3.1.1 勾股定理-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（苏科版）

数 学 八年级上册 SK 1 2 3 第3章 勾股定理 4 3.1 勾股定理 课时1 勾股定理 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 勾股定理 1.【2023湖南邵阳调研】在中，，，的对边分别是，， ，若 ，则下列等式中成立的是( ) B A. B. C. D. 【解析】 ， ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2.【2023贵州毕节期末】在中， ，，， 的对边分别是 ，，，若，，则 的面积是( ) A A. B. C. D. 【解析】在中，由勾股定理得 ， ， ，则 ， ， 的面积是 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 3.若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三条边长的平方为_______. 9或41 【解析】 当5为直角边长时，第三条边长的平方为 ；当5为斜边长时， 第三条边长的平方为 ．故第三条边长的平方为9或41.故答案为9或41． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 4.【2024浙江宁波奉化区期中】已知直角三角形两边长分别为和 ，则 斜边上的中线长为________ . 6.5或6 【解析】 如果直角三角形两直角边长分别为和 ，根据勾股定理可得， ， 斜边长为， 斜边上的中线长为 .如果直角三角形 一直角边长为，斜边长为，则斜边上的中线长为 .故答案为6.5或6. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 5.在中， ，，，的对边分别为，， .若 ，，则 _______. 【解析】 ， 设，.， 由勾股定 理可得，解得（负值已舍去）， . 故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 知识点2 勾股定理的应用 （第6题图） 6.【2024江苏南京期中】如图，在中， ， ，，的垂直平分线交于点，连接 ，则 的周长是( ) A A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】 ，，， , 的垂直平分线交于点D，， 的周长为 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （第7题图） 7.【2024江苏南通质检】如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离 地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是 拉直的，则秋千的长度是___米. 5 【解析】 设米.米， 米， （米）， 米.在中，米，米， 米，根据 勾股定理得，解得 ，则秋千的长度是5米. 故答案为5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 8.如图，在中， ，点是上一点， ，若 ，，则 _____． 1.4 （第8题图） 【解析】 设，则,.在 中， ，在 中， ，，解得 ，即 ．故答案为1.4． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 关键点拨 解答本题的关键是设出合适的未知数，运用勾股定理找寻等量关系，建立方程求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 （第9题图） 9.【2024江苏扬州期中】如图，长方形中， ， ，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为 ，则 的面积为_____. 7.5 【解析】 设，则 .根据勾股定理可 得，，解得,则 .由翻折性质可 得，，， ， , . 故答案为7.5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 10.【2024江苏苏州调研】如图，在 中， ，，点为 的中点， 于点 .求： （1） 的长度； 【解】，，点为的中点， ， ，, ， ， . （2） 的长度. 【解】 ， ，， ， 故的长度为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 刷易错 易错点 没有明确已知边的类型而忽略分类讨论致错 11.在中，，，边上的高为12，则 的长为_______. 25或7 图（1） 【解析】 分两种情况讨论：如图（1），当 为锐角时，在 中，， . 在中，， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 图（2） 如图（2），当为钝角时，在 中， ，.在 中， ， ， ．综上所述， 的长为25或7. 易错警示 本题因为没有图形，所以在解题时画出符合条件的图形就显得尤为重要，应按 为锐角或钝角两种情况分类讨论． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 提升 （第1题图） 1.【2023江苏泰州海陵区期中，中】如图，阴影部分表示以直角 三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知 ，且，则 的长为( ) D A.4 B.6 C.7 D.8 【解析】由勾股定理得， ， ， , ， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 技巧总结 根据勾股定理得到 ,再结合三角形及圆的面积公式和完全平方公 式求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 （第2题图） 2.【2024江苏无锡锡山区期中，较难】如图，在 中， ，，，平分，于 ， 与相交于，则 的长是( ) B A.1 B. C. D.2 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 【解析】过点作于点于D，， 在中， ，.又平分， ， .在中， ，，， .在 和中， ，， ， ，，.设 ， 则.在中，由勾股定理得，解得 ，即 的长是 .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 （第3题图） 3. 【2024江苏连云港海州区期中，中】定义：我们把三角形 某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的 “中高偏度值”.如图，在中， ， ， ，则中， 边的“中高偏度值”为___. 【解析】 过点作于，取的中点，连接，过作于 ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 如图., 点与点重合. ， ， ，， ， ， 思路分析 过点作于，取的中点，连接，过作于 ，根据勾股 定理和直角三角形斜边上的中线的性质求出的长，再利用面积法求出 的长， 进而得出结论. ，，， ， ，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 （第4题图） 4.【2024江苏无锡调研，中】如图所示，折叠长方形的一边 ，使 点落在边上的点处，已知，，则 的 长为___ . 3 【解析】 由折叠的性质得 ， ，.设，则 ， .在中，, ， .在 中，由勾股定理得 ，即，解得， 的长 为 .故答案为3. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 （第5题图） 5. ［较难］如图所示，已知中，， ， 于，为上任意一点，则 等于____. 45 【解析】 在和中， ， .在和 中， ， ， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 6.【2024江苏镇江期中，较难】如图，在中， ， ， ，点是边的中点，点是射线上的一个动点，交 的延长 线于点，交边于点.当时， 的长为________. 2.5或1 （第6题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 【解析】 连接,,设.当点在上时， 在 中， ，，,，是 的中点，.在和中， ，， ， ，,即 ，解得 .当点在的延长线上时，同法可得，解得 . 综上所述，满足条件的的长为2.5或1.故答案为 或1. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 关键点拨 分两种情况讨论：①当点在上时；②当点在 的延长线上时，注意不要漏解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 7.［较难］一辆装满货物的卡车，高，宽 ，要开进上 边是半圆，下边是长方形的隧道，如图所示，已知半圆的直径为 ，长方形的另一条边长是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 （1）此卡车是否能通过隧道？试说明你的理由. 图（1） 【解】该卡车能通过隧道.理由如下：如图（1）， 为卡车的 宽度，分别过，作的垂线交半圆于，，连接，过 作，为垂足，连接，易知 ， ，所以， .在 中，，即 ，所以 ,所以这辆卡车能通过隧道. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）为了适应车流量的增加，把隧道改为双行道，要使宽为，高为 的卡车能安全通过，那么此隧道的宽至少增加到多少？ 图（2） 【解】 如图（2），为卡车的宽度，过作 的垂线交半圆 于，垂足为，连接，过作，交的延长线于 .根 据题意可知， ， ， .根据勾股定理得 ，即 ， 所以隧道的宽至少增加到 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 8.【2023江苏南京玄武区调研，较难】如图，已知 中， ，，，，是 边上的两个 动点，点从点开始沿方向运动，且速度为，点 从 点开始沿方向运动，且速度为 ，它们同时出发， 设运动的时间为 . 思路分析 （1） （2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 （1）运动几秒时， 是等腰三角形？ 【解】如图（1），当时，是等腰三角形，此时 ， 则在中，由，得 ， 解得 . 答：运动时， 是等腰三角形. 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 35 （2）当点在边上运动时，求能使 成为等腰三角形的运动时间. 图（2） 【解】 分三种情况：①如图（2），若 ，则 ， , .在中， ， ，， ，解得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 36 ②如图（3），若，则，解得 . 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 37 图（4） ③如图（4）,若，过点作，垂足为 ，则 , ， ， ， ，则 ， ，，解得.综上所述，当运动时间为或 或时， 为等腰三角形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 38 $$