第1章 大招专题2 全等三角形的常见模型-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（浙教版）

数 学 八年级上册 ZJ 1 2 3 第1章 三角形的初步知识 4 大招专 题2 全等三角形的常见模型 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招7 平移模型 1.［中］如图，点，，，在一条直线上， ， ，，试说明 ． 【解】因为，，所以， . 又因为，所以，所以 ，所以 ,所以 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 大招解读 平移模型 把沿着某一条直线平移，所得到的与 全等. 基本模型 常见模型 _________________________________________________________________ _____________________________________________________________ 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 母题学大招8 对称模型 2.【2022甘肃兰州中考，中】如图（1）是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图 如图（2）所示，，，， ，求 的大小. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 【解】因为，所以 ，即 . 在与中， 所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 大招解读 对称模型 将两个三角形沿着某一条直线折叠后，直线两边的三角形能够完全重合，这两个三 角形称为对称型全等三角形，此类图形中要注意隐含条件，即公共边或公共角相等. 基本模型 常见模型 ___________________ ______________________________________________________________________ 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 母题学大招9 “手拉手”模型 3.【2024江苏淮安调研】如图，已知， ， ，连结， . （1）试说明： . 【解】，， . 又，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 （2）若 ， ，求 的度数. 【解】 ， . ， ， ， . 大招解读 “手拉手”模型 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个 三角形为旋转型全等三角形.识别旋转型全等三角形时，涉及对顶角相等、等角加 （减）公共角相等等条件. 基本模型 常见模型 _______________ _________________________________________________________ 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 子题练变式 4.［中］在平面内，正方形与正方形如图放置，连结， ，两线 交于点 .试说明： （1） . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 【解】在正方形与正方形中,, , , , 即 . 在和中， ， . 思路分析根据正方形的性质可得，， ，然 后得到，再利用“边角边”证明和 全等，根据全等三 角形对应边相等即可证明结论； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 （2） . 【解】 设与相交于点, .又 , ， . 思路分析根据全等三角形对应角相等可得 ， 然后根据三角形的内角和定理求出 ， 再根据垂直的定义即可证明结论． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 母题学大招10 一线三等角模型（ 型） 5.［较难］如图（1），在中， ，，是过点 的一 条直线，且，在的异侧，于，于 ． 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 （1）求证： ； 【证明】于，于 ，; ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 关键点拨根据已知条件易证得 ，再根据全等三角形的判定可证明 ，根据各线段的关系即可得结论． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 （2）若直线绕点旋转到如图（2）所示的位置 ，其余条件不变，则 与， 的关系如何？请予以证明. 关键点拨根据全等三角形的判定可证明 ，根据各线段的关系即可 得结论． 【解】 ．证明如下： 于，于， ， ， ．在和中， ，， ， ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 大招解读 一线三等角模型（ 型） 三个相等的角在同一直线上，称为一线三等角模型（若相等的角为直角则可称为 一线三垂直模型），利用三等角关系可找到三角形全等所需的角相等条件 （如 ）. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 __________________________________ 锐角一线三等角 ______________________________________ 钝角一线三等角 ____________________________________________________________ 一线三垂直 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 子题练变式 6. 【2023江苏扬州期中，中】【感知模型】“一线三等角”模型是平面几 何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 （1）如图（1），为等边三角形，， ，则 _______. 【解】 是等边三角形， ， ， .又，.故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【模型应用】 （2）如图（2），正方形的顶点在直线上，分别过点，作于 ， 于.若，，则 的长为___. 3 【解析】 四边形是正方形，， ， ， ， ， ， ，，， .故答案为3. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【模型变式】 （3）如图（3）所示，在中， ，，于 ， 于，，，求 的长. 【解】 ， ， ， ， .又，， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 母题学大招11 半角模型 7.【2023浙江温州期末，中】【问题背景】如图（1），在四边形 中， ， ， ，，分别是， 上的点， 且 ，试探究图中线段，， 之间的数量关系. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 （1）小王同学探究此问题的方法如下：延长到点，使，连结 ， 先说明，再说明 ，可得出结论，他的结论应是 ______________. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解】在和中， ，，. ， ， .在和 中， ， ， .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析延长到点，使，连结，即可说明 ， 可得，再说明 ， 可得 ，即可解题. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【探索延伸】 （2）如图（2），若在四边形中，， ，， 分别 是，上的点，且 ，上述结论是否仍然成立？请说明理由. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 【解】 结论仍然成立.理由：如图（1），延长 到 点，使，连结 . , , .在 和中， ， ， ， ， .在和 中， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析延长到点，使，连结，即可说明 ， 可得，再说明 ， 可得 ，即可解题. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 【学以致用】 （3）如图（3），四边形是边长为5的正方形， ，直接写出 的周长. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 【解】 的周长是10.如图（2），延长到点 ，使 ，连结 四边形 是正方形， ，.在与 中， ， ， ， ， ， .在与 中， ，， 的 周长为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 思路分析延长到，使，连结 ， 根据“”可判定，故可得出 ， ，再由 ， 可得出 ， 故 ， 由“”可判定 ， 故，故的周长为 ， 由此可得出结论. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 大招解读半角模型 半角模型中的重要元素：（1）半角;（2）邻边相等 .半角模型中经常通过旋转将 分散的条件集中起来，进而通过证明两三角形全等进行解题.半角模型求解中一般 涉及两次全等证明，一次旋转型全等，一次对称型全等. ____________________________________________ 正方形含半角 ______________________________________________________ 等腰直角三角形含半角 ______________________________________________________ 等边三角形含半角 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 $$