2.3.1 等腰三角形的性质-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（湘教版）

数 学 八年级上册 XJ 1 2 3 第2章 三角形 4 2.3 等腰三角形 课时1 等腰三角形的性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 等腰三角形“ 等边对等角”性质的应用 （第1题图） 1.【2024湖南邵阳质检】如图，在中，，点在 上，且，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】设， ， ， ， .在 中， ，解得， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 （第2题图） 2.【2023山东泰安期中】如图，，点在直线上，点 在直 线上，， ， ,则 的度数是( ) A A. B. C. D. 【解析】设交直线于.因为， ，所以 .因为， ，所以 ，所以 .因为 ，所以 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 3.【2024湖南长沙雨花区期中】如图，中，点，在直线 上， , ，若点在直线上运动，当 成为等腰三角形时， 的度数是_______________________. （第3题图） 或 或 或 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 【解析】 如图，在 中， .①当 时，点 在，处， ， ；②当时，点在 处， ；③当时，点在 处， .综上所述，满足条件的的度数为 或 或 或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 关键点拨 分三种情形：，， ，分别求解即可解决问题. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 知识点2 等腰三角形“三线合一”性质的应用 （第4题图） 4.如图，在中，，为 边上的中 线， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】，是 边上的中线， ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 5.【2024湖南长沙质检】如图，为了让电线杆垂直于地面，工 程人员的操作方法是从电线杆上一点 往地面拉两条长度相 等的固定绳和，当固定点，到处距离相等，点 ， ，在同一直线上，且,,,在同一平面内时，电线杆 就 等腰三角形“三线合一”的性质 【解析】 ，，， 工程人员这种操作方法的依据 是等腰三角形“三线合一”的性质. 垂直于 ，工程人员这种操作方法的依据是_______________________________. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 6.如图，，，点，，，在同一直线上，试判断与 的 大小关系，并说明理由. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 【解】与相等.理由如下：如图，过点作于点 . 点，，，在同一直线上（已知），.又， （已知），， （等腰三角形的“三线合一”）， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 知识点3 等边三角形性质的应用 7.【2023贵州黔西南州期中】如图，已知 是等边三角 形，点，，，在同一直线上，且， ， 则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】因为是等边三角形，所以 .因为 ，所以 .因为 ，所以 .因为，所以 .因为 ，所以 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 8.如图，在中，， ，分别以 ，为边作两个等边和等边 . （1）求 的度数； 【解】， ， 为 等边三角形， ， . （2）求证： ． 【证明】和为等边三角形，， ， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 刷易错 易错点 忽略等腰三角形的腰和底的分类及三边关系而致错 9.已知等腰三角形的一条边长是,另一条边长是 ，则它的周长为____ . 35 【解析】 当腰长为，底边长为时， ,可以构成三 角形，此时周长为；当腰长为，底边长为 时， ，无法构成三角形.故该等腰三角形的周长为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 易错警示 当等腰三角形的腰和底不明确时，要进行分类讨论,并结合三角形的三边关系判断， 避免多解或漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 提升 1.【2023广东佛山期中，中】如图，在中， 为 钝角，,,点从点 出发以 的速度向点运动，点同时从点出发以 的速度向点 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动 D A. B. C. D. 点也随之停止运动.当 是等腰三角形时，运动的时间是( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 【解析】设运动的时间为.在中，为钝角,, , 点从点B出发以的速度向点A运动，点同时从点A出发以 的速度向 点C运动，所以,.当是等腰三角形时， ，即 ,解得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 2. 【2024湖南长沙期中，中】已知，，分别是等腰 三边的长，且 满足，若，，均为正整数，则这样的等腰 存在( ) B A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【解析】， ， ，，,, 均为正整数， 或或当 时，三边长分别为1，6， 6；当时，三边长分别为2，3，3；当 时，三边长分别为3， 2，2或3，3，1， 一共有4个，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 3.［中］如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，, 分别与 两腰垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则 的值为___. 5 （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 【解析】 连接,如图. , , , .故答案为5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 （第4题图） 4.【2024湖南益阳质检，中】如图，在第1个 中， ，，在边上任取一点，延长 到 ，使，得到第2个；在边 上取一 点，延长到，使 ，得到第3个 ， ，按此作法继续下去，则第2 024个三角形的 底角度数是_________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 【解析】 在中， ， ， ，是 的外角， ，同理可得 ， ， ， 第2 024个三角形的底角度数是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 关键点拨 本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练 掌握三角形外角的性质以及从特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 5.【2023上海嘉定区校级期中，中】将两个等边三角形（每个内角都等于 ）如 图（1）叠放在一起，现将绕点顺时针旋转，旋转角为 （旋转角 ），请探究下列问题： 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 （1）如图（2），当旋转角满足 时，请写出与 的关系， 并说明理由； 【解】 ，理由如下： 如题图（2）,和是等边三角形， ， . （2）如图（3），当旋转角满足 时，请写出与 的关系， 并说明理由； 【解】 ，理由如下：如题图（3）, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （3）当 时,请直接写出旋转角的度数. 【解】 旋转角的度数为 或 .如图（1），当时， ； 如图（2），当时， .综上，当 时,旋转角 的度数为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 刷素养 走向重高 6.核心素养 推理能力【2024湖南常德期中，较难】如图， 中， ，点在所在的直线上，点在射线上，且 ，连接 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （1）如图（1），若 ， ，求 的度数； 【解】 ， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）如图（2），若 ， ，求 的度数； 【解】 ， ， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 （3）当点在直线上（不与点，重合）运动时，试探究与 的数 量关系，并说明理由. 【解】 ，理由如下：设 ， ， ， .如图（1），当点在点 的左侧 时， ，得， ；如 图（2），当点在线段上时， ， 得 ， ； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 如图（3），当点在点右侧时， ， 得， . 综上所述，与的数量关系是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 $$