   ） A． B． C． D． 例5-5．下列图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，，按此规律排列，则第⑥个图形中的个数为（    ） A．60 B．45 C．77 D．50 3、 易错点点拨 易错点1 代数式书写不规范 例1. 某同学手头有x元零花钱，买笔记本花了8元，现在手头零花钱还有多少？ 错解： x-8元 错因：代数式书写不规范，在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面。 易错点2 代数式的意义理解不清 例2. 用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”_________ 错解： 错因：代数式意义理解不清，运算顺序不明确出错 易错点3 用代数式表示数式关系时出错 例3 .观察下列一组数：，，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（   ） A． B． C． D． 错解：B 错因：规律与序号相对应，第一个分母从3开始，不是从1开始。 四 、针对训练 1.代数式的概念 1 .一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 2.代数式的书写规范 1.将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成 ；     （2）S÷t应写成 ； （3），应写成 ； （4）, 应写成 . 2．下列各式：、、、、，其中符合代数式书写规范的有 个． 3.列代数式 1．粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为x，步行速度为y，则她往返一趟的平均速度是（　　） A．x B．y C． D． 2．一个两位数的个位上的数字是a，十位上的数字为b，列式表示这个两位数为 ． 4.代数式的意义 1．代数式可表示的实际意义是 ． 2．对代数式“ ”，请你结合生活实际，给出“”一个合理解释： ． 3.代数式用语言叙述正确的是（    ） A．a与的平方差 B．a的平方与4的差乘以b的平方 C．a与的差的平方 D．a的平方与b的平方的4倍的差 5.用代数式表示数式、图形规律 （1）数式规律 1．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n， m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示2021的有序数对是（    ） A．（63，5） B．（63，59） C．（64，5） D．（64，60） 2．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是 ． 3．按上面数表的规律．得下面的三角形数表： （1）上表中，第九行有 个算式，第九行最中间的算式是 ． （2）把下表中的数从小到大排成一列数：3，5，6，9，10，12，…则第15个数是 ， （2） 图形规律 4．下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有个●，第②个图中共有个●，第③个图中共有个●，第④个图中共有个●，…，照此规律排列下去，则第⑦个图形中●的个数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，用同样大小的铜币摆放以下四个图案，根据摆放图案的规律，则第8个图案需要铜币的个数为（　　） A．29 B．32 C．37 D．46 6．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第20个图案中三角形的个数是 ． 五、能力提升 提升1 代数式的概念 1．下列说法中：①两个正数相加，和为正数；两个负数相加，和为负数；②立方等于本身的数是；③一个数的倒数小于这个数；④任何一个有理数的2倍大于这个有理数；⑤下列代数式：a＋1，，，，，，中值一定为正的只有一个．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．课本告诉我们，同一个代数式可以表示不同的实际意义，这体现了不同背景实际问题中的相同数量关系常常可以用同一个代数式来表示． 下列情境中的字母、表示的是两个不超过100的正整数，且，请解决以下问题： （1）两根同样长的铁丝，分别围成一个长为、宽为的长方形和一个正方形，长方形的长比正方形的边长大多少？ （2）下列情境： ①、两数的平均数为； ②甲、乙两人分别有元和元，要使两人的钱数一样，则甲需要给乙元； ③小亮在超市买了牛奶和可乐共瓶，其中牛奶比可乐少瓶，则他买了瓶牛奶； ④小红和爷爷从相距的两地相向而行，1后相遇，相遇时小红比爷爷多行了，则爷爷的平均速度是． 上述情境中的、、、也可以用（1）的结果中的代数式表示的是______．（填写所有正确选项前的序号） 提升2 代数式书写规范 1. 夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（ ）． A．岁 B．21岁 C．()岁 D．6岁 2.如果把一个长、宽、高分别为a厘米、b厘米和h厘米的长方体的高增加3厘米，那么这个长方体的表面积比原来增加（ ） A．平方厘米． B．平方厘米． C．平方厘米． D．平方厘米． 提升3 列代数式 1．一个两位数的个位上的数字是1，十位上的数字比个位上的数字大a，则这个两位数是 ． 2．有三个连续偶数，如果假设最大的一个偶数为n，则其余两个为 . 3．.A、B两地分别有水泥20吨和30吨，C、D两地分别需要水泥15吨和35吨；已知从A、B到C、D的运价如下表： 到C地 到D地 A地 每吨15元 每吨12元 B地 每吨10元 每吨9元 （1）若从A地运到C地的水泥为x吨，则用含x的式子表示从A地运到D地的水泥 为 吨，从A地将水泥运到D地的运输费用为 元； （2）用含x的代数式表示从A、B两地运到C、D两地的总运输费，并化简该式子． 提升4 代数式的意义 1 .请你为代数式赋予一个实际意义 ． 2．对于式子“”可以赋予实际意义：一个篮球的价格是m元，一个足球的价格是n元，体育老师购买一个篮球和一个足球共需要付款元，请你对式子“”赋予一个实际意义： ． 3．对单项式“”可以解释为：一件商品原价元，若按原价的七五折出售，这件商品现在的售价为元．某超市的苹果价格为39元/斤，则代数式“”可表示的实际意义 ． 提升5 用代数式表示数式、图形规律 1．观察下面一列有规律的数：，，，，根据规律可知，第5个数是 ，第个数是 ． 2．下列是有规律排列的一列数：，…，请观察此一列数，按此规律，第n个数应是 ． 3．猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，，，，，…，小亮猜出了第六个数字是，根据此规律，第100个数字是 . 4．如图，将一些大小相同，而颜色不同的黑白小球按如图所示的规律摆放，第n 个图形白球的个数为 ．（用含 n 的代数式表示） 5．按照下面的方式堆放小球，第5堆有 个小球，第n堆有 个小球． 6．若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形． (1)按照上图所示规律，图4中有______个“△”，图5中有______个“★”； (2)设图中有个“△”，个“★”，试求与之间的数量关系． 7．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版新七年级暑假预习课讲义 第十二讲 代数式（解析版） 一、专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 代数式的概念 代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或者一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 例1-1．下列式子：①；②；③；④⑤；⑥；⑦0．其中是代数式个数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查了代数式，用加、减、乘、除、乘方、开方等运算连接起来的式子叫做代数式，单个的数字或字母也是代数式，根据代数式的定义进行判断即可． 【详解】解：①；②；③；④⑤；⑥；⑦0，代数式为①；②；④，⑦0，共4个， 故选：C 例1-2．请你帮助李飞同学，告诉他：他写的哪个式子不是代数式是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的定义，代数式是指是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式．代数式中不含有等号，不等号，约等号．据此即可解答． 【详解】A选项：不是代数式； B选项：0是代数式； C选项：a是代数式； D选项：是代数式． 故选：A 知识点2 代数式的书写规范 列代数式六注意 ①代数式中字母与字母相乘，通常乘号省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如a2-b2平方米。 例2-1．下列各式中，符合代数式书写要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的知识；解题的关键是熟练掌握代数式的书写规范，从而完成求解．根据代数式的书写规范，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】A、应表示为：，故选项A不符合要求； B、应表示为：，故选项B不符合要求； C、应表示为：，故选项C不符合要求； D、的书写规范，故选项D符合题意； 故选：D． 例2-2．下列各式中，符合代数式书写要求的是（    ） （1）；　（2）；  （3）；　（4）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】根据代数式的书写要求进行逐项分析即可． 【详解】解：（1）正确的书写格式是，不符合要求； （2）正确的书写格式是，不符合要求； （3）正确的书写格式是，不符合要求； （4）符合代数式的书写要求； 符合代数式书写要求的共1个． 故选：D． 【点睛】本题考查了代数式的书写要求，代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“·”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 例2-3．下列代数式中符合书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，故原选项不合题意； B. ，故原选项不合题意； C. ，故原选项不合题意； D. 符合书写要求，符合题意． 故选：D 知识点3 列代数式 把文字表述的数量关系用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）表示出来. 例3-1．已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数，设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人，现在总人数是人，用工作总量除以总人数，即可求出完成工作所需的天数． 【详解】解：设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人， 则完成工作所需的天数为， 故选：D． 例3-2．甲袋有a千克大米，乙袋有b千克大米，如果从甲袋拿出9千克大米放入乙袋，那么甲、乙两袋质量相等．列成等式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，找出数量关系，即可而出等式． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了用字母表示数，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出等式． 例3-3．一段路，甲车用小时行完，乙车用小时行完，甲、乙两车的速度的比是（　　） A． B． C． 【答案】B 【分析】设这段路长为，则甲车的速度为，乙车的速度为． 【详解】设这段路长为． 根据题意，得 甲车的速度为，乙车的速度为． 甲、乙两车的速度的比． 故选：B． 【点睛】本题主要考查比、用字母表示数，牢记比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（除外），比值不变）是解题的关键． 知识点4 代数式的意义 把所给出的代数式按运算顺序用文字表述出来。 例4-1．对“”解释错误的是（    ） A．x与的积 B．x与的和 C．x与8的差 D．x减去8 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式的表示方法，代数式“”可以表述为x减去8；x与8的差；x与的和． 【详解】解：A、x与的积表述错误； B、x与的和，表述正确； C、x与8的差，表述正确； D、x减去8，表述正确； 故选：D． 例4-2．代数式的意义是（    ） A．m除以n减1 B．n减1除m C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义，弄清它们所表示的数量之间的运算关系即可得出答案． 【详解】解：代数式的意义是m除以n与1的差所得的商， 故选D． 例4-3．某商店举办促销活动．促销的方法是将原价为x元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义的描述正确的是（    ） A．原价打8折后再减去7元 B．原价减去7元后再打8折 C．原价减去7元后再打2折 D．原价打2折后再减去7元 【答案】A 【分析】根据代数式的实际意义进行解答即可，准确理解代数式的意义是解题的关键． 【详解】解：将原价x元的衣服以元出售就是把原价打8折后再减去7元． 故选：A． 知识点5 用代数式表示数式规律 探索图形与数字规律.探索规律的一般方法： 1.探索规律的主要过程： 特殊 —— 一般 —— 特殊 2.探索规律的步骤：（1） 寻找数量关系； （2） 用代数式表示规律；（3）验证规律 1.数式规律 例5-1．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化类，分别从系数，字母的指数两个方面进行找规律． 【详解】解：， ， ， ， 第n个为：； 故选：D． 例5-2．观察下列一组数：，，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 第个数是， 故选：． 分别归纳出该组数字分子、分母的规律． 此题考查了数字变化类规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出分子、分母的规律． 例5-3．一组按规律排列的式子：，，，，…，第n个式子是（n为正整数）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字规律问题，通过观察已有代数式得到规律是解题的关键． 观察各式子可以得到符号为奇数位负，偶数为正，分子满足，分母为，据此归纳规律即可解答． 【详解】解：∵第奇数个式子的符号为“负”， 第偶数个式子的符号为“正”， ∴第n个式子的符号可用表示． ∵分母中单项式的系数分别为1，2，3...n，字母a的指数分别是1，3，5...7... ， ∴第n个式子的分母可表示为：． ∵分子分别是2，5，8，11...， ∴第n个式子的分子可表示为：． ∴第n个式子为：． 故选：D． 2.图形规律 例5-4．如图所示，叫做C型积木，叫做H型积木，若C型积木的个数为x，H型积木的个数为y，按照此规律连接两种积木，则y与x之间的关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形规律探索，先根据已知图形得出：当时，，当时，，当时，，总结得出规律，即可得出答案． 【详解】解：根据图形可知：当时，， 当时，， 当时，， …… ∴y与x之间的关系式为． 故选：B． 例5-5．某同学用大小相同的黑色棋子摆成如图所示的图形，第一个图形由颗棋子组成，第二个图形由颗棋子组成，第三个图形由颗棋子组成……，观察图形的变化规律，则第八个图形用的棋子数量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．由图可分为两部分来看：第一个图形上面是棋子，第二个图形上面是棋子，第三个图形上面是棋子，…以此类推，第个图形上面是棋子；第一个下面是棋子，第二个下面是棋子，第三个下面是棋子，…以此类推，第个下面是个棋子．两部分相加即可得出第个图形用的棋子数是，将代入求值即可． 【详解】解：∵第一个图形上面是棋子，下面是棋子，第二个图形上面是棋子，下面是棋子，第三个图形上面是棋子，下面是棋子，… ∴第个图形上面是棋子，下面是棋子； ∴第n个图形用的棋子数是； 当时， 故选：B． 例5-5．下列图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，，按此规律排列，则第⑥个图形中的个数为（    ） A．60 B．45 C．77 D．50 【答案】A 【分析】本题考查了探究图形变化规律，找出图形变化的个数变化规律是解题的关键．写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第个图形中的个数，再取进行计算即可得解． 【详解】解：第①个图形中三角形有：（个）， 第②个图形中三角形有：（个）， 第③个图形中三角形有：（个）， ， 依此类推，第个图形中三角形有（个）， 所以，第个图形中正三角形个数一共是：（个）， 所以，第⑥个图形中圆和正三角形个数一共是：（个）． 故选：A． 3、 易错点点拨 易错点1 代数式书写不规范 例1. 某同学手头有x元零花钱，买笔记本花了8元，现在手头零花钱还有多少？ 错解： x-8元 错因：代数式书写不规范，在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面。 正解：（x-8）元 易错点2 代数式的意义理解不清 例2. 用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”_________ 错解： 错因：代数式意义理解不清，运算顺序不明确出错 正解： 易错点3 用代数式表示数式关系时出错 例3 .观察下列一组数：，，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（   ） A． B． C． D． 错解：B 错因：规律与序号相对应，第一个分母从3开始，不是从1开始。 正解 【答案】C 【详解】 解：第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 第个数是， 故选：． 四 、针对训练 1.代数式的概念 1 .一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】A地到B地的路程：， 提速后的速度：， 提速后的时间：， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：， 故选：B． 2．下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 【答案】D 【分析】利用代数式的意义逐项分析判断即可获得答案． 【详解】解：A. 表示2和相乘，故本选项错误，不符合题意； B. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； C. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； D. 的值随的增大而增大，该说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式的知识，理解代数式的意义是解题关键． 2.代数式的书写规范 1.将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成 ；     （2）S÷t应写成 ； （3），应写成 ； （4）, 应写成 . 【答案】 5a 【分析】（1）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号即可得到结果． （2）根据代数式书写规范将除法算式写成分数形式即可得到结果． （3）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号，同时将相同字母的乘积写成乘方形式即可得到结果． （4）根据代数式书写规范将数字因数的带分数化为假分数即可得到结果． 【详解】解：（1）a×5=5a， 故答案为∶5a； （2）S÷t=， 故答案为∶； （3）， 故答案为∶； （4） 故答案为∶． 【点睛】本题考查代数式书写规范，熟知代数式的书写规范要求是解题关键． 2．下列各式：、、、、，其中符合代数式书写规范的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式的书写．根据代数式书写规范格式，逐项判断即可求解． 【详解】解：符合代数式书写规范的有、，共2个． 故答案为：2 3.列代数式 1．粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为x，步行速度为y，则她往返一趟的平均速度是（　　） A．x B．y C． D． 【答案】D 【分析】设从学校到家路程为s，然后表示出从家到学校所用时间，再表示出从学校到家所用时间，然后利用总路程除以总时间可得平均速度． 【详解】设从学校到家路程为s， 平均速度是： ； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了列代数式，关键是掌握平均速度=路程÷时间． 2．一个两位数的个位上的数字是a，十位上的数字为b，列式表示这个两位数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了列代数式．根据两位数的表示方法：十位数字个位数字，列式计算即可． 【详解】解：根据题意得：列式表示这个两位数为． 故答案为： 3．一个正方形的边长为，它的各边长减少后，得到的新正方形的周长为，则与的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式； 根据正方形的周长公式列式即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 4.代数式的意义 1．代数式可表示的实际意义是 ． 【答案】一支笔3元，支笔的钱数（答案不唯一） 【分析】本题考查了代数式表示的实际意义，结合实际生活即可求解． 【详解】解：可表示一支笔3元，支笔的钱数, 故答案为：一支笔3元，支笔的钱数（答案不唯一） 2．对代数式“ ”，请你结合生活实际，给出“”一个合理解释： ． 【答案】每千克苹果售价x元，商家促销，每千克优惠，则实际售价为元（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了代数式的意义，解题的关键是掌握代数式表达的实际意义．根据代数式的意义进行解答即可． 【详解】解：每千克苹果售价x元，商家促销，每千克优惠，则实际售价为元． 故答案为：每千克苹果售价x元，商家促销，每千克优惠，则实际售价为元（答案不唯一）． 3.代数式用语言叙述正确的是（    ） A．a与的平方差 B．a的平方与4的差乘以b的平方 C．a与的差的平方 D．a的平方与b的平方的4倍的差 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握代数式的运算顺序是解题的关键．根据代数式的运算顺序用语言叙述即可． 【详解】解：代数式用语言叙述为：a的平方与b的平方的4倍的差， 故选：D． 5.用代数式表示数式、图形规律 （1）数式规律 1．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n， m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示2021的有序数对是（    ） A．（63，5） B．（63，59） C．（64，5） D．（64，60） 【答案】D 【分析】根据图中的数字，探究发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到2021在第多少排，然后即可写出表示2021的有序数对，本题得以解决． 【详解】解：由图可知， 第一排1个数， 第二排2个数，数字从大到小排列， 第三排3个数，数字从小到大排列， 第四排4个数，数字从大到小排列， …， 则前n排的数字共有个数， ∵当n=64时，=2080， ∴第64排第1个数为2080，此排数字从2080由大到小排列， ∵2080-2021+1=60， ∴表示2021的有序数对是（64，60）， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，探究发现数字的变化特点，写出表示2021的有序数对． 2．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出分子与分母的变化规律是解题关键．分子可看成1，3，5，7，9…，分母可看成6，9，12，15，18…．进而得一般公式即可． 【详解】解：这列数可化为：…， 分子为连续奇数，分母为均为3的倍数， 故第k个数是． 故答案为：． 3．按上面数表的规律．得下面的三角形数表： （1）上表中，第九行有 个算式，第九行最中间的算式是 ． （2）把下表中的数从小到大排成一列数：3，5，6，9，10，12，…则第15个数是 ， 【答案】 ， 【分析】（1）根据规律第9行有9个数，每一个算式的第二个加数都是，第个数即为中间的数，第一个加数按照1，2，，，，写出即可求解． （2）根据规律写出第行的数的表达式，再根据每一行的数的个数与行数相同，求出第个数是第行的最后一个数，然后把代入进行计算即可得解； 【详解】（1）观察可得，第9行有9个数，每一个算式的第二个加数都是，第个数即为中间的数，第一个加数按照1，2，，，， ∴第九行有个算式，第九行最中间的算式是 故答案为：，； （2）根据规律，第n行的数为： ∵第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，…，第行有个数， ∵ ∴第15个数是第5行第5个数，即 故答案为：． 【点睛】本题考查数字变化规律探究，根据指数的变化特点写出第行排列的各数是解题的关键． （2） 图形规律 4．下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有个●，第②个图中共有个●，第③个图中共有个●，第④个图中共有个●，…，照此规律排列下去，则第⑦个图形中●的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形及数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中点的个数为，再将代入计算即可． 【详解】解：第①个图中●的个数为：（个）， 第②个图中●的个数为：（个）， 第③个图中●的个数为：（个）， 第④个图中●的个数为：（个）， …， ∴图中●的个数为：为（个）， ∴第⑦个图形中●的个数为：（个）． 故选：C． 5．如图，用同样大小的铜币摆放以下四个图案，根据摆放图案的规律，则第8个图案需要铜币的个数为（　　） A．29 B．32 C．37 D．46 【答案】C 【分析】本题考查用代数式表示图形的规律，观察图中铜币的数量增加规律可以发现：第n个图形总是比前一个图形增加n个铜币，根据此规律即可求出第n个图形的铜币数量代数式，再将代入即可求解． 【详解】解：当时，铜币的个数， 当时，铜币的个数， 当时，铜币的个数， 当时，铜币的个数， …… 第n个图案需要铜币的个数为， 第8个图案需要铜币的个数为， 故选C． 6．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第20个图案中三角形的个数是 ． 【答案】61 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律第个图案需要三角形的个数是是解题的关键，不难看出第个图形中三角形的个数为：，从而可求解． 【详解】解：第1个图案三角形的个数为：4， 第2个图案三角形的个数为：， 第3个图案三角形的个数为：， ， 第个图案需要三角形的个数为：， 第20个图案中三角形的个数为：（个）． 故答案为：61． 五、能力提升 提升1 代数式的概念 1．下列说法中：①两个正数相加，和为正数；两个负数相加，和为负数；②立方等于本身的数是；③一个数的倒数小于这个数；④任何一个有理数的2倍大于这个有理数；⑤下列代数式：a＋1，，，，，，中值一定为正的只有一个．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】利用有理数的乘方，相反数、绝对值，倒数的定义以及判断即可． 【详解】解∶①两个正数相加，和一定为正数；两个负数相加，和一定为负数，正确； ②立方等于本身的数是有0和，错误； ③一个数的倒数不一定小于这个数，比如：1的倒数等于1，错误； ④有理数的2倍不一定大于这个有理数，比如−2的2倍小于−2，错误； ⑤这些式子中一定为正的只有，正确； 故选∶A． 【点睛】此题考查了乘方，相反数、绝对值，倒数的定义，有理数的加法，熟练掌握乘方的意义以及有理数的加法法则是解本题的关键． 2．课本告诉我们，同一个代数式可以表示不同的实际意义，这体现了不同背景实际问题中的相同数量关系常常可以用同一个代数式来表示． 下列情境中的字母、表示的是两个不超过100的正整数，且，请解决以下问题： （1）两根同样长的铁丝，分别围成一个长为、宽为的长方形和一个正方形，长方形的长比正方形的边长大多少？ （2）下列情境： ①、两数的平均数为； ②甲、乙两人分别有元和元，要使两人的钱数一样，则甲需要给乙元； ③小亮在超市买了牛奶和可乐共瓶，其中牛奶比可乐少瓶，则他买了瓶牛奶； ④小红和爷爷从相距的两地相向而行，1后相遇，相遇时小红比爷爷多行了，则爷爷的平均速度是． 上述情境中的、、、也可以用（1）的结果中的代数式表示的是______．（填写所有正确选项前的序号） 【答案】（1）长方形的长比正方形的边长大；（2）②③④ 【分析】（1）分别表示长方形和正方形的边长，再作差即可得出结论； （2）根据题意逐项列式，即可看出． 【详解】（1） 答：长方形的长比正方形的边长大． （2）①， ② ， ③， ④ ， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了代数式的意义及列代数式，能够根据题意列出正确的代数式是解决问题的关键． 提升2 代数式书写规范 1. 夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（ ）． A．岁 B．21岁 C．()岁 D．6岁 【答案】B 【分析】本题题考查的是用字母表示数，熟练掌握用字母表示数及数量关系是解题的关键． 根据夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，分别用含有字母的式子表示出爸爸今年的岁数、夏明6年后的岁数、爸爸6年后的岁数，用减法即可计算出爸爸6年后比夏明大的岁数．本题还可以根据“年龄差不变”直接得出答案． 【详解】爸爸今年：岁； 6年后，夏明岁； 爸爸：岁； 爸爸比夏明大： （岁）； 故答案为：B 2.如果把一个长、宽、高分别为a厘米、b厘米和h厘米的长方体的高增加3厘米，那么这个长方体的表面积比原来增加（ ） A．平方厘米． B．平方厘米． C．平方厘米． D．平方厘米． 【答案】C 【分析】本题主要考查了长方体的表面积的实际应用，理解增加的表面积就是长为a厘米，宽为b厘米，高为3厘米的长方体的侧面积是解答本题关键． 由题意知：增加的表面积实际上就是长为a厘米，宽为b厘米，高为3厘米的长方体的侧面积，利用侧面积底面周长高，代入数据计算即可． 【详解】解： 平方厘米 答：长方体的表面积比原来增加平方厘米． 故答案为：C． 提升3 列代数式 1．一个两位数的个位上的数字是1，十位上的数字比个位上的数字大a，则这个两位数是 ． 【答案】10a+11 【分析】先表示出十位上的数字，然后再表达出这个两位数的大小 【详解】∵个位数是1，十位数比个位数大a ∴十位数是1+a ∴这个两位数为：10(a+1)+1=10a+11 故答案为：10a+11 【点睛】本题考查用字母表示数字，解题关键是：若十位数字为a，则应表示为10a 2．有三个连续偶数，如果假设最大的一个偶数为n，则其余两个为 . 【答案】（n-2），（n-4） 【分析】理解相邻偶数差为2可得. 【详解】如果假设最大的一个偶数为n， 则其余2个应分别比它小2，小4， 依次是（n-2），（n-4）． 【点睛】考核知识点：整式.理解偶数性质是关键. 3．.A、B两地分别有水泥20吨和30吨，C、D两地分别需要水泥15吨和35吨；已知从A、B到C、D的运价如下表： 到C地 到D地 A地 每吨15元 每吨12元 B地 每吨10元 每吨9元 （1）若从A地运到C地的水泥为x吨，则用含x的式子表示从A地运到D地的水泥 为 吨，从A地将水泥运到D地的运输费用为 元； （2）用含x的代数式表示从A、B两地运到C、D两地的总运输费，并化简该式子． 【答案】（1）20-x，240-x；（2）总运输费=2x+525． 【详解】解：（1）根据题意得出： 从A地运到D地的水泥为：（20-x）， 从A地将水泥运到D地的运输费用为：（240-12x）； 故答案为（20-x），（240-12x）； （2）根据题意得出：15x+12（20-x）+10（15-x）+9[35-（20-x）]=2x+525． 提升4 代数式的意义 1 .请你为代数式赋予一个实际意义 ． 【答案】一支钢笔x元，一支铅笔y元，小红买了6支钢笔和3支铅笔，共付的钱数.（答案不唯一） 【分析】本题考查了代数式，根据代数式的运算顺序赋予其实际意义即可． 【详解】解：代数式的意义可以是：一支钢笔x元，一支铅笔y元，小红买了6支钢笔和3支铅笔，共付了多少钱？ 故答案为：一支钢笔x元，一支铅笔y元，小红买了6支钢笔和3支铅笔，共付的钱数.（答案不唯一） 2．对于式子“”可以赋予实际意义：一个篮球的价格是m元，一个足球的价格是n元，体育老师购买一个篮球和一个足球共需要付款元，请你对式子“”赋予一个实际意义： ． 【答案】答案不唯一，如：一个篮球的价格是a元，购买2个篮球总价是元 【分析】本题考查代数式，解题的关键是理解题意． 根据题意解决问题即可． 【详解】解：答案不唯一，如：一个篮球的价格是元，购买2个篮球总价是元． 故答案为：一个篮球的价格是元，购买2个篮球总价是元(答案不唯一)． 3．对单项式“”可以解释为：一件商品原价元，若按原价的七五折出售，这件商品现在的售价为元．某超市的苹果价格为39元/斤，则代数式“”可表示的实际意义 ． 【答案】用50元买原价39元/斤一折出售的苹果斤后余下的钱． 【分析】根据代数式，50是支付的钱，按原价一折，购买x斤的钱，其差表示余下的钱即可． 【详解】解：按原价一折，购买x斤的钱， 代数式“”可表示的实际意义是：支付50元买原价39元/斤一折出售的苹果x斤后余下的钱， 故答案为：用50元买原价39元/斤一折出售的苹果斤后余下的钱． 【点睛】本题考查代数式的意义，特别注意减号与小数的实际意义，通过代数式变形将小数的实际意义突出出来是解题关键． 提升5 用代数式表示数式、图形规律 1．观察下面一列有规律的数：，，，，根据规律可知，第5个数是 ，第个数是 ． 【答案】 ， 【分析】根据前四个数归纳类推出一般规律，分子递增1，分母乘负3，由此即可得第5个数，进而推出第个数． 【详解】解：∵一列有规律的数：，，，，， ∴这列数可以写为：，，，，， ∴第5个数是：，第个数是， 故答案为：，． 【点睛】本题考查数字规律探索及用代数式表示数的规律，正确归纳并推出一般规律是解题关键． 2．下列是有规律排列的一列数：，…，请观察此一列数，按此规律，第n个数应是 ． 【答案】 【分析】第奇数个数是负数，第偶数个数是正数，那么第n个数的符号为（﹣1）n，第1个数的分子是1，分母为21，第2个数的分子为2，分母为22，可得第n个数的分子与分母． 【详解】解：第n个数的符号为（﹣1）n，分子为n，分母为2n， ∴第n个数应是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变化规律；得到第n个数的符号，分子，分母相应的规律是解决本题的关键． 3．猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，，，，，…，小亮猜出了第六个数字是，根据此规律，第100个数字是 . 【答案】 【分析】根据题意，可知分数的分子是2n，分母是2n+3，进而得出答案即可． 【详解】解：根据题意，可知： 分数的分子是2n，分母是2n+3， ∴当时，第100个数字是：； 故答案为：. 【点睛】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出分子与分母的变化规律是解题关键． 4．如图，将一些大小相同，而颜色不同的黑白小球按如图所示的规律摆放，第n 个图形白球的个数为 ．（用含 n 的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了图形规律的探索，用代数式表示图形规律；找到白球数量的规律是解题的关键；第1个图形白球个数为，第2个图形白球个数为，第3个图形白球个数为，第4个图形白球个数为，……，由此得第n 个图形白球的个数为，最后计算即可． 【详解】解：第1个图形白球个数为， 第2个图形白球个数为， 第3个图形白球个数为， 第4个图形白球个数为， ……， 第n 个图形白球的个数为， 而， 故答案为：． 5．按照下面的方式堆放小球，第5堆有 个小球，第n堆有 个小球． 【答案】 15 【分析】本题考查了图形规律探索，第一堆1层1个；第二堆2层3个；第三堆3层6个；第四堆4层10个；根据每一堆的层数和个数，发现可以用梯形的面积公式来计算出个数，上底是1，下底与它的堆数相同，高与底相同，据此求出第5堆和第n堆小球的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一堆1层1个；第二堆2层3个；第三堆3层6个；第四堆4层10个， 则第n堆小球共有：， 第五堆小球共有：（个）， 故答案为：15；． 6．若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形． (1)按照上图所示规律，图4中有______个“△”，图5中有______个“★”； (2)设图中有个“△”，个“★”，试求与之间的数量关系． 【答案】(1)10，27 (2) 【分析】本题考查了图形类规律探索，解题的关键是找到图形的变化规律． （1）仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律写出答案即可； （2）根据（1）中的规律利用和表示出，对应相等即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得： 图中“△”的个数为，“★”的个数为， 图中“△”的个数为，“★”的个数为， 图中“△”的个数为，“★”的个数为， …， ∴图中“△”的个数为，“★”的个数为， ∴图4中有个“△”，图5中有个“★”； （2）解：由（1）得：图中“△”的个数为，“★”的个数为， ∵设图中有个“△”，个“★”， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 10．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 【答案】（1）15，20；（2），；（3）13，57 【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律． （1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解； （2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为个，然后倒序相加，即可求解； （3），解得（舍负），∴n最大为13，即可求解． 【详解】（1）解：第1图中黑子为1个， 第2个图中黑子为个， 第3个图中黑子为个， 第4个图中黑子为个， 第5个图中黑子为个； 第1图中白子为个， 第2个图中白子为个， 第3个图中白子为个， 第4个图中白子为个， 第5个图中白子为个； 故答案为：15，20． （2）解：由（1）第n个图中黑子为个， 令为①式；为②式，则①+②得：，由n个， ∴，∴第n个图案中“●”的个数为； 由（1）得第n个图案“○”的个数为， 故答案为：，． （3）解：若，解得（舍负），∴n最大为13， 那么使用白子为个，黑子为个，剩余个， 故答案为：13，57． 学科网（北京）股份有限公司 $$