1.5.1 分式方程及其解法-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（湘教版）

数 学 八年级上册 XJ 1 2 3 第1章 分式 4 1.5 可化为一元一次方程的分 式方程 课时1 分式方程及其解法 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 分式方程的概念 1.有下列方程：；； ； ．属于分式方程的有( ) B A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 【解析】②③中的分母含有未知数，属于分式方程. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 知识点2 解分式方程 2.【2024河北石家庄期中】已知关于的分式方程 ，对于该方程的解，甲、 乙两人有以下说法：甲：若方程的解是负数，则；乙：当 时，方程的 解是正数.关于甲、乙两人的说法，正确的是( ) B A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 【解析】，去分母得，，解得 ，要使分式方程有解， 则，所以，所以，所以当时， 且，当时， ，所以甲说法错误，乙说法正确.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 3.【2022湖南常德中考】方程 的解为______. 思路分析 解分式方程的一般步骤 【解析】 方程两边同乘，得，解得 .检验： 当时，，所以 是原方程的解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 4.解下列方程: 归纳总结 解分式方程的步骤可概括为一去（去分母），二解（解整式方程），三检验 （检验求出的根是否为增根），四写（写出原方程的根）. （1） ． 【解】方程两边同乘最简公分母，得 .去括号，得 .解得.检验：当时，,所以 是原方 程的解． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） ． 【解】 方程两边同乘最简公分母,得 . 去括号,得.移项，得 .合并同 类项，得，解得.检验：当时， ，所以 是原方程的解． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 知识点3 分式方程无解及分式方程的增根 5.若分式方程 有增根，则这个增根的值为( ) C A.1 B.3 C. D.3 或 【解析】由题意得，解得 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 6.【2023黑龙江牡丹江调研】若关于的方程无解，则 的值为______. 1或3 【解析】 方程两边同乘,得，所以 .当 ，即时，原方程无解，符合题意.当时， ，因为 方程无解，所以，所以，所以，所以 .综上，当 或3时，原方程无解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 关键点拨 分式方程无解包含两种情况：一种是解为增根，一种是变形得到的整式方程无解， 根据两种情况分析得到关于 的方程即可求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 知识点4 根据分式方程解的情况求字母的值 7.已知关于的分式方程的解是，则 的值为( ) B A.3 B. C. D.1 【解析】把代入分式方程得,解得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 8.【2024重庆沙坪坝区期末】若关于的分式方程 的解是正整数，则 所有符合条件的整数 的和为____. 12 【解析】 ，去分母，得 ，移项、合并同类项，得 ，系数化为1，得.因为分式方程 的解是正整数， 且，所以或2或3或6且，所以 或4或5，所以符合条 件的所有整数的和为 ，故答案为12. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 刷易错 易错点 ①去分母时，常数项漏乘最简公分母而出错；②解分 式方程忘记检验 9.【2024湖南怀化质检】小丽解分式方程 时，出现了错误，她的解 题过程如下： 解：去分母得 第一步 解得 .……第二步 所以原分式方程的解是 .……第三步 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 易错警示 在解分式方程的过程中，去分母时，常数项不要漏乘最简公分母以及不要忘记检验. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 （1）小丽的解答过程从第____步开始出错，这一步应为_____________________， 这一步的依据是_____________. 一 等式的性质. 【解析】 小丽的解答过程从第一步开始出错，这一步应为 ， 这一步的依据是等式的性质，故答案为一， ，等式的性质. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 （2）小丽解答过程缺少的步骤是______. 检验 【解析】 小丽解答过程缺少的步骤是检验，故答案为检验. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 （3）请写出正确的解题过程. 【解】，去分母得，解得 ，经检验， 是原方程的解，所以原分式方程的解是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 提升 1.［中］若关于的分式方程无解,则 的值为( ) C A.0 B.2 C.0或2 D.无法确定 【解析】方程两边同时乘，得,即 . 因为关于的分式方程无解,所以或,即 或 ,所以或,解得 或2.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 2.【2023湖南常德期中，较难】对于两个不相等的实数， ，我们规定符号 表示，中较小的值，如 .按照这个规定，方程 的解为( ) D A.或2 B.2 C. D.无解 【解析】因为,所以，所以，所以 ， 解得.经检验，是方程的根.因为，所以 不符合题意， 故原方程无解.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 3.【2024安徽阜阳期末，中】若关于的分式方程 的解为整数，且 是一个完全平方式，则满足条件的整数 的值为___. 4 【解析】 因为是一个完全平方式，所以 ，所以 或.因为分式方程的解是，是整数，所以 是2的倍数.又因为 是分式方程的增根，所以，所以 ，故答案为4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 4.【2023湖南永州冷水滩区期中，中】已知关于 的分式方程 . 【解】方程两边同乘，得 ，整理,得 . 刷有所得 已知增根求字母的值可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代 入整式方程即可求得相关字母的值. （1）若方程的增根为，求 的值; 【解】 因为是分式方程的增根，所以，解得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 （2）若方程有增根，求 的值; 【解】 因为原分式方程有增根，所以，解得或 .当 时，；当时，.故的值为1.5或 . （3）若方程无解，求 的值. 【解】 当时，该方程无解，此时；当 时，要使原方 程无解，由（2）得或 ， 综上，的值为或 或1.5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 5.【2023江苏南京鼓楼区期中，较难】观察下列方程以及解的特征： ①的解为, ； ②的解为, ； ③的解为, ； …… （1）猜想关于的方程 的解，并利用“方程解的概念”进行验证； 【解】关于的方程的解为，.验证：当 时，左 边右边，所以是该分式方程的解；当 时，左边 右边，所以 是该分式方程的解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （2）利用（1）的结论解分式方程： ① ； 【解】 因为，所以或，所以或 . ② . 【解】 令，则，所以原方程变形为 ，所以 ，所以，即，则或，所以 或 ，即或，解得或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 刷素养 走向重高 6.核心素养 运算能力［较难］观察下列各式,回答问题. ; ; ； …… （1）填空：____ ______. （2）请用含有（ 为正整数）的等式表示上述式子的一般规律： _________________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （3）请用（2）中的规律解方程 . 【解】由题意得,即 ,解 得.经检验, 是原方程的解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 $$