2.2 基本不等式（3知识点+8题型+质量检测）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

2.2 基本不等式 明确学习目标 课标要求 1.了解基本不等式的证明过程. 2.掌握基本不等式≤(a>0，b>0)． 3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 重点难点 1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0)． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 基本不等式 1.基本不等式的推导 (1)方法一　(作差法) －＝＝＝≥0，即≥，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)方法二　(性质法) 要证≤， 只需证2≤a＋b， 只需证2－a－b≤0， 只需证－(－)2≤0， 显然(－)2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立． (3)方法三　(利用几何意义证明) 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤，由此也可以得出圆的半径不小于半弦． 2．基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立． (1)其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． (2)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (3)常见变形：； (4)常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号；（异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号；（），当且仅当时取等号； 3.重要不等式 (1)公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【推导】，当且仅当时，等号成立． (2)常见变形：、、． 知识点2 基本不等式的变式与拓展 1.基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2.基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 知识点3 最值定理 1.最值定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大． 2.理解 (1)三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正； ②二定：各项之和或各项之积为定值； ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． (2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换． 3.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 (1)拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键 (2)利用拼凑法求最值应注意以下几个方面： ①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换； ②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； ③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2提升学科能力 题型一 基本不等式的理解 例1．《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（    ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】C 【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d的表达式，可判断A选项正误，由题意可求得图3中的表达式，逐一分析B、C、D选项，即可得答案 【详解】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，，因为，所以，整理得，故B错误； 对于C，因为D为斜边BC的中点，所以，因为，所以，整理得，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，故D错误． 故选：C． 跟踪训练1 1．不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 2．给出下面三个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. 其中正确的推导为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】利用特殊值确定错误推导，结合基本不等式判断正确推导. 【详解】①，根据基本不等式的知识可知①正确. ②，当时，，所以②错误. ③，根据基本不等式的知识可知③正确. 所以正确的为①③. 故选：B 3．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论． 【详解】设，可得圆的半径为， 又由， 在中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. 题型二 由基本不等式比较大小 例2．设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式求得的范围，由二次函数性质求得的最大值后可得结论． 【详解】、为互不相等的正实数，则， 所以， ，时，， 所以． 故选：A． 跟踪训练2 1．已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算出. 【详解】因为a、b为正实数， 所以，当且仅当时，等号成立， ，所以，当且仅当时，等号成立， 综上：. 故选：B 2．已知，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】ACD 【分析】由基本不等式即可判断A；取特殊值验证可判断B；利用作差法可判断C，D. 【详解】由，则，得，A正确； 由，取，则，故B错误； 由于，则，则，故C正确； 由于，故D正确， 故选：ACD． 3．已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 题型三 和定积最值 例3．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用基本不等式求得，然后利用不等式的性质求解最值即可. 【详解】因为，，，所以， 所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为. 故选：A. 跟踪训练3 1．设、满足，且、都是正数，则的最大值为 ． 【答案】25 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于、都是正数，故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为25， 故答案为：25 2．已知，则的最大值为 . 【答案】 【解析】利用基本不等式直接求解即可 【详解】解：因为， 所以，即，当且仅当取等号， 所以的最大值为， 故答案为： 【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题 3．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式的变形求解出最大值. 【详解】由题意可知，当时，， ， 当且仅当，即时取等号， 最大值为， 故选：C. 题型四 积定和最值 例4．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 跟踪训练4 1．当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】∵，∴，, ∴， 当且仅当，即时取等号． 故选：A 2．的最小值等于 ，当且仅当 时等号成立． 【答案】 6 5 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由可得，故，当且仅当，即时等号成立， 故答案为：6，5 3．设，则取最小值时的值为 ． 【答案】2 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由，可得，当且仅当，即时等号成立， 故答案为：2 题型五 基本不等式“1”的妙用 例5．已知，且，求的最小值. 【答案】16 【分析】用“1的代换”方法求解即可. 【详解】∵，， ∴， 当且仅当，即时等号成立，解得，. 故当，时，取最小值为16. 跟踪训练5 1．若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 2．（1）若正实数满足，则的最大值为 ． （2）已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 1 16 【分析】（1）根据题意，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，结合，结合基本不等式，即可求解. 【详解】解：（1）由正实数、满足，可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. （2）由，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 3．若，且，求的最小值. 【答案】9 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，所以的最小值为. 题型六 恒成立问题 例6．当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 跟踪训练6 1．若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由基本不等式求出的最小值，由恒成立即可求出的范围． 【详解】因为，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以， 故选：D． 2．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为不等式恒成立，则, 因为,所以，当且仅当取等号， 所以. 故答案为：. 3．若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】合理构造目标式，利用基本不等式求出最值，得到，再求解参数范围即可. 【详解】若关于的不等式恒成立，则， 因为，故， 当且仅当时取等，故得，解得. 故答案为： 题型七 利用基本不等式证明不等关系 例7．设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证； （2）根据，，，即可得证. 【详解】（1）由，得， 又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，， 当且仅当时，上述不等式等号均成立， 所以， 即， 所以，当且仅当时等号成立； （2）因为，，均为正数， 则，，，当且仅当时，不等式等号均成立， 则， 即，当且仅当时等号成立. 所以. 跟踪训练7 1．已知、为正实数，且满足．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】先由题意可得，化简后利用基本不等式可证得，然后再利用基本不等式可证得结论. 【详解】证明：因为、为正实数，且满足， 所以， 当且仅当时取等号， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以原不等式成立． 2．已知a，b，c都是正实数． (1)若，求证：； (2)若，求a+b+c的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由基本不等式即可证明； （2）方法一：将变为，则，再由基本不等式证明即可；方法二：将变为，根据已知条件结合柯西不等式即可证明结果． 【详解】（1）因为a，b，c都是正实数，所以， ，所以， 当且仅当时，等号成立，即． 又因为，所以． （2）方法一：因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即，，时等号成立， 所以a+b+c的最小值为． 方法二：因为，所以． 由柯西不等式，得， 即，即， 当且仅当，即，，时等号成立， 所以a+b+c的最小值为． 3．（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【详解】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 题型八 基本不等式的应用 例8．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)4千克，480元 【分析】（1）根据单株产量与施用肥料满足的关系，结合利润的算法，即可求得答案； （2）结合二次函数的最值以及基本不等式求最值，分段计算水果树的单株利润，比较大小，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得 ； （2）当时，， 则当时，取到最大值； 当时， ， 当且仅当，即时取等号， 由于， 故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是480元. 跟踪训练8 1．运货卡车以千米/时的速度匀速行300千米，按交通法规限制（单位千米/时），假设汽油价格是每升8元，汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时46元. (1)求这次行车总费用（元）关于（千米/时）的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低总费用（精确到0.01）（参考数据：） 【答案】(1) (2)千米/时，最低费用为元. 【分析】（1）计算本次行车所用时间，然后乘以每小时耗油量以及汽油价格为汽车的费用，再加上司机的费用即为行车总费用； （2）利用均值不等式求出最小值以及取最小值时的的值． 【详解】（1）行车所用时间，根据汽油的价格是每升8元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时46元， 可得行车总费用为； （2），当且仅当即时，等号成立， 所以当千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用为元． 2．为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园．为了方便施工，建造时要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示．已知． (1)当的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【答案】(1)时，矩形的面积最小，最小面积2400 (2) 【分析】（1）设出的长为，则，表示出矩形面积的解析式，利用不等式求解； （2）化简矩形面积，利用基本不等式求解. 【详解】（1）设出的长为，则， ，，， ∴矩形的面积， 由基本不等式得：， 当且仅当时，取“=”，当,即时，； （2）由（1）得，即， ∴， ∴或， 的范围在． 3．某单位决定投资元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价元，两侧墙砌砖，每米长造价元，顶部每平方米造价 元．试求： (1)仓库面积的取值范围是多少? (2)为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长? 【答案】(1) (2)15m 【分析】（1）设正面铁栅长度为m，一堵砖墙长度为m，表达出，利用基本不等式求出面积的最大值，结合面积大于0，得到取值范围； （2）再（1）的基础上求出答案. 【详解】（1）设正面铁栅长度为m，一堵砖墙长度为m，故 则，即 由基本不等式得， 故，即， 当且仅当，即，等号成立， 故， 因为，故，， 由于面积大于0，故， （2）由（1）可知，当时，取的最大值，最大值为， 此时花费元，满足要求， 故正面铁栅应设计为m. 3质量检测评价 一、单选题 1．已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 【答案】A 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以 ，当且仅当取等号， 而， 故选：A． 2．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】变形后由基本不等式求出最值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当,即时，等号成立. 故选：B 3．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D； 【详解】解：对于A：若、时，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：若、时，，故C错误； 对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：D 4．《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图形可知用a、b表示出OF、OC，在Rt△OCF中由勾股定理可求CF，根据即可得出结论． 【详解】解：由图形可知：， 在Rt△OCF中，由勾股定理可得：， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C． 5．已知 ，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为表示对称轴为，开口向下的抛物线， 所以当时取最大值， 故选：C 6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．现将一物体放在左、右托盘各称一次，称量结果分别为和，设该物体的真实质量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设天平的两臂的长度分别为和，得到且，且，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设天平的两臂的长度分别为和， 若两次称量结果分别为，则有且，且， 两式联立可得，即， 又由，可得，则. 故选：B. 二、多选题 7．已知a，b为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由可判断A；由基本不等式可判断B，C；由二次函数的性质可判断D. 【详解】因为，则，解得：，故A正确； 由，即， 当且仅当时取等，故B错误； ， 当且仅当，即时取等，故C正确； 由代入可得：， 设， ，，所以，故D错误. 故选：AC. 8．设，，已知，，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．没有最大值 C．有最大值为 D．有最小值为 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式直接判断与的最值情况. 【详解】，，， 当且仅当即时等号成立，故A正确，B正确； 又，时，，即， 所以，当且仅当时，等号成立，故C错误，D正确. 故选：ABD. 9．下列说法正确的有（    ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．若正数x、y满足，则的最小值为3 D．设x、y为实数，若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式一一计算即可. 【详解】显然当时，，故A错误； 原式可化为：， 当且仅当即时取得等号，故B正确； 由， 所以， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 由， 则，当且仅当时取得等号， 故D正确. 故选：BCD 三、填空题 10．已知函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】对原函数合理变形，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得， 当且仅当时取等，此时解得(负根舍去). 故答案为： 11．已知，且，那么的最大值是 ，的最小值是 ． 【答案】 / 【分析】由利用基本不等式可求出的最大值，由，得，则，化简后利用基本不等式可求得结果 【详解】因为，所以， 所以，所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是， 因为，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：； 四、解答题 12．（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）通过减加，将目标式配凑成积为定值，然后利用基本不等式可得； （2）通过乘以除以，将目标式配凑成和为定值，然后利用基本不等式可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，故函数的最小值为. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最大值为. 13．中国“一带一路”战略提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本（万元），当年产量不足90台时，（万元）；当年产量不少于90台时，（万元），若每台设备的售价为120万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． (1)当年产量不足90台时，为使该企业在这一电子设备的生产中获利最大，应生产多少台，获利最大为多少； (2)当年产量不少于90台时，为使该企业在这一电子设备的生产中获利最大，应生产多少台，获利最大为多少？ 【答案】(1)生产60台时，获利最大，最大值为1300万元； (2)生产90台时，获利最大，最大值为1500万元. 【分析】（1）表达出获利为，，求出最值； （2）表达出获利为，利用基本不等式求出最值. 【详解】（1）设当年产量不足90台时，该企业在这一电子设备的生产中获利为， 则 ，， 故当时，取得最大值， 故当生产60台时，获利最大，最大值为1300万元； （2）设当年产量不少于90台时，该企业在这一电子设备的生产中获利为， 则 ，， 当且仅当，即时，取得最大值，最大值为1500， 故当生产90台时，获利最大，最大值为1500万元. 14．已知，，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将证明式子中的1用代换，整理为，根据基本不等式即可证明． 【详解】因为a，b，c都为正实数，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 基本不等式 明确学习目标 课标要求 1.了解基本不等式的证明过程. 2.掌握基本不等式≤(a>0，b>0)． 3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 重点难点 1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0)． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 基本不等式 1.基本不等式的推导 (1)方法一　(作差法) －＝＝＝≥0，即≥，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)方法二　(性质法) 要证≤， 只需证2≤a＋b， 只需证2－a－b≤0， 只需证－(－)2≤0， 显然(－)2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立． (3)方法三　(利用几何意义证明) 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤，由此也可以得出圆的半径不小于半弦． 2．基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立． (1)其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． (2)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (3)常见变形：； (4)常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号；（异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号；（），当且仅当时取等号； 3.重要不等式 (1)公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【推导】，当且仅当时，等号成立． (2)常见变形：、、． 知识点2 基本不等式的变式与拓展 1.基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2.基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 知识点3 最值定理 1.最值定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大． 2.理解 (1)三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正； ②二定：各项之和或各项之积为定值； ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． (2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换． 3.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 (1)拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键 (2)利用拼凑法求最值应注意以下几个方面： ①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换； ②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； ③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2提升学科能力 题型一 基本不等式的理解 例1．《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（    ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 跟踪训练1 1．不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 2．给出下面三个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. 其中正确的推导为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 题型二 由基本不等式比较大小 例2．设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（    ） A． B． C．2 D． 3．已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型三 和定积最值 例3．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3 1．设、满足，且、都是正数，则的最大值为 ． 2．已知，则的最大值为 . 3．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型四 积定和最值 例4．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4 1．当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 2．的最小值等于 ，当且仅当 时等号成立． 3．设，则取最小值时的值为 ． 题型五 基本不等式“1”的妙用 例5．已知，且，求的最小值. 跟踪训练5 1．若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（1）若正实数满足，则的最大值为 ． （2）已知，且，则的最小值是 ． 3．若，且，求的最小值. 题型六 恒成立问题 例6．当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练6 1．若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 3．若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 题型七 利用基本不等式证明不等关系 例7．设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 跟踪训练7 1．已知、为正实数，且满足．证明：． 2．已知a，b，c都是正实数． (1)若，求证：； (2)若，求a+b+c的最小值． 3．（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 题型八 基本不等式的应用 例8．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 跟踪训练8 1．运货卡车以千米/时的速度匀速行300千米，按交通法规限制（单位千米/时），假设汽油价格是每升8元，汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时46元. (1)求这次行车总费用（元）关于（千米/时）的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低总费用（精确到0.01）（参考数据：） 2．为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园．为了方便施工，建造时要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示．已知． (1)当的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 3．某单位决定投资元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价元，两侧墙砌砖，每米长造价元，顶部每平方米造价 元．试求： (1)仓库面积的取值范围是多少? (2)为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长? 3质量检测评价 一、单选题 1．已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 2．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 5．已知 ，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．现将一物体放在左、右托盘各称一次，称量结果分别为和，设该物体的真实质量为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知a，b为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 8．设，，已知，，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．没有最大值 C．有最大值为 D．有最小值为 9．下列说法正确的有（    ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．若正数x、y满足，则的最小值为3 D．设x、y为实数，若，则的最大值为 三、填空题 10．已知函数，则的最小值为 ． 11．已知，且，那么的最大值是 ，的最小值是 ． 四、解答题 12．（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 13．中国“一带一路”战略提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本（万元），当年产量不足90台时，（万元）；当年产量不少于90台时，（万元），若每台设备的售价为120万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． (1)当年产量不足90台时，为使该企业在这一电子设备的生产中获利最大，应生产多少台，获利最大为多少； (2)当年产量不少于90台时，为使该企业在这一电子设备的生产中获利最大，应生产多少台，获利最大为多少？ 14．已知，，，且．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$