13.3.2.2 含30°角的直角三角形的性质-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（人教版）

数 学 八年级上册 RJ 1 2 3 第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 4 13.3.2 等边三角形 课时2 含30°角的直角三角形的性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 含30°角的直角三角形的性质 1.【2024河南信阳期中】如图，在中， ， ， 的垂直 平分线交于点，交于点.若，则 ( ) C A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 【解析】连接 ，如图. 是的垂直平分线，， .又 ， ， .在直 角三角形中， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 （第2题图） 2.如图，中， ，， ，点是 边上的动点，则 的长可能是( ) A A.5 B.6.2 C.7.8 D.8 【解析】根据垂线段最短，可知的长不能小于 中， ，， ，， 的长不能大 于6.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识点2 含30°角的直角三角形的性质的应用 （第3题图） 3.如图，在中，， 于点 ，，则 等于( ) A A.3 B.4 C.6 D.9 【解析】 在中， ， ， ， ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 4.【2024北京西城区期末】如图，中， ， ， 为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点， ， 则线段 长的最大值是( ) C A. B. C. D.4 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 【解析】过点作于，连接 ，如图. 垂直平分,.设 ， ， ，，则，， ，解得 ，长的最小值为，故长的最大值为 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 （第5题图） 5.如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方航行，在 处测 得灯塔在北偏西 方向上，轮船航行2小时后到达处，在 处 测得灯塔在北偏西 方向上，当轮船到达灯塔的正东方向 处 时，轮船航程 是________. 60海里 【解析】 由题意得 , , , , , , , ,即轮船航程 是60海里.故答案为60海里. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 （第6题图） 6.【2023江苏南京质检】如图，已知是 的中线， ，于点，，交的延长线于点 .若 ，则 ____. 12 【解析】 是的中线， ， ， .在和 中， ， ， ， ， ，， ，故答案为12. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 关键点拨 熟练掌握含 角的直角三角形的性质是解题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 7.【2023辽宁营口期末】如图，已知中， ， ，以为圆心，任意长为半径画弧交边，于点 和，再分别以，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧 交于点，连接并延长交于点 . （1）求证：点在线段 的垂直平分线上； 【证明】 ， ， .根据作图方法可知， 是 的平分线， ， ， ， 点在线段 的垂直平分线上. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 （2）若的面积为3，求 的面积. 【解】在中， ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 8.【2024江西南昌期中】如图，在中， ， ， ，点从点出发以的速度向点运动，同时点 从点 出发以的速度向点运动，运动的时间为 ，解决以下问题： （1）当为何值时， 为等边三角形? 【解】根据题意可得，， , ， ，, 为 等边三角形，，，， 当的值为2时， 为等 边三角形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 （2）当为何值时， 为直角三角形? 【解】 ①当为直角时， ，， ， ；②当为直角时， ，， ， , 当的值为或3时， 为直角三角形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 提升 1.［中］如图，是等边三角形，为的中点， ， 垂足为，， ，下列结论错误的是( ) C A. B. C.的周长为10 D. 的周长为9 【解析】是等边三角形, , , ,,,故选项A,B正确. 为 的中点，,, 的周长为12,故选项C 错误., , , 是等边三角 形,的周长为 ,故选项D正确.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 （第2题图） 2.【2023浙江温州质检，中】如图所示，在中， ， ，是内两点，平分， .若 ，，则 的长为( ) D A.2 B.4 C.6 D.8 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 【解析】延长交于，延长交于 ，如图. ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 3. 【2024辽宁丹东期末,中】如图，在中， ， ， 以顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点 ， 为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点 ， 点为边上的动点，连接,若，则 的取值范围是( ) C （第3题图） A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 【解析】由题意知平分， ， ， ， ， ， ， ， ， .，，.当与A或B重合时， 的长最大， ，的取值范围是 .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 关键点拨 当时，的长最小，当与或重合时， 的长最大. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 （第4题图） 4.【2023四川遂宁质检，中】如图，正六边形 的顶点 ，分别在正方形的边，上.若正方形 的边长 为6，则正六边形 的边长为___. 4 【解析】 设，则， 六边形 是正六边形， ， ， ， ，，解得， ，即正六边 形 的边长为4，故答案为4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 （第5题图） 5.［较难］如图， ，点在射线上，且 ， 点在射线上.若是锐角三角形，则 的取值范围是_____ _______. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 【解析】 如图，过点作，垂足为，，交 于点 . 在中，， ， , .在 中，， ， ,.当点在和 之间时，是锐角三角形，的取值范围是 .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 思路分析 当点在射线上运动时， 的形状可能是钝角三角形、直角三角形或锐角 三角形．画出相应的图形，根据三角形的变化，构造含 角的直角三角形，即 可得到 的取值范围． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 （第6题图） 6.【2023陕西西安调研，较难】如图，在 中， ， ，.若，是 边上的两个动点， 以为边的等边的顶点在 内部或边上，则等边 的周长的最大值为_____. 【解析】 如图，当点与重合时， 的边长最长，周长也最长. ， ， ， 在 中， ， 等边周长的最大值为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 7.［较难］如图，在等边中，，分别是， 边上的点，且 ，与相交于点，,则 _____. （第7题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 【解析】 如图，过点作于点 . 是等边三角形，， .又 ，, , 在 中， ,.在 和 中, ，， , . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 8.【2024黑龙江哈尔滨期中,较难】如图所示，等边中，于，点 是边上的任意一点（点可以与点重合，但不与点重合），过点 作 ，垂足为，过作，垂足为 . 备用图 关键点拨 分在上和在 上两种情况讨论是解题关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 （1）求证： ； 【证明】是等边三角形，， ， ， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 （2）若，过作，垂足为，，求 的长. 图（1） 【解】设.分两种情况:①如图（1）, ， ， ,， 由（1）得 ， ， ， ,，， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 35 图（2） ②如图（2），，即 ，解 得, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 36 $$