2.4.3 角平分线的性质和判定-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（苏科版）

数 学 八年级上册 SK 1 2 3 第2章 轴对称图形 4 2.4 线段、角的轴对称性 课时3 角平分线的性质和判定 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 角平分线的性质定理 1.【2024江苏南京江宁区期中】如图，点在的平分线 上（不与点重合），于点，，若是 边上任 意一点，连接，则下列关于线段 的说法一定正确的是 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 点在的平分线上，，， 点到 边的距 离等于3， 点到边的距离为 点D是边上的任意一点， 长的最小值 为3，即 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 （第2题图） 2.如图，中， ，平分，交于点 ， ，，则 的长为( ) A A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】如图，过点D作于 ， 平分 ， ，解得 ， ．故选A． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 （第3题图） 3.如图，已知的周长是21，，分别平分 和 ，于点，且，则 的面积是___. 【解析】 作于，于，连接 平分 ，，， ，同理， 周长是12，， 的面积为.故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 思路分析 作于，于，连接，根据角平分线的性质分别求出， 的长度，然后利用三角形的面积公式计算即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 知识点2 角平分线的判定定理 （第4题图） 4.【2024广东肇庆期末】如图所示，是一块三角形草坪 ，现 要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离 相等，则凉亭的位置应选在( ) B A.三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C.三条高所在直线的交点处 D. 三边的垂直平分线的交点处 【解析】 凉亭到草坪三条边的距离相等， 凉亭的位置应选在 三条角平 分线的交点处.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 （第5题图） 5.【2023湖北武汉期中】如图，已知点是内一点，且点 到 三边，，的距离相等，连接，.若 ，则 的大小是______. 【解析】 点是内一点，且点到三边，， 的距 离相等， 点是三条角平分线的交点，， ， ， ， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 关键点拨 由已知得到点是 三条角平分线的交点是解题关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 6.如图，点在的内部，于点， 于点 ．点，分别在，上，且， ．求 证：平分 ． 【证明】， ， ． 在和中， ， ． 又，，平分 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 知识点3 三角形的角平分线 7.如图，在中，点是该三角形角平分线的交点．若， ， ，则,, 的面积之比为_______． （第7题图） 【解析】 根据角平分线的性质定理，得点到 的三边距离相等，则 ，，的面积之比为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 （第8题图） 8.如图，直线，， 表示3条互相交叉的公路．若要建一个货 物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的站址 有___处． 4 【解析】 如图，根据角平分线的性质定理，可知 内部有1 个点，另外与的平分线的交点、与 的平 分线的交点、与 的平分线的交点也符合题意，故可供 选择的站址有4处． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 提升 （第1题图） 1.【2023浙江衢州中考，中】如图，在中，以点 为圆心， 适当长为半径画弧，分别交，于点，.分别以点， 为 圆心，大于长为半径画弧，交于内一点.连接 并延 长，交于点.连接，.添加下列条件，不能使 成 立的是( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 【解析】根据题中所给的作图步骤可知，是 的角平分线，即 .当时，又，且 ， ，，选项不符合题意.当 时， .又，且 ， ，，选项不符合题意.当 时， ，，， ， .又， ，即 .又 ， , ，，选项不符合题意.当 时，无法得 到, 选项符合题意.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 （第2题图） 2.【2024江苏连云港期中，中】如图，在四边形 中， ，，连接，，.若 是 边上一动点，则 长的最小值为( ) C A.1 B.6 C.3 D.12 【解析】过点D作交于点 ， ， , ， ，，是 的平分线.又 ，，，， 当点运动到与点 重合时，长有最小值，即 长的最小值为3.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 思路分析 由三角形的内角和定理和角的和差求出 ，由角平分线的性质定理得 ，由垂线段最短，求出 长的最小值为3. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （第3题图） 3.【2024江苏无锡梁溪区期中，中】如图，在的边， 上 取点，，连接，平分，平分 ，若 ，的面积是6，的面积是9，则 的值 是____. 10 添加辅助线 过角平分线上一点向该角的两边作垂线是常见的添加辅助线的方法， 过点分别向和两边作垂线，连接 ，然后利用角平分 线的性质得出，再利用面积法即可求出 的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 【解析】 如图，过点作，，，垂足分别为,, ， 连接平分,平分，， 的面积是6，，, 的面积是9， 的面积的面积, ， . 故答案为10. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 4.【2024江苏扬州调研，较难】如图，已知四边形 的对角互补，且 ，，.过顶点作于，则 的值为___. 9 （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 【解析】 如图，过点作交的延长线于点 ，则 ， ，， 平分 ，.在和 中， ， 四边形 的对角互补，， .在 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 和中， ， .设，， ， ，，， ，故答案为9. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 过点作交的延长线于点，证明以及 ， 得到,,结合已知数据，求出和 的长度，即可解决问题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 5.［较难］如图，中，点在边上， ， 的平分线交 于点，过点作，交的延长线于，且 ，连接 ． （1）求 的度数. 【解】， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （2）求证：平分 . 【证明】过点作于，于 ，如图. ，， ， 平分，， ， （3）若，，，且，求 的面积． 【解】， ，即 ，解得，， 的面 积为 ． ，，，平分 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 刷素养 走向重高 6.核心素养 模型观念【2023江苏南京建邺区期中，较难】已知， 平分 ，平分, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 识图解题 当遇到角平分线问题时，除了常见的作垂线的方法，还有截长法. 遇到角平分线时的常 见辅助线方法 模型 图示 作垂线 过点作，，得 ， 且 _____________________________ 截长法 在中截取，得 _____________________________ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 思路分析 （2）在上截取，连接 ，根据全等三角形的判定与性质得到 ，等量代换即可证明结论； （3）延长交于，根据全等三角形的判定及性质得到 ， ，，设, ,根据 ，即可求得 的值，进而得到答案. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （1）如图（1），作,若,求点到与 的距离之和. 图（1） 图（1） 【解】如图（1），过点作于，作于 平分 ，，，同理可得， 点 ，，三点共线，的长即为点到与的距离之和， 点 到与的距离之和为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 （2）如图（2），过点的直线交射线于点，交射线于点 ，求证： . 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 图（2） 【证明】如图(2)，在AB上截取AK=AC，连接EK.在与 中， ， . ， ， . 在与中， ， . ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 （3）如图（3），过点的直线交射线的反向延长线于点，交射线 于点 ，，，，求 的面积. 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 图（3） 【解】如图（3），延长交于点 . ， . 又平分， . 在和中， ，，, ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 在与中， ，,，, 设 ， ， ，， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 $$