1.2 一元二次方程的解法(5) 同步练习2024-2025学年苏科版数学九年级上册

1.2 一元二次方程的解法(5) 练霸基础台 夯实基础 全面过关 1.关于x 的一元二次方程 的根的情况是 ( ) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数a 的取值有关 2.已知关于x 的方程 有两个实数根,则 的化简结果是 ( ) A. -1 B. 1 C. -1-2k D. 2k-3 3.若等腰三角形的边长分别为a,b,2,且a,b 是关于x 的一元二次方程 1=0的两个实数根,则 n的值为 ( ) A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 8或10 4.已知a,b,c 为常数,点 P(a,c)在第四象限,则关于x 的一元二次方程 的根的情况为 . 5.定义:若关于x 的一元二次方程 c=0(a≠0)满足a-b+c=0,则称这个方程为“美丽方程”.已知关于x 的一元二次方程 是“美丽方程”,且有两个相等的实数根,给出下列结论:①a=b=c;②a=b;③b=c;④a=c.其中正确的是 .(填序号) 6.已知关于x 的一元二次方程 m-2=0有两个实数根,m为正整数,且 该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数 m 的和为 . 7.不解方程,判别下列方程根的情况: (2)(x+3)(x+5)=-1; 提高能力勇攀高峰 8.小刚在解关于x 的方程 时,只抄对了a= 1,b=4,解出其中一个根是-1.他核对时发现所抄的c 值比原方程的c 值小2,则原方程的根的情况是 ( ) A.无实数根 B.有两个不相等的实数根 C. 有一个根是-1 D.有两个相等的实数根 9.在探讨关于x 的一元二次方程 1=0总有实数根的条件时,下面三名同学给出建议:甲:a,b同号;乙:a-b-1=0;丙:a+b-1=0,则 ( ) A. 甲、乙、丙都正确B. 只有甲不正确 C. 甲、乙、丙都不正确 D. 只有乙正确 10.关于x 的一元二次方程 2b)x+4b+2=0的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D. 以上都有可能 11.若关于 x 的一元二次方程 2x+2=0有实数根,则m 的最大整数值是 . 12. 在 ABC 中,BC=2,AB=2 ,AC=b,且关于 x 的方程 有两个相等的实数根,则边 AC 上的中线长为 . 13. 已知a,b,c 是 ABC 三条边的长,则关于x 的一元二次方程 0的根的情况是 . 14.我们规定:对于任意实数a,b,c,d,有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右边是通常的乘法和减法运算.例如:[3,2]*[5,1]=3 5-2 1=13. (1) 求[-4,3]*[2,-6]的值; (2)已知关于 x 的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根,求m的取值范围. 练霸拓展台 挑战难度 探究创新 15.若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx-k 的图像不经过 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 16. (1) 如果关于 x 的方程 只有3个不相等的实数根,那么 a= ; (2)如果关于 x 的方程 有且仅有两个实数根,那么实数a的取值范围是 . 17. *已知x₁,x₂是关于x 的一元二次方程 的两个不相等的实数根. (1)求m 的取值范围; (2)已知等腰三角形 ABC 的一边长为7.若x₁,x₂恰好是 ABC 另外两边长,求该三角形的周长. 10 1.2 一元二次方程的解法(5) 1. C 2. A 3.B 解析:因为三角形是等腰三角形,所以有( 2 或 以及a=b两种情况.分类讨论如下:①当 或b=2时,因为a,b是关于x 的一元二次方程 的两个实数根,所以把x=2 代入 得 6 2+n-1 =0,解得n=9,所以原方程为 6x+8=0,解得 又 2,2,4 不能组成三角形,故不符合题意.② 当a=b 时,方程 有两个相等的实数根,所以 解得 所以原方程为 解得 又2,3,3能组成三角形,符合题意.综上所述,n 的值为 10. 4.有两个不相等的实数根 5. ④ 解析:由题意,得 因为a-b+ 所以b=a+c,所以 即 所以a=c,即b=2a 或b=2c.故正确的结论是④. 6. 5 解析:因为关于x 的一元二次方程 有两个实数根,所以 ,解得 m≤3.因为 m为正整数,所以m可取1,2,3.当m=1时,原方程化为 解得 不合题意,舍去;当m=2时,原方程化为 解得 符合题意;当 时,原方程化为 解得 符合题意.故符合条件的所有正整数m 的和为 7. (1) 因为( 所以 所以原方程有两个不相等的实数根. (2)方程变形,得 因为 所以 所以原方程有两个相等的实数根. (3)方程变形,得 因为 所以 所以原方程无实数根. 8. A 解析:因为 所以方程 可化为 由题意,得 是方程 的一个解,所以 解得 所以 ,所以原方程无实数根. 9. B 解析:关于x 的一元二次方程 0的根的判别式为 若 a,b 同号,如 此时 方程没有实数根,不满足方程总有实数根,甲不正确;若 即a=b+1,则 方程总有实数根,乙正确;若a+b-1=0,即 a=-b+1,则 方程总有实数根,丙正确.故只有甲不正确. 10. A 解析: 由题意,得a-1≠0,所以 所以[2(a+ 所以原方程有两个不相等的实数根. 11. 4 12. 2 解析:因为关于x 的方程 有两个相等的实数根,所以 解得 (不合题意,舍去),所以AC=4.因为 所以 所以 ABC 是直角三角形,且 所以边 AC上的中线长为 13.有两个不相等的实数根 解析:因为 a,b,c 是 三条边的长,所以a+b+c>0,a+b- 所以 所以原方程有两个不相等的实数根. 14. (2)由题意,得.即因为关于 x 的方程 有两个实数根,所以 且m≠0,解得 且 .故m的取值范围为 且 15. B 解析:因为关于x 的一元二次方程 2x-k+1=0有两个不相等的实数根,所以 解得k>0,所以-k<0,所以一次函数 y=kx-k 的图像经过第一、三、四象限,不经过第二象限. 16. (1) 4 或-4 解析:原方程可化为 4=0①或 .因为方程①中 16>0,所以方程①有2个不相等的实数根.又原方程有3个不相等的实数根,所以方程②中 解得a= 4.故a 的值为4或-4.(2) a=0或a>4 解析:由题意,得a≥0.分类讨论如下:当 a=0时,原方程可化为|(x- 此时 解得 符合题意;当 a>0时,原方程可化为 或 0②.因为方程①中 ,所以方程①必有两个不相等的实数根.又原方程有且仅有两个实数根,所以方程②无实数根,即 0,解得a>4.综上所述,a=0或a>4. 17. (1) 因为方程 有两个不相等的实数根,所以 解得 故m的取值范围是m>2. (2)由题意,得 则 或 即7是原方程的一个根.将x=7 代入原方程,得 整理,得 解得 分类讨论如下:① 当m=4时,原方程化为 0,解得原方程的另一个根为3,此时 的三边长分别为7,7,3,所以这个三角形的周长为7+7+3=17;②当 时,原方程化为 ,解得原方程的另一个根为15.因为7+7<15,所以此时不能构成三角形.综上所述,该三角形的周长为 17. 方法归纳 解决一元二次方程与等腰三角形相关问题时,一般先根据一元二次方程根的判别式与0的大小关系,确定“无论k 取何值,方程总有实数根”,再根据三角形的形状和已知边长分情况讨论方程根的情况,求得方程中的待定系数及其解,并结合三角形三边关系确定三角形的三边长和周长;也可以根据一元二次方程根的判别式为完全平方式,直接运用公式法求得方程的根,再分类讨论求得符合条件的三角形的三边长和周长. 学科网(北京)股份有限公司 $$