5.1.4用样本估计总体同步练习-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

5．1.4　用样本估计总体 1．(多选)下列说法中正确的为(　　) A.数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B.数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C.数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 D.数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定 2．有一个容量为66的样本， 数据的分组及各组的频数如下： [11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18 [27.5，31.5) 11 [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3 则总体中大于或等于31.5的数据约占(　　) A. B． C. D． 3．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为x和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为(　　) A.，s2＋1002 B．＋100，s2＋1002 C.，s2 D．＋100，s2 4．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图所示，则 (1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是________． (2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________． (3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________． 5．某车间20名工人年龄数据如下表： 年龄/岁 工人数/人 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计 20 (1)求这20名工人年龄的众数与极差； (2)以十位数为茎，个位数为叶，做出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差． 6.从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图． 由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图，求： (1)这50名学生成绩的众数与中位数； (2)这50名学生的平均成绩． 7．(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　) A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 8．(多选)在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列说法中正确的是(　　) A.成绩在[70，80)分的考生人数最多 B.不及格的考生人数为1 000人 C.考生竞赛成绩的平均数约为70.5分 D.考生竞赛成绩的中位数约为75分 9．某果园有苹果树100棵，为了估计该果园的苹果总产量，小王先按长势把苹果树分成了A，B，C三个级别，其中A级30棵，B级60棵，C级10棵，然后从A，B，C三个级别的苹果树中分别随机抽取了3棵、6棵、1棵，测出其产量，制成了如下统计表．小李看了这个统计表后马上正确估计出了该果园的苹果总产量，那么小李的估计值是________ kg. 苹果树长势 A级 B级 C级 随机抽取棵数 3 6 1 所抽取果树的平均产量/kg 80 75 70 10.为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了一次普法知识竞赛，统计局调查队从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩，用茎叶图表示如下： 甲 乙 8　7 8 5　9 3　1　1 9 1　2　3 (1)根据图中的数据，分别求出样本中甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位职工对法律知识的掌握更为稳定； (2)求被抽取的这10名职工成绩的平均数和方差． (分层抽样的平均数和方差公式：设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n，方差分别为s，s，…，s，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数和方差分别为＝wii，s2＝wi[s＋(i－)2]，其中为样本平均数．) 11．某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：74，71，72，68，76，73，67，70，65，74. (1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差； (2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差． 12．高一(3)班有男同学27名，女同学21名．在一次语文测验中，男同学得分的平均数是82，中位数是75，女同学得分的平均数是80，中位数是80. (1)求这次测验全班成绩的平均数(精确到0.01)； (2)估计全班成绩不超过80分的同学至少有多少人； (3)分析男同学得分的平均数与中位数相差较大的主要原因． 核心素养升级练 进阶训练第三层 13．甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从甲、乙生产的零件中分别抽取40件、60件，甲的平均尺寸为10，方差为20，乙的平均尺寸为12，方差为40.那么从甲、乙生产的零件中抽取的这100件产品的平均尺寸和方差分别是多少？ 14．已知一个样本：30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，26，28，25，21，23，25，27，29，25，28. (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图； (3)根据频率分布直方图，估计总体出现在23～28内的频率是多少． 参考答案与解析 1．答案：ACD 解析：由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们都可以影响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之无关，故B不正确，ACD正确． 2．答案：B 解析：由题意知样本的容量为66，而落在[31.5，43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故总体中大于或等于31.5的数据约占＝. 3．答案：D 解析：因为每个数据都加上100，所以平均数也增加100，而离散程度应保持不变，即方差不变． 4．答案：(1)13　(2)62.5　(3)64 解析：(1)在[55，75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13. (2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5. (3)0.20×50＋0.40×60＋0.25×70＋0.10×80＋0.05×90＝64. 5．解析：(1)这20名工人年龄的众数为：30，这20名工人年龄的极差为：40－19＝21. (2)以十位数为茎，个位数为叶，做出这20名工人年龄的茎叶图如下． (3)这20名工人年龄的平均数为：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30； 所以这20名工人年龄的方差为： (30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋(30－31)2＋(30－32)2＋(30－40)2＝12.6. 6．解析：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75. 由于中位数是所有数据的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求． ∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， ∴ 前三个小矩形面积的和为0.3，而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3，0.3＋0.3>0.5， ∴ 中位数应大约位于第四个小矩形内． 设其底边为x，高为0.03， ∴令0.03x＝0.2得x≈6.7， 故中位数应约为70＋6.7＝76.7. (2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可． ∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.022×10)＋95×(0.018×10)＝76.4. 7．答案：BC 解析：由条形统计图知： 甲射靶5次的成绩分别为：4，5，6，7，8； 乙射靶5次的成绩分别为：5，5，5，6，9， 所以甲＝＝6；乙＝＝6. 所以甲＝乙．故A不正确． 甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B正确． s＝[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝×10＝2，s＝[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝×12＝，因为2<，所以s<s.故C正确．甲的成绩的极差为：8－4＝4，乙的成绩的极差为：9－5＝4，故D不正确． 8．答案：ABC 解析：由频率分布直方图可知，成绩在[70，80)分的考生人数最多，所以A正确．不及格的人数为4 000×(0.01＋0.015)×10＝1 000(人)，所以B正确．平均分约为(45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.01)×10＝70.5(分)，所以C正确． 设中位数约为x0分，因为(0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45<0.5，(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75>0.5，所以0.45＋(x0－70)×0.03＝0.5，解得x0≈71.7，D错误． 9．答案：7 600 解析：由题中表格各等级苹果树的平均产量可估算果园的苹果总产量为×100＝7 600 kg. 10．解析：(1)甲单位5名职工成绩的平均数甲＝＝90，乙单位5名职工成绩的平均数乙＝＝90，甲单位5名职工成绩的方差s＝×[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4.8，乙单位5名职工成绩的方差s＝×[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8. ∵s<s， ∴甲单位职工对法律知识的掌握更为稳定． (2)∵甲单位职工的权重w甲＝，乙单位职工的权重w乙＝，甲＝90，乙＝90，s＝4.8，s＝8，由分层抽样求平均数和方差的公式可得，这10名职工成绩的平均数＝×90＋×90＝90，这10名职工成绩的方差s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]＝×[4.8＋(90－90)2]＋×[8＋(90－90)2]＝6.4. 11．解析：(1)这10个学生体重数据的平均数为 ＝×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71. 这10个学生体重数据从小到大依次为65，67，68，70，71，72，73，74，74，76，位于中间的两个数是71，72， ∴这10个学生体重数据的中位数为＝71.5. 这10个学生体重数据的方差为 s2＝×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11. 这10个学生体重数据的标准差为s＝＝. (2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为. 12．解析：(1)利用平均数计算公式，得 ＝×(82×27＋80×21)≈81.13. (2)因为男同学得分的中位数是75， 所以至少有14名男生得分不超过75分． 又因为女同学得分的中位数是80， 所以至少有11名女生得分不超过80分． 所以全班至少有25人得分不超过80分． (3)男同学得分的平均数与中位数相差较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大． 13．解析：由题知甲机床的平均尺寸和方差分别为甲＝10，s＝20，乙机床的平均尺寸和方差分别为乙＝12，s＝40， 所以从甲、乙生产的零件中抽出的这100件产品的平均尺寸＝＝11.2，所以方差s2＝×＝32.96. 14．解析：(1)计算极差：30－21＝9. 决定组距和组数：取组距为2. ∵＝4，∴共分5组． 决定分点，使分点比数据多一位小数． 并把第1小组的分点减小0.5，即分成如下5组： 20．5～22.5，22.5～24.5，24.5～26.5，26.5～28.5，28.5～30.5. 列出频率分布表如下： 分组 频数 频率 20.5～22.5 2 0.10 22.5～24.5 3 0.15 24.5～26.5 8 0.40 26.5～28.5 4 0.20 28.5～30.5 3 0.15 合计 20 1.00 (2)取各小长方形上的中点并用线段连接就构成了频率分布折线图，作出频率分布直方图． (3)由频率分布表和频率分布直方图观察得： 样本值出现在23～28之间的频率为0.15＋0.40＋0.20＝0.75，所以可以估计总体中出现在23～28之间的数的频率约为0.75. 学科网（北京）股份有限公司 $$