第十三章 专题4 等腰三角形中的分类讨论-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（人教版）

数 学 八年级上册 RJ 1 2 3 第十三章 轴对称 4 专题4 等腰三角形中的分类讨论 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 遇边或角需讨论 1.【2024山东济南期末,中】等腰三角形的周长为,其中一边长为 ,则该 等腰三角形的腰长为( ) C A. B. C.或 D. 【解析】分情况考虑：当是腰长时，则底边长是 ，长为 ,,的线段能组成三角形.当 是底边长时，腰长是 ，长为,, 的线段能组成三角形.故选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2.【2024浙江绍兴期中,中】若一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的一半， 则此三角形底角度数为__________. 或 【解析】 设这个三角形的底角的度数为 .由题意分以下两种情况：①这个三角形 的三个角的度数分别为,,，由三角形的内角和定理得 ，解得 ；②这个三角形的三个角的度数分别为,, ，由三角形的内角和定理 得 ，解得 ，故答案为 或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 思路分析 设这个三角形的底角的度数为 ，分两种情况：①底角是顶角的2倍；②顶角是底 角的2倍,再根据三角形的内角和定理求解即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 类型2 遇中线、高或垂直平分线需讨论 3.［中］等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则等腰三角形底角的度 数为( ) C A. B. C. 或 D. 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 【解析】由题意得在等腰中，，为腰上的高， . 当在内部时，如图（1）.， ， ， .当在 外部时，如图（2）. ， ， ， ，而 ， .综上所述，这个等腰三角形 底角的度数为 或 ．故选C． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 关键点拨 注意分两种情况讨论：①当在内部时；②当在 外部时． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 4.【2024湖北武汉武昌区校级期中，较难】已知等腰三角形中， ， 两腰的垂直平分线交于点， ，则等腰三角形的顶角为( ) C A. B. C. 或 D. 或 【解析】分两种情况：当点在内部时，如图（1），连接，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 因为和的垂直平分线交于点，所以，所以 ， ，.因为 ，所以 .因为 ，所 以 ，所以 ，所以 ，所以 . 当点在外部时，如图（2），连接，，.因为和 的垂直平分 线交于点，所以，所以， .因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 .综上所述，等腰三角形的顶角为 或 .故选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 5.［中］已知等腰三角形的底边长为 ，一腰上的中线把三角形的周长分为 两部分，其中一部分比另一部分长，那么这个三角形的腰长为____ . 15 【解析】 如图，设等腰的腰长是 ．当 时，即 ，解 得 .长为15，15，10的线段能够组成三角形.当 时，即 ，解 得.长为5，5，10的线段不能组成三角形．故这个三角形的腰长为． 故答案为15． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 类型3 遇动点、动线段需讨论 6.［较难］如图，直线，相交于点， ，点是直线 上的一个定点， 点在直线上运动，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则 的 度数是______________________. 或 或 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 【解析】 如图，分三种情况讨论：①当时， ； ②当时， ；③当 时， ；当 时， .综上所述，的度数是 或 或 或 .故答案为 或 或 或 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 关键点拨 根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当 时， ③当时，从而求出 的度数. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 7.［较难］如图，在中，， ，边 绕 点顺时针旋转得到线段，连接, .若 为等腰三角形，则 所有可能的取值是_______________. 130或100或160 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 【解析】 由旋转的性质得为等腰三角形， 分三种情况： ①当时，易得 , ，；②当 时，易 得, ，；③当 时，易 得, ， ，.综上所述, 所有可能的取值 为130或100或160.故答案为130或100或160． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 类型4 构造等腰三角形时需讨论 8.【2024湖北武汉期中】在中， ，的垂直平分线交 于点 ，交于点，的垂直平分线交于点，交于点.当 是等腰三角 形时，与 不可能有的数量关系是( ) C A. B. C. D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 【解析】的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点 ， ,，,， , 是等腰三角形，当 时， ， ， ，故A正确，C 错误；②当时，， ， ，故B正确；③当时，， ， 故D正确.故选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 9.［中］如图，有一个三角形纸片，为最长边, ，点是 边上 一点，沿方向将三角形纸片剪开后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则 的 度数可以是________________. 或 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 【解析】 由题意知与均为等腰三角形，对于 可能有 ，此时 ， ， ; ，此时 ， ， ; ，此时 ， ， . 综上所述，的度数可以为 或 或 ．故答案为 或 或 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 思路分析 分,,三种情况讨论，先求出,再求出 ,然后 根据等腰三角形的性质列式计算即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 10.［较难］如图，在边长为4的正方形中，请画出以 为一个顶点，另外两 个顶点在正方形 的边上，且一边长为3的所有大小不同的等腰三角形. （要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 【解】满足条件的所有图形如图（1）~图（5）,共5个． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 $$