5.4 二次函数与一元二次方程（1）导学案 2023-2024学年苏科版九年级数学下册

九年级数学下册导学案(5-7) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课题：5.4 二次函数与一元二次方程（1） 学习目标： 1．体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图像研究方程问题的方法； 2．理解二次函数图像与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图像特征； 3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）图像交点的横坐标． 学习重点：经历“类比——观察——发现——归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程。 学习难点：准确理解二次函数与一元二次方程的关系。 自学要求：认真阅读教材P6-7，回答下列问题： 1、 新知体验： 1、 问题导入：二次函数y＝ax2＋bx+c与一元二次方程ax2＋bx+c=0有怎样的关系？ 2、探索新知： 知识点一：二次函数与一元二次方程的关系： 活动一：思考、探索： 如图，二次函数y＝x2-2x-3的图像与x轴（横轴）交点坐标分别为 M（3,0），N（-1,0）；当y=0时，x2-2x-3=0。 一元二次方程x2-2x-3=0的两个根为：x1=3,x2=-1。 从“函数值何时为0”着手，沟通二次函数与相应的一元二次方程的关系； 通过函数图像揭示相应的一元二次方程的解的几何意义。 小结：一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有两个公共点 （x1，0）、(x2，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的 实数根x＝x1、x＝x2，反过来也成立． 知识点二：探索二次函数图像与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系： 活动二：思考、探索： 观察下列二次函数：，，图像。 （1）观察二次函数图像与x轴的公共点的个数；（2）判断函数值为0时一元二次方程根的情况； （3）你能找到它们之间的联系吗？ 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况说明： 当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x轴有两个交点； 当b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根， 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有1个交点；当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 没有实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有交点．反过来，根据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的根的情况可以判断二次函数y＝ax2＋bx＋c图像与x轴交点的个数。 二、例题讲解 例1、（1）不画图像，你能判断函数的图像y＝-x2＋5x－8与x轴是否有公共点吗？ （2）已知二次函数y＝x2－4x＋k＋2与x轴有公共点，求k的取值范围． 例2、 打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑 空气的阻力，某次球的飞行高度y（单位：米）与飞行距离x （单位：百米）满足二次函数：y＝－5x2＋20x，这个球飞行的水平 距离最远是多少米？球的飞行高度能否达到40m？ 三、基础强化： 1、下列函数的图像中，与x轴没有公共点的是 （ ） 　A、 　B、 C、 D、 2、二次函数y＝x2－3x的图像与x轴两个交点的坐标分别为 （　 　） A、（0，0），（0，3）　　　 　B、（0，0），（3，0） C、（0，0），（－3，0）　　 　D、（0，0），（0，－3） 3、不画图像，判断下列函数的图像y＝-x2＋5x－8与x轴公共点的个数。 4、抛物线y＝－x2＋（m－1）x＋m与y轴交于点（0，3） （1）求出m的值并画出这条抛物线； （2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标； （3）当x在什么范围内，抛物线在x轴上方。 （4）当x在什么范围内时，y的值随x的值的增大而减小。 4、 拓展提高： 5、如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， 点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上， 四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3. （1） 求该抛物线所的函数关系式； （2）求△ABD的面积； （3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G， 问点G是否在该抛物线上？请说明理由. 五、总结反思： 1、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点有三种情况： 有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有交点时， 交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程y＝ax2＋bx＋c＝0的根. 2、图像与x轴的位置关系交点个数一元二次方程根的情况. 3、数形结合的数学思想方法. 六、随堂检测： 1、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示， 则一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0两个实数根为 ； 当 时，y＞0。 2、已知抛物线y＝x2＋2x＋m＋1. （1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值； （2）若抛物线与直线y＝x＋2m只有一个交点，求m的值。 学科网（北京）股份有限公司 $$