2.1等式性质与不等式性质（4知识点+5题型+质量检测）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

2.1 等式性质与不等式性质 明确学习目标 课标要求 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步掌握用作差法比较两实数的大小． 3.了解等式的性质和掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．(重点) 重点难点 1.掌握用作差法和作商法比较两实数的大小； 2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 用不等式(组)表示不等关系 1.不等式的概念 (1)用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． (2)用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式； 用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式． 2.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3.理解 (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 4.用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审题：审清题意，明确关键词语：至多、至少、大于等． (2)设元：适当地设未知数表示变量． (3)列式：用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围． 知识点2 比较大小 1.作差法 （1）基本事实 依据 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 (2)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (3)作差法比较两个实数大小的基本步骤 2.作商法 (1)对于两个正值，可采用作商的方法，比较商与1的大小． (2)作商法比较两个实数大小的基本步骤： 作商➡变形➡判断商与1的大小➡得结论 (3)适用范围：作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较 3.中介值比较法 (1)实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值. (2)关键点：此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 知识点3 等式性质的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 知识点4 不等式的性质 1.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 2.理解 (1)若a>b>0，则0<<；若a<b<0，则0>>. (2)不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算． 3.利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质． (2)特殊值排除法，需遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 4.利用不等式的性质证明不等式 (1)实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 5.利用不等式的性质求代数式的取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 2提升学科能力 题型一 列不等式 例1．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 跟踪训练1 1．下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 2．公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 3．持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 题型二 由不等式性质判断不等关系正误 例2．已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．若，，有下列不等式：①；②；③；④，其中结论正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 题型三 比较大小 例3．已知且，比较与的大小． 跟踪训练3 1．设，，，则，，，的大小顺序是 ． 2．设实数、满足，且，则、、中最大的是 ． 3．设，比较与的大小 题型四 利用性质求式子范围 例4．如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 跟踪训练4 1．已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则的取值范围为 . 3．已知，，求及的取值范围． 题型五 利用性质证明不等式 例5．设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 跟踪训练5 1．（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 2．若，，求证：. 3．设、、为正数，且，求证：． 3质量检测评价 一、单选题 1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 2．已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若，那么下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 6．若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，则下列结论正确的是（    ） A．对任意实数， B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（   ） A． B． C． D． 9．若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．若，给出下列不等式：①；②；③，其中正确的是 ． 11．，则从小到大的排列是 . 12．已知，，则的取值范围为 ． 四、解答题 13．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称 空调 彩电 冰箱 工时 产值（千元） 4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？ 14．已知，，求下列各式的取值范围. (1)； (2)； (3)； (4). 15．，，，，设，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 等式性质与不等式性质 明确学习目标 课标要求 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步掌握用作差法比较两实数的大小． 3.了解等式的性质和掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．(重点) 重点难点 1.掌握用作差法和作商法比较两实数的大小； 2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 用不等式(组)表示不等关系 1.不等式的概念 (1)用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． (2)用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式； 用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式． 2.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3.理解 (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 4.用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审题：审清题意，明确关键词语：至多、至少、大于等． (2)设元：适当地设未知数表示变量． (3)列式：用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围． 知识点2 比较大小 1.作差法 （1）基本事实 依据 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 (2)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (3)作差法比较两个实数大小的基本步骤 2.作商法 (1)对于两个正值，可采用作商的方法，比较商与1的大小． (2)作商法比较两个实数大小的基本步骤： 作商➡变形➡判断商与1的大小➡得结论 (3)适用范围：作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较 3.中介值比较法 (1)实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值. (2)关键点：此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 知识点3 等式性质的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 知识点4 不等式的性质 1.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 2.理解 (1)若a>b>0，则0<<；若a<b<0，则0>>. (2)不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算． 3.利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质． (2)特殊值排除法，需遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 4.利用不等式的性质证明不等式 (1)实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 5.利用不等式的性质求代数式的取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 2提升学科能力 题型一 列不等式 例1．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”. 【详解】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得. 故选：C. 跟踪训练1 1．下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 故选：C 2．公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 3．持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得． 【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 题型二 由不等式性质判断不等关系正误 例2．已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法即可判断A，利用不等式的性质即可判断B，举出反例即可判断CD. 【详解】对于A，， 因为，所以， 所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：B. 跟踪训练2 1．若，，有下列不等式：①；②；③；④，其中结论正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据条件，利用不等式的基本性质即可得出，充分利用同向可乘性，同向可加性的思路来逐步证明． 【详解】∵， ∴． 又， ∴，即，故①错误； ∵， ∴， ∴， 即．又， ∴，故②正确； ∵， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， 即，故④正确， 故选：C． 2．已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质判断AD；举例说明即可判断BC. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 3．下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】B 【分析】利用作差法可求得A错误，B正确，D错误，取特殊值可证明C错误，可得结论. 【详解】对于A，易知， 又，所以，，所以，即，A错误； 对于B，， 又，可得，所以，即，可得B正确； 对于C，当时，不成立，即C错误； 对于D，易知，又，所以，即， 可得，因此D错误. 故选：B 题型三 比较大小 例3．已知且，比较与的大小． 【答案】答案见解析 【分析】利用作差法比较大小，在定号时，需要进行分类讨论. 【详解】∵， ∴当时，，，则，即； 当时，，，则，即． 综上，时，；时，． 跟踪训练3 1．设，，，则，，，的大小顺序是 ． 【答案】 【分析】方法一：利用特殊值法，方法二：作差法，两两作差比较大小. 【详解】方法一：特殊值法  取，，，， 则，，，，则． 方法二：作差法 因为，，，所以， 所以， 所以． 因为，，， 所以，， 所以，，所以． 或，所以． ，所以． 所以． 故答案为： 2．设实数、满足，且，则、、中最大的是 ． 【答案】 【分析】用作差法，结合二次函数知识即可判断 【详解】因为，所以 所以 又，且，所以 所以, 所以， 所以、、中最大的是， 故答案为：. 3．设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 题型四 利用性质求式子范围 例4．如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，的范围，结合不等式的性质求出即可． 【详解】由①，②， 得：，, 由②得：③， 由①③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故答案为：，，， 跟踪训练4 1．已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由不等式的性质直接求解. 【详解】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 2．若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件结合不等式性质求范围即可. 【详解】因为,所以, 又因为,所以. 故答案为：. 3．已知，，求及的取值范围． 【答案】，. 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围即可. 【详解】由，得，又，所以； 由，，得，，所以. 题型五 利用性质证明不等式 例5．设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 跟踪训练5 1．（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 2．若，，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】先根据不等式性质判断的大小关系，然后结合不等式性质可判断的大小关系，由此即可证明的大小关系. 【详解】因为，则， 又因为，则， 可得，则， 且，所以． 3．设、、为正数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】运用作差法的思路来证明，由条件可得不等式的左边为，配方即可得证． 【详解】证明：由，可得： ． 当且仅当取得等号． 即有． 3质量检测评价 一、单选题 1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】安全区距离爆破点要大于等于150米，结合题意可构建不等式. 【详解】由题意知导火索的长度（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为米，由题意可得. 故选：B. 2．已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可知A正确，通过反例可知BCD错误. 【详解】对于A，（当且仅当时取等号），又，，故A正确； 对于B，当，时，，，则，故B错误； 对于C，当，时，，，则，故C错误； 对于D，当，时，，故D错误. 故选：A. 3．已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4．若，那么下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法判断AD，利用不等式的性质判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，，，所以， 因为，，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：B 5．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 6．若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先给出作为A，C，D的反例，再直接证明B正确. 【详解】当时，有，，但，，，故A，C，D错误； 由于 ，当且仅当时等号成立，故B正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用不等式的性质证明不等式. 二、多选题 7．已知，则下列结论正确的是（    ） A．对任意实数， B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】取特例判断A，根据不等式的性质判断BC，利用作差法判断D. 【详解】对A，当时，不成立，故A错误； 对B，由可得，又，所以可得， 故B正确； 对C，因为，，可得，所以，故C正确； 对D，，又因为，， 所以的符号不确定，故符号不确定，故D错误. 故选：BC 8．十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得正确； 对于C中，由，可得C错误； 对于D中，由，可得D错误. 故选：AB. 9．若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 10．若，给出下列不等式：①；②；③，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐一判断各个不等式即得. 【详解】由，得，，则，①正确； 有，即，则，②正确； 显然，因此，③正确， 所以正确的是①②③． 故答案为：①②③ 11．，则从小到大的排列是 . 【答案】 【分析】利用两两作差即可比较． 【详解】， ，故， ，故 又，，故 ， 故答案为：． 12．已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以 又，两式相加可得 故答案为： 四、解答题 13．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称 空调 彩电 冰箱 工时 产值（千元） 4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？ 【答案】空调30，彩电270，冰箱30，最高产值1050. 【分析】设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台,建立三元一次方程组,则总产值．由于每周冰箱至少生产60台,即,所以.又生产空调器、彩电、冰箱共360台,故有台,即可求得,具体的x,y,z的值． 【详解】解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为台、台、台，则有 总产值 ,而, , 即. 故每周生产空调30，彩电270，冰箱30，最高产值1050. 14．已知，，求下列各式的取值范围. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用不等式的加法性质即可求解. （2）利用不等式的减法性质即可求解. （3）利用不等式的乘法性质即可求解. （4）利用不等式的除法性质即可求解. 【详解】（1）∵，∴.又∵，∴. （2）∵，∴.又∵，∴. （3）∵，，∴. （4）∵，∴.由，可得. 15．，，，，设，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】直接将每个分式缩小，即可证明；通过可得，且类似可以得到其它三个不等式，然后相加即可证明. 【详解】因为，故，，，. 故有 ； 由于 ， 故，同理还有 ， 所以. 这就证明了. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$