第3章 一元一次不等式 综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（浙教版）
2024-09-12
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教辅
内容正文：
数 学
八年级上册 ZJ
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第3章 一元一次不等式
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全章综合训练
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中考
考点1 不等式的性质
1.【2023四川德阳中考】如果 ，那么下列运算正确的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】
A 若，则 ，故A不符合题意
B 若，则 ，故B不符合题意
C 若，则 ，故C不符合题意
D 若，则 ，故D符合题意
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关键点拨
根据不等式的基本性质判断即可，需注意不等号的方向是否发生改变.
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2.【2022江苏泰州中考】已知， ，
，用“ ”表示,, 的大小关系为__________．
【解析】 ,
，
， .
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快解
令，，则，，, .
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考点2 解一元一次不等式
3.【2023湖北宜昌中考】解不等式 ，下列在数轴上表示的解集正确的
是( )
D
A. B.
C. D.
【解析】，去分母得.去括号得 .移
项、合并同类项得 .在数轴上表示其解集为 ，故选D.
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4.【2023江苏盐城中考】解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【解】去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
原不等式的解集为 ．
在数轴上表示如下：
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考点3 解一元一次不等式组
5.【2023浙江宁波中考】不等式组 的解在数轴上表示正确的是( )
C
A. B. C. D.
【解析】解不等式组由①得；由②得， 原不等式组的
解集为 .在数轴上表示该不等式组的解集为 .故选C.
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6.【2023四川遂宁中考】若关于的不等式组的解集为 ，
则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
【解析】解不等式①得，解不等式②得 不等
式组的解集是， .故选D.
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关键点拨
要考虑到是否包含临界值，当时，两个不等式的解集相同，所以 也成立.
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7.【2023四川宜宾中考】若关于的不等式组 所有整数解的和为14，
则整数 的值为_______.
2或
【解析】 解不等式①得，解不等式②得 不
等式组有解， 所有整数解的和为14， 不等式组的整数解为5，
4，3，2或5，4，3，2，1，0，，或 ，
或为整数，或，故答案为2或 .
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考点4 一元一次不等式的实际应用
8.【2023湖南怀化中考】某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客
车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，
且恰好坐满．
（1）求原计划租用A种客车多少辆，这次研学去了多少人.
【解】设原计划租用A种客车辆，则这次研学去了 人.根据题意得
，解得， ．
答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1 200人.
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（2）若该校计划租用A，B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有
座位，则有哪几种租车方案？
【解】 设租用B种客车辆，则租用A种客车 辆.
根据题意得解得 .
又为正整数，可以为5，6，7， 该学校共有3种租车方案.方案1：租用5辆
B种客车，20辆A种客车；方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；方案3：租用7
辆B种客车，18辆A种客车.
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（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，
应该怎样租车才最合算？
【解】 选择方案1的总租金为 （元）；选择方案2的总
租金为 （元）；选择方案3的总租金为
（元）．
，
租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算．
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章测
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.【2024浙江温州期中】以下是一元一次不等式的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】不是一元一次不等式，故A选项不符合题意； 是一元一次
不等式，故B选项符合题意； 不是一元一次不等式，故C选项不符合题意；
不是一元一次不等式，故D选项不符合题意．故选B.
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2.【2024浙江杭州西湖区质检】已知 ，则下列各式中一定成立的是( )
C
A. B. C. D.
【解析】，，故A不符合题意；当时， ，故B不
符合题意；，，故C符合题意；， ，
，故D不符合题意．故选C.
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3.【2023浙江台州中考】不等式 的解集在数轴上表示为( )
B
A. B. C. D.
【解析】，解得 ，在数轴上表示为 ．故选B.
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4.若关于的一元一次不等式组的解集是，则 的取值范
围是( )
A
A. B. C. D.
【解析】解不等式，得 关于 的一元一次不等式组
的解集为， ．故选A.
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关键点拨
确定不等式组的解集时遵循“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小
找不到”的原则，据此即可确定本题中 的取值范围.
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5.若关于的不等式组 恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整
数 的值之和是( )
C
A.3 B.4 C.6 D.1
【解析】解不等式组得，由关于的不等式组 恰好只有
2个整数解，得，解得，满足条件的整数 的值为0，1，
2,3，所以所有满足条件的整数的值之和是 .故选C．
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6.【2024浙江温州瓯海区期中】若正整数，，满足 ，则
( )
A
A.76 B.78 C.82 D.93
【解析】，，, ，
，， ，
，， 均为正整数，
，， 选项中符合此条件
的只有A选项.故选A.
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7.【2024河北保定期末】已知实数，，满足 ，则下列结论不正确
的是( )
D
A. B.
C.若，则 D.若，则
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【解析】，，即 ，故选项A
正确，不符合题意.， ，即
，，故选项B正确，不符合题意.若 ，
，，即， ，
，， ，整理得
，，故选项C正确，不符合题意. ，
，即，
， ，故选项D错
误，符合题意.故选D.
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8. 【2024山东德州质检】数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，
通常用表示不大于的最大整数，如：，， .给出如
下结论：；②若，则的取值范围是 ；③当
时，的值为1或2； 是方程
的唯一一个解．其中正确的结论有( )
B
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
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【解析】表示不大于的最大整数， 当时， ，故
①不一定正确.若，则的取值范围是 ，故②是正确的.当
时，；当 时，
；当时， ，故
③是正确的.由题意，得，由 ，得
，则， ，
．当时，方程变形为 ，解
得；当时，方程变形为 ，解得
,与都是方程 的解,故④是错误的．故选B.
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二、填空题（每小题4分，共20分）
9.【2023广东中考】某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利
润率不能少于 ，则最多可打_____折.
8.8
【解析】 设该商品可打折. 利润率不能少于， ，解
得 ，即最多可打8.8折.故答案为8.8.
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10.【2024江苏靖江期末】已知是关于的不等式 的解，且
不是这个不等式的解，则数 的取值范围是__________．
【解析】 是不等式的解， ，解得
不是这个不等式的解，，解得 ，
．
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11.【2024陕西西安碑林区质检】若不等式与 的解集相同，
则 ___．
2
【解析】 由，得，由，得 .因为不等
式与的解集相同，所以，所以 ，且
，解得 ．故答案为2．
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12.【2024重庆万州区期末】若整数使得关于的不等式组 有且仅有
6个整数解，且使关于的一元一次方程的解满足 ，则所有满
足条件的整数 的值之和为____.
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【解析】 解不等式①，得，解不等式②，得 ，不等
式组有解， 不等式组的解集是 不等式组有且仅有6个整数解，
，解得.解方程得 ，
，解得，为整数， 可取16，17，
，故答案为33．
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关键点拨
先求出不等式组的解集，根据已知条件求出的一个范围，再求出关于 的方程的
解，根据求出的另一个范围，从而求出 的整数解，最后求出答案即可．
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13. 【2023江苏苏州高新区期末】我们定义：如果两个一元一次不等式有公
共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式
的“云不等式”.若关于的不等式不是 的“云不等
式”，则 的取值范围是________.
【解析】 解不等式可得，解不等式 得
关于的不等式不是 的“云不等式”，
，解得.故答案为 .
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关键点拨
理解“云不等式”的定义，根据题意得到不等式与 没
有公共解，进而解关于 的不等式是解题的关键.
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三、解答题（共56分）
14.（1）【2023陕西中考】解不等式： .
【解】，去分母，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
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（2）【2023江苏扬州中考】解不等式组 并把它的解集在数轴
上表示出来.
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【解】
解不等式①得，解不等式②得 ，
该不等式组的解集为 ，
该不等式组的解集在数轴上表示为
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15.规定，表示，中较小的数，均为实数，且 .例如：
，，,}= ，据此解答下列问题：
（1） ____；
【解】根据题中的新定义得,,故答案为 .
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42
（2）若，求 的取值范围；
【解】 由题意得，解得，故的取值范围是 .
（3）若，，求 的值．
【解】 若，解得，此时 ，满足题意；若
，解得，此时 ，不符合题意.综上，
．
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16.【2024湖北武汉质检】为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱
学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 575万元．已知改造一所A类学校和两所B
类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．
（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？
【解】设改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别为万元和 万元．依题
意得解得
答：改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别为60万元和85万元.
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（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？
【解】 设该县A、B两类学校分别为所和
所,则, .
类学校不超过5所，
， .
答：B类学校至少有15所.
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（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和
地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元，地方财政投
入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别
为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案.
【解】 设今年改造A类学校所，则改造B类学校 所.
依题意得
解得取整数， 的所有可能取值为1，2，3，4.答：共有4种改造方案．
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17. 【2024江苏南京秦淮区调研】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下
列问题：
例：解一元二次不等式 ．
解：可化为 ．依据“两数相乘，同号得正”，可得
不等式组____．解不等式组①，得 ．解不等式组②，得___
_．所以一元二次不等式 的解集为____．
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（1）补全例题的解题过程；
【解】可化为 ．依据“两数相乘，同号得正”，可
得不等式组解不等式组①，得 ．解不等式组②，
得.所以一元二次不等式的解集为或 .故答案为
，或 ．
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（2）不等式 的解集为_______________；
或
【解析】 依据“两数相除，同号得正”，可得不等式组
解不等式组①，得．解不等式组②，得 .
所以分式不等式的解集为或.故答案为或 ．
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（3）解不等式 ．
【解】 可化为 ．依据“两数相乘，异号得负”，可得
不等式组解不等式组①，得 ．解不等式组
②，无解．所以不等式的解集为 ．
关键点拨
根据有理数乘法法则列出不等式组，分别求出每个不等式组的解集，继而可得答案．
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