12.3 角的平分线的性质-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（人教版）

数 学 八年级上册 RJ 1 2 3 第十二章 全等三角形 4 12.3 角的平分线的性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 角平分线的作法 1.【2023四川资阳期中】如图所示，在 中，按下列步骤作图： 第一步：在，上分别截取，，使 ； 第二步：分别以点和点为圆心、适当长（大于 的一半）为半径作圆弧，两弧 交于点 ； 第三步：作射线交于点 ； 第四步：过点作于点 . 则下列结论一定成立的是( ) 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 A. B. C. D. 【解析】由作法可知，平分，即 ，故选C. √ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.分别画出已知钝角和平角的平分线. 【解】如图所示，射线 即为角平分线. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 知识点2 角平分线的性质 3.【2024广东广州期中】点在的平分线上，点到边的距离等于6，点 是 边上的任意一点，则下列选项正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】如图,平分，,，过点 作 于，则 点是 边上的任意一点， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.如图，在中， ，，平分交于点 ， 于点，若，则 的周长是( ) A A. B. C. D. 【解析】平分交于点D，， ， ，， , , 的周长为 . 故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 5.如图，已知的周长是34，，分别平分 和 ，于，且，则 的面积是( ) D A.17 B.34 C.38 D.68 【解析】如图，过点作于，于 ，连接 ，分别平分和，， ， ，即，的面积为 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 归纳总结 已知三角形的角平分线的交点到一边的距离及三角形的周长求面积时，一般利用 角平分线的性质得三角形的角平分线的交点到三角形三边的距离相等，利用三角 形的面积公式列式求解.本题中， 为三角形三条内角平分线的交点，一般结论为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 6.【2023广西柳州调研】在平面直角坐标系的轴，轴上分别截取 ，再 分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，若点 的坐标为 ，则 的值是_______. 2或 【解析】 ，分别以点，为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交 于点， 点在的平分线上， 点到轴和轴的距离相等，即 , ，故答案为2或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 知识点3 角平分线的判定 （第7题图） 7.【2024湖北武汉期中】如图，在中， ， ，点在的延长线上，的平分线与 的 平分线相交于点，连接，则 度数为( ) C A. B. C. D. 【解析】如图,过点D分别作，， ，垂足 分别是点,,平分，， ， ，同理可得， ， ，平分 ， ， ， ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 （第8题图） 8.如图，平面内三条直线,,两两相交，在平面内找出一点 ， 使得点到三条直线的距离相等，那么符合条件的点 有___处. 4 【解析】 点到三条直线的距离相等， 点是三条直线,, 所形成的角的平分线的交点，如图所示，图中点,点,点 ,点 即为所求，故答案为4. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 刷易错 易错点 忽视点的位置有两种情况而导致少解 9.【2023山东德州期末】如图，点是的平分线上一点，于点 ， 点是线段上一点.已知，，点为 上一点，若满足 ，则 的长度为______. 3或7 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 【解析】 如图，过点作于点 . 平分，，， ， ，，， . 若点在线段上，，， ， ，.若点在射线 上，同理可得 ， .故答案为3或7. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 易错警示 补图题由于位置不确定，常有多解，注意不要漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 提升 （第1题图） 1.［中］如图，，和分别平分和， 过 点，且与垂直.若，则点到 的距离是( ) C A.8 B.6 C.4 D.2 【解析】如图，过点作于点平分 ， ，，.同理可知 ， ， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 （第2题图） 2.【2024浙江温州校级质检,中】如图，在四边形 中， ，，连接，，.若是 边上一动点，则 长的最小值为( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】， ， , ，.当时， 的 长度最小. ,，长的最小值与长相等. ， 长的最小值是4，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 3.【2023北京大兴区期末，中】如图，在中，， 的平分线与 的外角的平分线相交于点，延长得到射线，作射线 ，有下 面四个结论： ； ② ； ③射线是 的平分线； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 . 所有正确结论的序号是________. ①③④ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 【解析】 是的外角， 平 分，， ，故①正确.如 图，过点分别作，， ，垂足分别 假设，为的平分线，为 的平分 线，，， ， 即， ，即 ，， 假设不成立，故②错误.由上述 为，，平分，平分，， ， ，平分 ，故③正确. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 证明可知，点是的内角，外角，外角 的平分线的交点， ， 故④正确.故答案为①③④. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4.【2024湖北荆门期中,较难】在中，平分交于点 . 图（1） 图（2） 图（3） 思路分析 （3）过点作于点，于点，交延长线于点 ， 证明,得，由角平分线的判定得 平 分，根据三角形外角的性质得 ，则 ，根据三角形外角的性质及平角的定义得 ，进而可得出结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 （1）如图（1），若，，求 ； 【解】如图（1）,过点作于，作于平分交 于 点,，, ， . 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 （2）如图（2），点为延长线上的一点，于点，当 时，求 的度数； 【解】 设，则 ， 平分 ， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 （3）如图（3），平分的外角交的延长线于点，连接，点 是 延长线上的一点且，请探究与 之间是否存在某种数量关 系，写出你的结论并加以证明. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 图（2） 【解】 .证明：如图（2），过点 作 于点，于点，交 延长线于点 . 平分，平分， .又 ， ， ，，， 平分 ， ，即 ， ，则， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 刷素养 走向重高 5.思想方法 数形结合［较难］在中，,是角平分线，交于 点. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 思路分析 （1）根据垂直的定义得到 ，进而得到 .根据角平分线的定义得 到 , ，根据三角形的内角和定理即可得 的度数； （2）连接，过点作，,根据角平分线的性质得到 ， 证明,根据全等三角形的性质得到 ，进而即 可得到结论； （3）过作于，于，于 ，根据角平分线的性质得 到 ，根据三角形的面积公式即可得答案. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 （1）如图（1），是高， ， ，求和 的度数. 【解】， . ， . ， ，是的平分线， ， .是的平分线， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 （2）如图（2），若，，求 的度数. 【解】 连接，如图（1）.,是角平分线，且交于点， 是的平分线，.过点作， ， 则.在与 中， ， ， . ,是角平分线，又 , ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 34 （3）如图（3），若 ，，，，求 . 【解】 如图（2）,过点作于，于，于 . ,是角平分线，且交于点， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 35 $$