5.1.4 用样本估计总体 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学课件聚焦“用样本估计总体”，核心知识点为用样本数字特征和分布估计总体。课堂导入通过98位学生身高数据，引导学生抽样计算样本均值、方差并与总体比较，衔接抽样方法与总体特征，搭建从具体操作到抽象估计的学习支架。 其亮点在于情境化设计与逻辑推理结合，以学生身高、家庭用水等现实问题为载体，培养数学眼光观察数据，通过误差分析和大数定律发展数学思维，用频率分布直方图、分层抽样计算等数学语言表达估计过程。学生提升数据分析与应用能力，教师可依托实例高效教学。

人教B版(2019)必修第二册 5.1.4 用样本估计总体 第五章 统计与概率 1 学习目标 会用样本的数字特征估计总体的数字特征，体现逻辑推理能力（重点） 能用样本的分布来估计总体的分布，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 以下是某高校高一年级98位学生的身高(单位：cm)： 161 168 166 168 152 152 163 164 170 167 143 166 153 165 168 167 163 157 160 159 153 169 172 175 165 161 158 172 147 164 171 149 158 155 169 150 173 170 162 157 152 180 178 158 162 164 172 165 165 155 163 178 159 168 161 151 168 168 165 158 162 165 163 166 174 163 163 175 165 160 161 177 163 170 155 156 161 169 167 151 156 158 165 179 161 176 162 168 153 169 155 165 163 166 172 160 173 164 已知这组数的总体平均数为163.5，总体方差为56.3． 用简单随机抽样的方法从总体中抽取容量为10的样本3次，分别计算样本平均数与样本方差，并与总体对应的值进行比较. 3 新课学习 一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征．特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也称为样本方差）与总体对应的值相差不会太大. 例如：如果用简单随机抽样抽得的序号分别为90，35，63，68，66，9，30，56，50，49，则对应的样本为 169，169，163，175，163，170，164，151，155，165， 容易算出，样本均值为164.4，样本方差为45.84，它们与总体对应的值差别都不大． 结论：在容许一定误差存在的前提下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征，这样就能节省人力和物力等. 4 新课学习 另外，有时候总体的数字特征不可能获得，比如质监部门想知道市场上节能灯的平均使用寿命，不可能把所有节能灯都拿来检测，此时只能用样本的数字特征去估计总体的数字特征． 5 新课学习 一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可. 思考一下：根据前面的例子，尝试总结一下用样本估计总体的缺点？ 6 新课学习 尝试与发现：在考察某中学的学生的平均身高时，如果采用分层抽样的方法，得到了男生身高的平均数为170，方差为16；女生身高的平均数为165，方差为25． (1)如果没有其它信息，怎样估计总体的平均数与方差？ (2)如果知道抽取的样本中，男生有20人，女生有15人，怎么估计总体的平均数与方差？ 采用两种方式估算： 方法一：作为估计来说，我们可以选择男生（或女生）样本的平均数与方差作为总体对应值的估计，但这样的选择没有充分利用已知的数据，显然不够好. 7 新课学习 方法二：取每一层样本数字特征的算术平均值作为总体的估计，即估计总体平均数为 类似地，总体方差可估计为 但第二种估计方法也还不太理想，因为对于分层抽样来说，每一层所抽取的个体数目一般来说是不相等的，简单的求数字特征的算术平均值体现不出这一点. 8 新课学习 思考一下：怎样才能体现这一点呢？尤其是，当我们把各层中得到的个体放在一起作为一个样本时，样本均值与样本方差该如何计算呢？ 此时，当然可以把各层数据集中在一起来重新计算，但也可以去考虑整个样本的数字特征与每一层的数字特征之间的关系来实现，后者在大数据时代的并行计算中经常使用. 我们以分两层抽样的情况为例. 假设第一层抽取m个数，分别为x1 , x2 ,…, xm，平均数为，方差为s2； 第二层抽取n个数，分别为y1 , y2 ,…, yn，平均数为，方差为t2. 则 9 新课学习 依照上述公式可以算出，尝试与发现(2)中总体的平均数可以估计为167.86，总体的方差可以估计为25.98. 10 新课学习 尝试与发现：通过对某中学1257名高一学生期中考试的数学成绩（具体数据参见这一小节的附录）进行整理，可以得到如下数据，并由此可作出频率分布直方图和折线图，如图所示． 分组 频数 频率 [40,50) 7 0.01 [50,60) 65 0.05 [60,70) 276 0.22 [70,80) 480 0.38 [80,90) 330 0.26 [90,100] 99 0.08 11 新课学习 从附录的数据中抽取容量为100的样本，整理类似的表格，并制作频率分布直方图． 同前面一样，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的分布与总体分布会差不多．特别地，每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大． 如果从上述尝试与发现中提到的数据中，抽取两个容量为100的样本(分别记为样本A，样本B，具体数据参见这一小节的附录)，则可以得到如下频数、频率对应表： 12 新课学习 分组 总体 样本A 样本B 频数 频率 频数 频率 频数 频率 [40,50) 7 0.01 0 0 0 0 [50,60) 65 0.05 5 0.05 8 0.08 [60,70) 276 0.22 23 0.23 21 0.21 [70,80) 480 0.38 37 0.37 43 0.43 [80,90) 330 0.26 27 0.27 19 0.19 [90,100] 99 0.08 8 0.08 9 0.09 13 新课学习 这就说明，如果容许有一定误差，则可以用样本的分布去估计总体的分布． 而且，在总体的分布不可能获得时，只能用样本的分布去估计总体的分布． 同数字特征的估计一样，分布的估计一般也有误差. 如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn，样本在每一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一般来说， 不等于零. 同样，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性将越来越大. 14 新课学习 例1：为了快速了解某学校学生体重(单位：kg)的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示，估计这个学校学生体重的平均数和方差． 将样本中的每一个数都减去50，可得 -5，-1，-3，-1，-4，-4，1，8，9，10， 这组数的平均数为 方差为 因此估计这个学校学生体重的平均数为51，方差为30.4. 15 新课学习 例2： 我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量(单位：t)，将数据按照[0 , 1)，[1 , 2)，[2 , 3)，[3 , 4)，[4 , 5]分成了5组，制成了如图所示频率分布直方图. (1)求图中a的值； 因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，所以 (0.12+0.22+0.36+a+0.12)×1=1， 解得a=0.18. 16 新课学习 (2)设该市有10万个家庭，估计全市月均用水量不低于3t的家庭数； 抽取的样本中，月均用水量不低于3t的家庭所占比例为 (a+0.12)×1=0.3=30%， 因此估计全市月均用水量不低于3t的家庭所占比例也为30%，所求家庭数为10000×30%=30000. 17 新课学习 (3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数. 因为 0.12×0.5+0.22×1.5+0.36×2.5+0.18×3.5+0.12×4.5=2.46， 估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46. 18 课堂练习 D 19 课堂练习 20 课堂练习 C 21 课堂练习 22 课堂练习 C 23 课堂练习 24 课堂练习 D 25 课堂练习 26 课堂练习 C 27 课堂练习 28 课堂练习 9 29 课堂总结 1.用样本的数字特征估计总体的数字特征 2.用样本的分布来估计总体的分布 30 谢 谢 观 看 31 $