2.5.2 等腰三角形的判定-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（苏科版）

数 学 八年级上册 SK 1 2 3 第2章 轴对称图形 4 2.5 等腰三角形的轴对称性 课时2 等腰三角形的判定 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 等角对等边 1.已知中的三边长为,,,下列条件中，不能判定 是等腰三角形的 是( ) B A.，， B. C. ， D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 【解析】A选项，，，，， 是等腰三角形；B选 项，，， 不是等腰三角形；C选项， ， ， ， ， ，是等腰三角形；D选项，, ， ， 是等腰三角形．故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2.【2024辽宁盘锦模拟】在中， ， ，要求用圆规和 无刻度的直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形.其中作 法错误的是( ) B A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 【解析】A选项，由作法知， 是等腰三角形，故不符合题意；B选 项，由作法知直线是线段的垂直平分线，不能推出或 是等腰 三角形，故符合题意；C选项，由作法知，直线是线段 的垂直平分线， ，是等腰三角形，故不符合题意；D选项， ， ， ，由作法知是 的平分线， ，， 是等腰三角形，故不符合题意.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 思路分析 根据等腰三角形的定义与判定定理（等角对等边），即可得出答案. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 3.【2024江苏南京鼓楼区期中】如图，在中，，点， 分别在，上，，，相交于点 . （1）求证： ； 【证明】在与 中， ， ， ， ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 （2）连接，求证： . 【解】 ，，， . 在与中， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 知识点2 等边三角形的性质 （第4题图） 4.【2024江苏宿迁期中】如图，是等边三角形， 于点，是延长线上的一点，，则 的度数为____ . 30 【解析】 是等边三角形， ， ， ， .故答案为30. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 （第5题图） 5.【2024黑龙江哈尔滨香坊区期中】如图， 是边长为5的等 边三角形，和的平分线交于点，过点作 的平行线 交于，交于，则 的周长是____. 10 【解析】 为等边三角形， 平分 ，， ， ，.同理， 的周长为 .故答案为10. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 知识点3 等边三角形的判定 6.【2023江苏无锡梁溪区期中】如图，一艘轮船由海平面上 地出 发向南偏西 的方向行驶100海里到达地，再由地向北偏西 的方向行驶100海里到达地，则， 两地相距( ) A A.100海里 B.80海里 C.60海里 D.40海里 【解析】连接 点B在点A的南偏西 方向，点C在点B的北偏西 方向， 易知 .又， 为等边三角形, 海里.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 刷有所得 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 7.已知：在中， ，若边,上的高相等，那么 是______ 三角形. 等边 【解析】 如图，由题意知 ，， ，且 ，， .在 和中， ， ， ， ，即 为等边三角形．故答案为等边． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 8.【2024江苏苏州调研】如图，已知等腰中， ， ，于点，点是延长线上一点，点 是线段上一点， . （1）求 的度数； 【解】连接，， ， ，垂直平分 ， ，， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 （2）求证：点在 的垂直平分线上. 【证明】 ， ， ， ， 是等边三角形， ， 点在 的垂直平分线上. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 刷易错 易错点 忽略对三角形进行分类讨论导致错误 9.【2024江苏南京玄武区期中】在中， ，点在边 上，若 直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则 的度数是 _________________. 或 或 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 【解析】 如图（1）中，当 ， 时，满足条件.如图（2）中， 当 ，时，可得 ， . 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 图（3） 如图（3）中，当，时， ， .故答案为40°或90°或140°. 易错警示 本题易错点是不能正确地对三角形进行分类讨论，解题的关键在于先确定直角 或 或 ，然后再判定等腰三角形，进而计算. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 提升 （第1题图） 1.［中］如图，点在直线上，点在直线 上方，点 为直线上一动点，当 为等腰三角形时，满足条 件的点 的个数为( ) C A.1 B.3 C.4 D.5 【解析】如图所示，分三种情况：时，点在 的垂直平分线上，满 足条件的点有1个；时，满足条件的点有2个； 时，满足 条件的点有1个.综上所述，满足条件的点 有4个.故选C． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 （第2题图） 2.【2023湖北武汉洪山区期中，较难】如图所示，在 中， ，点是的中点，是的平分线，作 交 于.已知，则 的长为( ) A A.12 B.11 C.10 D.9 添加辅助线 延长线段构造全等三角形，将已知线段转移到同一个三角形中， 本题可以延长到，使，连接，延长交 的 延长线于 ，从而由角之间的数量关系得到线段之间的数量关系， 进而得出结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】如图，延长到，使，连接，延长 交 的延长线于是中点，.在和 中， ，， .又 ，， ， ，， ， ， .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 （第3题图） 3.【20224江苏无锡锡山区期末，较难】如图， 中， ，点为内一点， ， ，则 ( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】如图，过点C作，垂足为D，延长交于点 ， 连接 ， ， ， ，是的垂直平分线， ， ， 是 的一 个外角， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （第4题图） 4.［中］如图，在等边三角形中，点在边上，点 在边 上，将折叠，使点落在边上的点 处，则 ______． 【解析】 为等边三角形， .由折叠 可知， , ， , ， ， , ， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 关键点拨 先由等边三角形的性质得 ，再由折叠得 ， 再根据三角形内角和及“一线三等角”模型得到等角，即可得到结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 5.【2024福建福州期中，较难】如图，为等边的高，， 分别为线段 ，上的动点，且，当取得最小值时，_____ . 105 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 【解析】 如图，过点作，使，连接交 于点 ，连接 . 是等边三角形，且为的高， ， ，，，， . ， .在和 中， ， ， ， 当点与点 重合时， ，此时的值最小，即 的值最小， ， 当 取得最小值时， .故答案为105. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 6.【2023山东菏泽期末，较难】在中，，是的中点，， 分 别是边， 上的点. （1）如图（1），连接，，若，求证： ； 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 图（1） 【证明】连接，如图（1）.，是 边的中点， ,，垂直平分， ， ， ，即 . ，，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 （2）如图（2），若，，在一条直线上，且 ，探究 与 之间的数量关系，并说明理由. 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 图（2） 【解】 .理由如下： 连接，如图（2）.由（1）得， . ， ， , 和 都是等腰直角三角形， ，.在和中， ，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 刷素养 走向重高 7.核心素养 几何直观【2023江苏南通启东期中，较难】若和 均为等 腰三角形，且，当和互余时，称与 互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做 的“余高”.如 图，与 互为“底余等腰三角形”. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 （1）连接，，判断与 是否互为“底余等腰三角形”： _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ___ （填“是”或“否”）. 【解】，， ， ， ， ， ， ， ， ，与 互为“底余等腰三角形”，故答案为 是. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 （2）当 时，若的“余高”，则 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________. ， ， ， ， .在和 中， ,， ， ， ， ， ，故答案为6. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 （3）当 时，判断与 之间的数量关系，并说明理由. 【解】 .理由：如图，作于点 ， ， , . 在和 中， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 40 $$