1.3 勾股定理的应用-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（北师大版）

数 学 八年级上册 BS 1 2 3 第一章 勾股定理 4 3 勾股定理的应用 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 最短路径问题 1.【2024广东佛山调研】如图所示，一圆柱高，底面半径为 ， 一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程约是（ 取3）( ) B A. B. C. D.无法确定 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 【解析】如图所示，沿点A所在的高将圆柱的侧面展开.因为底面 半径为，所以.在 中，因为 ， ，所以 ，所以 .故选B. 在中，，所以.因为 ， 所以.在 中， ，所以 ，所以 （米）.故答案为1.3. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2.【2024河南郑州二七区期中】如图，长方体的底面的长和宽分别 为和，高为，点在边上，且 .如果用 一根细线从点开始经过3个侧面缠绕一圈到达点 ，那么所用细线最 短为___ . 5 【解析】 如图，将长方体的部分表面展开，连接 .因为长方体 的底面的长和宽分别为 和，高为，点在边 上， 且，所以， .根据勾股定 理，得，所以 .故答案为5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 3.【2023四川广安中考】如图，圆柱形玻璃杯的杯高为 ，底面周 长为，在杯内壁离杯底的点 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂 蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂 蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为____ .（杯壁厚度不计） 10 【解析】 如图，将杯子侧面的一半展开，作关于的对称点 ， 连接，则即为最短路程，过点作交 的延长线于 .根据题意可得， ， 所以，所以 ，故答案为10. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.【2024湖北随州期末】如图，用一条花带从高 的圆柱的底部向 柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止.若柱子的底面周长是 ,则这条花带的长度至少为_____ . 7.5 【解析】 如图，将圆柱表面展开，因为圆柱高 ，所以 .设 .因为底面周长为 ，所以，所以 ，所以花带长至少是 .故答案为7.5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ，，，和 是这个三级台阶两个相对的端 点，点有一只蚂蚁，想到 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台 阶面爬行到点的最短路程是____ . 25 【解析】 如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为 ，宽 为，则蚂蚁沿台阶面爬行到 点的最短路程 是此长方形的对角线长.设蚂蚁沿台阶面爬行到 点的最短路程为 .由勾股定理得，所以 （负值已舍去）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 关键点拨 爬行路程最短问题是勾股定理应用中常考的问题之一，根据已知条件展开图形， 构造直角三角形求解.注意在问题中是否出现内、外之分. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 知识点2 利用勾股定理解决实际问题 6.【2024广西桂林期中】如图所示，一根长为 的吸管放在一个圆 柱形杯中，测得杯的内部底面直径为，高为 ，则吸管露在 杯外面的最短长度为___ . 2 【解析】 设吸管在杯内部分的最大长度为，则有 ， 解得，所以露在杯外面的最短长度为 ，故答案为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 7.【2024陕西宝鸡期中】如图，一个梯子长2.5米，顶端靠在墙 上，这时梯 子下端与墙角距离为1.5米，梯子滑动后停在的位置上，测得 长为0.9米， 则梯子顶端 下滑了_____米. 1.3 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 8.【2023浙江温州校级期末】如图，将一根长为 的橡皮筋固定在笔直的木 棒上，两端点分别记为点、点，然后将中点向上拉升至点 ，则橡皮筋 被拉长了______. 【解析】 由题意知，.在 中，根据勾股定 理，得，所以 ，则 .故橡皮筋被拉长了 .故答案 为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 9.【2024广东佛山质检】如图，在离水面高度为8米的岸上， 有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 的长为17米，此人以每 秒1米的速度收绳，7秒后船移动到点 的位置，问船向岸边 移动了多少米？（假设收绳过程中绳子是直的） 【解】在中,因为 ，米， 米，所以 ，所以 米.因为此人以每秒1米的速度 收绳，7秒后船移动到点的位置，所以 （米），所以 ，所以 米，所以 （米）. 答：船向岸边移动了9米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 提升 1.【2024安徽淮南期末，中】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一 架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 ，顶端距离 地面 .如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶 端距离地面 ，则小巷的宽度为( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 【解析】如图，由题意知 ， ， ，.在 中， ，所以 .因为 ，所以，所以 ，所以 ，所以，即小巷的宽度为 . 故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2.［中］如图是一个供滑板爱好者使用的型池，该 型池可以看成是一个长方体 去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行的部分的截面是半径为 的半圆，其边缘 .小明要在上选取一点，能够使他从点滑到点再滑到点 的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ 取3）( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 【解析】型池可供滑行的部分的面的展开图如图，作点C关于 的对 称点，连接交于点，连接,则, ,所以此时 小明从点D滑到点再滑到点C的滑行距离最短，最短距离为 的长.因 为中间可供滑行的部分的截面是半径为 的半圆，所以 ，所以.又因为 ，所以在 中，，所以 ，故 他滑行的最短距离约为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 关键点拨 本题考查最短路径问题，关键就是把 型池可供滑行的部分的面展开成长方形， “化曲面为平面”，用勾股定理解决问题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 （第3题图） 3.【2024浙江金华婺城区期末，中】如图，笔直的河流一侧有一 营地，河边有两个漂流点，，其中 ，由于周边施工， 由到 的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点 ，，在同一直线上，并新修一条路，测得 千 米，千米，千米，则原路线 的长为____千米. 【解析】 在中，因为， ，所以 ，所以是直角三角形且 .设 千 米，则千米.在中，由已知得 ， ，，由勾股定理得，所以 ， 解得，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 4.【2023陕西西安新城区调研，难】如图，长方形中，， ， 点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处.当 为直 角三角形时， 的长为______. 或3 （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 【解析】 当 为直角三角形时，有以下两种情况： ①当 时，如图（1）所示，连接.在中， ， ，所以，则.因为沿折叠，使点落在点 处，所以 .又因为 ，所以点，， 共线，即 沿折叠，使点落在对角线上的点处，则， ，所 以.设，则.在 中，因为 ，所以，解得，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 ②当点落在边上时，如图(2)所示.易知此时四边形 为正方形， ，所以.综上所述，的长为 或3. 故答案为 或3. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 5.【2023江苏苏州调研，中】如图，有一台风中心沿东西方向由移动到 ，已知 点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为 ， .若，台风中心周围以内（包含 ）为 受影响区域,海港会受台风影响吗？如果会,若台风中心的移动速度为 ， 台风影响该海港持续的时间是多长？如果不会，请说明理由. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 【解】海港 会受台风影响. 如图，过点作.因为，， ， ，所以 是直角三角形，所以 ，即 ，所以 . 因为台风中心周围以内（含）为受影响区域， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 所以海港 会受台风影响. 在上取两点，，使 . 在中，,所以 . 因为，且台风中心的移动速度为， ， 所以台风影响该海港持续的时间为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 归纳总结 台风、噪音等影响性问题，在勾股定理的应用中是常考题型，在解决此类问题的 时候，注意先找到最短距离和临界点（开始影响时的位置和结束影响的位置）， 注意解答的完整性. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 思路分析 勾股定理的实际应用 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 刷素养 走向重高 6.思想方法 分类讨论【2023四川成都金牛区调研，较难】如 图，长方形中，，，为 边上一点， ,连接 . （1）求 的长. 【解】因为四边形 是长方形， 所以 ， . 因为，所以 . 因为，所以在中，，所以 的 长为5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 （2）点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接 . 设点运动的时间为 秒. ①当为何值时， 是等腰三角形? 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 【解】 由题意知，，则.当 是等腰三角形时，分以下 三种情况： （Ⅰ）当 时， 即，解得 . （Ⅱ）当 时，如图（1）， 过点作于点 ， 所以 . 易知四边形 是长方形， 所以，即，解得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 （Ⅲ）当 时，如图（2）， 过点作于 ， 所以易知四边形 是长方形， 所以， ， 所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 在中，由勾股定理得，即 ， 解得 . 综上所述，当的值为或2或时， 是等腰三角形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨因为题目中并没有对等腰三角形 的两腰进行说明，所以需要进行分 类讨论，不要漏解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 ②当为何值时， ? 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 38 【解】 当时， 是直角三角形. 如图（3），过点作于 ， 所以易知四边形 是长方形. 由①知， ， .在中，由勾股定理得 . 因为， ， 所以在中，由勾股定理得 ，即 ， 解得 ， 所以当的值为时， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 $$