2.3 二次函数与二次不等式和方程（3知识点+8题型+质量检测）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

2.3 二次函数与一元二次不等式、方程 明确学习目标 课标要求 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系． 2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 重点难点 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系． 2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 2.一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形． 知识点2 一元二次不等式与函数和方程 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3.理解 (1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标． (2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． 知识点3 一元二次不等式的解法 1.解不含参数的一元二次不等式的步骤 (1)识别。识别二次项系数是否为正。可通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正． (2)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根． (3)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． 2.解含参数的一元二次不等式的讨论 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 2提升学科能力． 题型一 解不含参的一元二次不等式 例1．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 跟踪训练1 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是 . 3．解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 已知不等式解集求参数 例2．已知关于x的不等式的解集为． (1)求实数m的值； (2)正实数a，b满足，求的最小值． 跟踪训练2 1．若不等式的解集是，则不等式的解集是（　  ） A． B． C． D． 2．若不等式和不等式的解集相同，则 ， ． 3．已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 题型三 二次不等式与函数和方程的关系 例3．利用函数与不等式的关系． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为，求不等式的解集． 跟踪训练3 1．若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为 ． 2．已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为 . 3．设二次函数． （1）若方程有实根，则实数的取值范围是 ； （2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是 ； （3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是 ． 题型四 二次不等式在R上恒成立问题 例4．设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练4 1．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．“实数”是“关于x的不等式解集为R”的 条件． 3．若函数中的取值范围为R，则的取值范围是 ． 题型五 二次不等式在某区间上恒成立问题 例5．设，若关于的不等式对任意的成立，则的取值范围是 ． 跟踪训练5 1．当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是 ． 2．已知在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 题型六 二次不等式在R上的有解问题 例6．已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练6 1．若存在，使得成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知命题：“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 题型七 二次不等式在某区间上的有解问题 例7．设函数，若不等式的解集是，则 ；若对于任意，不等式有解，则实数的取值范围为 ． 跟踪训练7 1．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 ． 2．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围为 . 3．已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围为 . 题型八 解含参一元二次不等式 例8．解关于的不等式：． 跟踪训练8 1．解关于的不等式：（其中）． 2．解关于的不等式（组）． (1) (2)． 3．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 3质量检测评价 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C．或 D． 2．已知不等式的解集是或，则（    ） A． B． C．1或 D．或 3．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．若命题“”为假命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知命题，，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，，则下列说法正确的有（    ） A．的函数图像关于直线对称 B．当时，取得最小值 C．不等式的解集为或 D．在上单调递增，在上单调递减 8．与不等式不同解的不等式是（    ） A． B． C． D． 9．已知关于的方程，则（    ）. A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 10．命题：“，”的否定为真命题的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．已知不等式的解集为，则 ，此时不等式的解集为 ． 12．若不等式有唯一解，则的值是 ． 13．若，不等式恒成立，则实数m的最小值为 . 四、解答题 14．已知函数，不等式的解集是. (1)求的解析式； (2)若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围. 15．已知函数. (1)若，试讨论不等式的解集； (2)若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 16．解不等式： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次函数与一元二次不等式、方程 明确学习目标 课标要求 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系． 2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 重点难点 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系． 2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 2.一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形． 知识点2 一元二次不等式与函数和方程 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3.理解 (1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标． (2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． 知识点3 一元二次不等式的解法 1.解不含参数的一元二次不等式的步骤 (1)识别。识别二次项系数是否为正。可通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正． (2)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根． (3)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． 2.解含参数的一元二次不等式的讨论 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 2提升学科能力． 题型一 解不含参的一元二次不等式 例1．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用一元二次不等式的解法对各个不等式逐个化简求解即可． 【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是． （2）不等式可化为，∴不等式的解集是． （3）不等式可化为，即，∴不等式的解集是． （4）不等式可化为，∴不等式的解集是． 跟踪训练1 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式中二次项系数化为正数，然后结合二次函数性质可得结论． 【详解】原不等式可化为，而，原不等式无解，解集为． 故选：B． 2．不等式的解集是 . 【答案】或. 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】解：因为，即， 所以或， 所以不等式的解集是或， 故答案为：或. 3．解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次不等式即可； （2）（3）（4）利用配方法求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）原不等式化为，∴． 故所求不等式的解集为． （2）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （3）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （4）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． 题型二 已知不等式解集求参数 例2．已知关于x的不等式的解集为． (1)求实数m的值； (2)正实数a，b满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据根与系数的关系，即可求得答案； （2）由（1）可得，结合“1”的巧用，再利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得和2是方程的两个根， 由根与系数的关系可得，解得． （2）正实数a，b满足，由（1）可得， 所以， 当且仅当时，结合，即时等号成立， 所以的最小值为9． 跟踪训练2 1．若不等式的解集是，则不等式的解集是（　  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意和是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，即可求出，再解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式的解集是：， 所以和是方程的两个实数根， 由，解得：， 故不等式，即为， 解不等式，得：， 所求不等式的解集是：. 故选：C． 2．若不等式和不等式的解集相同，则 ， ． 【答案】 【分析】分别求解不等式和不等式的解集，根据它们解集相同，可求、的值． 【详解】解：不等式等价于， 解得：， 解集相同， 不等式的解集为， 由方程与不等式的关系可知：的根为：， 由韦达定理：， 解得：，， 故答案为：，． 3．已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 【答案】． 【分析】由的解集得出，且，再将分式不等式转化为一元二次不等式，从而得出解集. 【详解】解：由题意关于的不等式的解集是，可得，且， 所以所求不等式可化为，可变为，解得或． 所以原不等式的解集为． 题型三 二次不等式与函数和方程的关系 例3．利用函数与不等式的关系． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题意知，求出，代入解不等式即可； （2）由题意知，代入化简，解不等式即可； 【详解】（1）由题意知，方程的两个根分别为和，且 由韦达定理知，解得， 则不等式 即，解得：或 所以不等式的解集为： （2）由题意知，方程的两个根分别为和，且 由韦达定理知，即， 则不等式，又， 则，解得：， 所以不等式的解集为： 跟踪训练3 1．若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题设条件得到抛物线的图象特点，即可求得不等式的解集 【详解】由已知得抛物线的开口向下，与x轴交于点， 故不等式的解集为． 故答案为： 2．已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】数形结合，根据二次函数的图象，求得参数，再求一元二次不等式即可. 【详解】根据二次函数的图象可知，为方程的两根， 故，即， 则即，也即， ，解得或. 故不等式解集为. 故答案为：. 3．设二次函数． （1）若方程有实根，则实数的取值范围是 ； （2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是 ； （3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是 ． 【答案】 或. 【分析】根据方程的解或不等式的解的情况结合判别式可得相应的结果. 【详解】对于（1），因为方程有实根，故，解得或. 对于（2），因为不等式的解集为，故，解得. 对于（3），不等式的解集为R，故，故. 题型四 二次不等式在R上恒成立问题 例4．设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由全称量词命题为真命题，求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由命题p为真命题，得，解得，显然， 所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件. 故选：A 跟踪训练4 1．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由题意可知恒成立，根据判别式即可求出. 【详解】的解集为, 即恒成立， 当时，即，不符合题意， 当时，则’解得 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B 2．“实数”是“关于x的不等式解集为R”的 条件． 【答案】必要非充分 【分析】先根据一元二次不等式恒成立得到判别式小于等于0，再结合充分和必要条件定义判断即可. 【详解】关于x的不等式解集为R，则，解得，可推出， 反之推不出，故“实数”是“关于x的不等式解集为R”的必要非充分条件． 故答案为：必要非充分. 3．若函数中的取值范围为R，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把函数中的x的取值范围为R，转化为对任意实数恒成立．然后对分类讨论得答案． 【详解】由已知恒成立， 当时符合题意， 当时，， ， 综上所述， 故答案为：． 题型五 二次不等式在某区间上恒成立问题 例5．设，若关于的不等式对任意的成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】参变分离可得对任意的成立，令，则，再令，，根据函数的单调性求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为关于的不等式对任意的成立， 所以对任意的成立， 令，则，则对成立， 令，，则在上单调递增， 所以， 所以，则的取值范围是. 故答案为： 跟踪训练5 1．当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是 ． 【答案】 【分析】当时不等式显然成立；当、时，根据一元二次不等式恒成立，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】当时，，显然恒成立． 当时，二次函数的图像开口向上，对称轴为直线， 当时，恒成立，则，解得． 当时，二次函数的图像开口向下，对称轴为直线， 当时，恒成立，则，显然成立，所以， 故的取值集合是． 故答案为：． 2．已知在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】用求二次函数的性质列不等式来解题. 【详解】解析：设．其图象是开口向下的抛物线， 根据题意得解得． 故答案为：. 题型六 二次不等式在R上的有解问题 例6．已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知全称命题为假命题，可知其否定为真命题，即“”是真命题，结合判别式即可求解. 【详解】命题“”是假命题， 等价于“”是真命题， 即判别式，解得：或， 则实数的取值范围为：. 故选：B. 跟踪训练6 1．若存在，使得成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于，所以问题转化为有解，再由可求得结果. 【详解】因为恒成立， 所以原不等式等价于有解， 即有解， 所以，解得， 即实数的取值范围为， 故选：C 2．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况. 【详解】若关于的不等式有解, 则，解得. 故选：C. 3．已知命题：“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意，利用判别式求解. 【详解】∵命题：“，使得成立”为真命题， ∴，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型七 二次不等式在某区间上的有解问题 例7．设函数，若不等式的解集是，则 ；若对于任意，不等式有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】第一个空：根据根与系数的关系列式求出可得结果；第二个空：转化为大于或等于的最小值求解即可. 【详解】由题意知和是方程的两个根， 由根与系数的关系知，，， 解得，，所以． 不等式在时有解，等价于在时有解， 只要大于或等于的最小值即可， 不妨设，， 则当时，有最小值，所以． 故答案为：； 跟踪训练7 1．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将存在，使得不等式成立转化为存在，使得不等式成立，然后根据二次函数的单调性求最小值即可得到的范围. 【详解】因为存在，使得不等式成立， 所以存在，使得不等式成立， 令，因为对称轴为，所以当时，函数取得最小值为，所以． 故答案为：． 2．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数把不等式有解问题转化为，利用二次函数求出最值，利用二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为在内有解，即，其中； 设，则当或时，，所以， 解得，所以的取值范围为. 故答案为： 3．已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数转化问题为在时有解，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】当时，变形为， 构造函数，对称轴为， 所以函数在上单调递增， 则时，， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型八 解含参一元二次不等式 例8．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论的符号，结合二次函数解不等式. 【详解】当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解得. 跟踪训练8 1．解关于的不等式：（其中）． 【答案】答案见解析. 【分析】左边进行因式分解，根据函数与不等式的关系，求出端点值，后将端点值比较大小，分类讨论即可. 【详解】解：原不等式可化为． ①若，即，此时原不等式的解集为或； ②若，即，此时原不等式的解集为； ③若，即，此时原不等式的解集为或． 2．解关于的不等式（组）． (1) (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分别求解绝对值不等式和分式不等式，再求交集即得； （2）就参数进行逐级讨论即得不等式解集. 【详解】（1）由得，解得， 由可得，即，解得或． 故不等式组的解集为． （2）当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为，解得或； 当时，，不等式化为，解得； 当时，不等式化为，此时无实数解； 当时，，不等式化为，解得． 综上，时，不等式的解集是； 时，不等式的解集是或； 时，不等式的解集是； 时，不等式无实数解； 时，不等式的解集是． 3．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将原不等式等价转换为即可求解； （2）由一元二次不等式与一元二次方程根的关系，只需对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）原不等式等价于，即，． ∵，∴原不等式的解集为． （2）∵的两根为，． ①当即时，，即； ②当即时，，即或； ③当即时，，即或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 3质量检测评价 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】先解一元二次不等式，求解集合，再求交集即可. 【详解】因为，又 所以. 故选：A. 2．已知不等式的解集是或，则（    ） A． B． C．1或 D．或 【答案】A 【分析】根据不等式的解集确定不等式的形式为一元二次不等式，再利用根与系数关系求解. 【详解】根据不等式解集可确定，不等式为一元二次不等式，且， 令，方程两根，， 根据根与系数关系有，， 则有解得，所以. 故选：A 3．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可根据图像得出结果. 【详解】结合图像易知， 不等式的解集， 故选：A. 4．若命题“”为假命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合命题和它的否定的真假性关系，以及一元二次不等式恒成立问题的充要条件即可求解. 【详解】由题意命题“”为真命题， 所以当且仅当， 解得，即m的取值范围是. 故选：C. 5．已知命题，，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，把恒成立问题转化为求解的最值问题，从而求出充要条件，根据必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】因为，，所以在上恒成立， 只需在上的最大值小于， 因为在上单调递减，在上单调递增， 其中，故在上的最大值为，所以， 所以是的充要条件，因为，但， 所以是的一个必要不充分条件，B正确； 其他两个选项也既不是充分也不必要条件. 故选：B 6．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由题意可得，从而可求出实数a的取值范围 【详解】设，开口向上，对称轴为直线， 所以要使不等式在区间(2，5)内有解，只要即可， 即，得， 所以实数a的取值范围为， 故选：D 二、多选题 7．已知函数，，则下列说法正确的有（    ） A．的函数图像关于直线对称 B．当时，取得最小值 C．不等式的解集为或 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】AC 【分析】根据二次函数的性质求解判断． 【详解】，其图象对称轴是，A正确； 时函数取得最小值，B错； 即为，解为或，C正确； 的图象是开口向上的抛物线，函数在上单调递减，在上单调递增，D错， 故选：AC． 8．与不等式不同解的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合分式不等式，二次不等式及一次不等式的求法分别检验各选项即可判断. 【详解】由得，解得， A：由得，不同； B：由得，相同； C：由得且，解得，不同； D：由得，不同． 故选：ACD． 9．已知关于的方程，则（    ）. A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BC 【分析】对于A选项：利用一元二次方程的判别式即可判断；对于B选项：利用一元二次方程无实数根的条件和充分条件的性质即可判断；对于C,D选项：利用判别式以及韦达定理即可判断; 【详解】对于A选项：当时，，此时， 此时方程没有实数根，故A选项错误； 对于B选项：方程无实数根的充要条件是，即， 所以方程无实数根的一个充分条件是的子集，显然符合，故B选项正确； 对于C选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是 解得：，故C选项正确; 对于D选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是 解得：，故D选项错误; 故选：BC. 10．命题：“，”的否定为真命题的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先求出命题的否定，再判断取值范围即可得出结果. 【详解】命题：“，”的否定为“，”， 当时，恒成立，符合题意； 当时，， 综上，， 故选：AB 三、填空题 11．已知不等式的解集为，则 ，此时不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的解集确定方程的根，利用根与系数的关键求解出参数，代入分式不等式，将分式不等式转化为一元二次不等式求解． 【详解】根据题意可知，的两根分别为和， 则，， 解得，， 所以， 而可化为， 解得， 故答案为：，． 12．若不等式有唯一解，则的值是 ． 【答案】2或 【分析】根据二次函数的性质与不等式的解之间的关系即可求解. 【详解】由于为开口向上的二次函数， 不等式的解可看作是在之间的图象对应的横坐标， 故不等式有唯一解，则有唯一解． 即，解得或． 故答案为：2或 13．若，不等式恒成立，则实数m的最小值为 . 【答案】/ 【分析】构造新函数，利用二次函数的性质求得最大值，进而求得实数m的最小值. 【详解】时，不等式恒成立，即恒成立， 令 时，，则， 则，则， 故实数m的最小值为 故答案为： 四、解答题 14．已知函数，不等式的解集是. (1)求的解析式； (2)若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式转化为一元二次方程的解求待定系数； （2）问题转化为一元二次不等式在给定区间内有解，进一步转化为二次函数在给定区间内的值域问题. 【详解】（1）因为不等式的解集是 所以0，5是方程的两个实数根， 可得. 所以. （2）由，得，即. 令， 由题可知有解，即即可. 当时，，显然不合题意. 当时，图象的对称轴为直线. ①当时，在上单调递减， 所以，解得； ②当时，在上单调递增， 所以，解得. 综上，的取值范围是. 15．已知函数. (1)若，试讨论不等式的解集； (2)若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用含参一元二次不等式的解法分类讨论求解； （2）利用分离参变量的方法求解. 【详解】（1）若不等式，即， ①当时，不等式，解得，该不等式的解集为； ②当时，因式分解可得， 因为，不等式可变为， （i）当即时，不等式的解集为； （ii）当即时，不等式的解集为； （iii）当即时，不等式的解集为； 综上所述：当时，该不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）对于，恒成立， 化简得在上恒成立， 设，该函数是开口向上的二次函数，对称轴， 所以在上单调递增，，所以， 则的取值范围为. 16．解不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】利用含有参数的一元二次不等式的解法，由，分，，求解. 【详解】解：对于方程，． 当，即时，无实根． 又二次函数的图象开口向上，所以原不等式的解集为． 当，即时，有两个相等的实根， 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 当，即或时，有两个不相等的实根， 分别为，，且， 所以原不等式的解集为． 综上，当或时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$