第1章 大招专题1 全等三角形的常见模型-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（苏科版）

数 学 八年级上册 SK 1 2 3 第1章 全等三角形 4 大招专 题1 全等三角形的常见模型 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招1 平移模型 1.［中］如图，点，，，在一条直线上， ， ，，求证： ． 【证明】因为， ， 所以，.又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ,所以 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 大招解读 平移模型 把沿着某一条直线平移，所得到的与 全等. 基本模型 常见模型 _________________________________________________________________ _____________________________________________________________ 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 母题学大招2 对称模型 2.【2022甘肃兰州中考，中】如图（1）是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图 如图（2）所示，，，， ，求 的大小. 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 【解】因为，所以 ，即 . 在与中，所以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 大招解读 对称模型 将两个三角形沿着某一条直线折叠后，直线两边的三角形能够完全重合，这两个三 角形称为对称型全等三角形，此类图形中要注意隐含条件，即公共边或公共角相等. 基本模型 常见模型 ___________________ ______________________________________________________________________ 刷有所得 如果几何图形可以沿一条直线折叠后完全重合，那么就有相等的线段、相等的角. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 母题学大招3 旋转模型 3.【2024江苏淮安调研，中】如图，已知，， ， 连接， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 大招解读 旋转模型 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个 三角形为旋转型全等三角形.识别旋转型全等三角形时，涉及对顶角相等、等角加 （减）公共角等条件. 基本模型 常见模型 _____________________ _________________________________________________________ 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 （1）求证： . 【证明】因为，所以 ，所以 . 又因为，，所以 . （2）若 ， ，求 的度数. 【解】因为，所以.因为 ， ，所 以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 子题练变式 4.［中］在平面内，正方形与正方形 如图放置， 连接，，两线段交于点 .求证： 思路分析 （2）根据全等三角形对应角相等可得 ,然后根 据三角形的内角和定理求出 ,再根据垂直的定义证明即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 （1） . 【证明】在正方形与正方形中,, , , 所以 , 即 . 在和中， 所以，所以 . （2） . 【解】 设与相交于点.因为,所以 .又因为 ,所以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 母题学大招4 一线三等角模型（K型） 5.［较难］如图，四边形中， ，点在 边上， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 大招解读 一线三等角模型（ 型） 三个相等的角在同一直线上，称为一线三等角模型（角度有锐角、钝角，若为直 角则可称为一线三垂直），利用三等角关系可找到三角形全等所需的角相等条件 （如 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 __________________________________ 锐角一线三等角 ______________________________________ 钝角一线三等角 _________________________________________________________________________ 直角一线三等角 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 技巧总结 （2）当证明线段的和差关系时，我们一般用到截长补短的方法，即将较长的线段 截成两条较短的线段或将较短的线段添补成较长线段. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 （1）求证： . 【证明】 ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 （2）若，求证： . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【证明】在上取一点使，过点作交 于点 ，连接 ，如图所示. ， ， .在和 中， ， ， ，， . 在和中， ，， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （3）在（2）的条件下，若与的面积的差为18，，求 的长． 【解】由（2）可知，， ， ，，， ， 即， ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 子题练变式 6. 【2023江苏扬州期中，中】【感知模型】“一线三等角”模型是平面几 何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （1）如图（1），为等边三角形，， ，则 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________. 图（1） 【解】因为是等边三角形，所以 .因为 ， ，所以 .又 因为，所以.故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 【模型应用】 图（2） （2）如图（2），正方形的顶点在直线上，分别过点， 作 于，于.若，，则 的长为 ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________. 因为四边形是正方形，所以， .因为 ，，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以，，所以 .故答案为 3. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【模型变式】 图（3） （3）如图（3）所示，在中， ， ， 于，于，，，求 的长. 【解】 因为，，所以 .因为 ， ，所以 . 又因为，所以，所以 ， ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 母题学大招5 半角模型 7.【2023浙江温州期末，中】【问题背景】如图（1），在四边形 中， ， ， ，，分别是， 上的点， 且 ，试探究图中线段，， 之间的数量关系. 图（1） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 大招解读 半角模型 半角模型中的重要元素：（1）半角，（2）邻边相等 .半角模型中经常通过旋转 将分散的条件集中起来，进而通过说明两个三角形全等进行解题.半角模型求解中 一般涉及两次全等证明，一次旋转型全等，一次对称型全等. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 ____________________________________________ 正方形含半角 ______________________________________________________ 等腰直角三角形含半角 ______________________________________________ 等边三角形含半角 ______________________________________________________ 等边三角形含半角 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 （1）延长到点，使，连接，即可证明 ，可得 ，再证明，可得 ，即可解题. （2）延长到点，使，连接，即可证明 ，可得 ，再证明，可得 ，即可解题. （3）延长到，使，连接，根据“”可证明 ， 故可得出，，再由 ， 可得出 ，故 ，由“ ”可判定 ，故，故 的周长为 ，由此可得出结论. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （1）小王同学探究此问题的方法如下：延长到点，使，连接 ， 先证明，再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ______________. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 【解】在和中， 所以 ， 所以， . 因为 ，所以 ，所以 .在和中，所以 ， 所以.因为，所以 .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 【探索延伸】 （2）如图（2），若在四边形中，， ，， 分别 是，上的点，且 ，上述结论是否仍然成立？请说明理由. 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 图（1） 【解】 结论仍然成立.理由：如图（1），延长 到 点，使，连接.因为 , ,所以.在和 中， 所以，所以 ， .因为 ，所以 ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 所以.在和中， 所以 ，所以.因为 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 【学以致用】 （3）如图（3），四边形是边长为5的正方形， ，直接写出 的周长. 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 图（2） 【解】 的周长是10.如图（2），延长到点 ，使 ，连接.因为四边形 是正方形，所以 ，.在与 中， 所以 ，所以 ，.因为 ， ，所以 ，所以 .在与 中， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 所以，所以 ， 所以 的周长为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 $$