第二章 分式与分式方程 综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（鲁教版五四制）
2024-08-14
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教辅
内容正文：
数 学
八年级上册 LJ
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第二章 分式与分式方程
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全章综合训练
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考点1 分式有（无）意义及分式值为0的条件
1.【2023广西中考】若分式有意义，则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 分式有意义，，解得 .故选A.
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2.【2023四川南充中考】若，则 的值为____.
【解析】 根据题意，得且，解得.故答案为 .
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易错警示
分式的值为0，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0.
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考点2 分式的化简求值
3.【2023河北中考】化简 的结果是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 .故选A.
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4.【2023天津中考】计算 的结果等于( )
C
A. B. C. D.
【解析】原式 .故选C.
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5.【2023湖北武汉中考】已知，计算 的值是
( )
A
A.1 B. C.2 D.
【解析】 .
，， 原式 .故选A.
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6.【2023四川成都中考】若，则代数式 的值
为__.
【解析】 ，，故答案为 .
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7.【2023福建中考】已知,且,则 的值为___.
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【解析】 ，， ，
.故答案为1.
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8.【2023内蒙古通辽中考】以下是某同学化简分式 的部分运算
过程：
解：原式 …………第一步
…………第二步
…………第三步
……
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（1）上面的运算过程中第________________________________________步开始出
现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程.
【解】 原式 .
【解】第一步开始出现了错误.故答案为一.
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9.【2023山东枣庄中考】先化简，再求值：，其中 的值从不等
式组 的解集中选取一个合适的整数.
【解】原式. 且
，且， 的整数解有0,1,
且，， 原式 .
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考点3 解分式方程
10.【2023辽宁大连中考】将方程去分母，两边同乘 后的式子
为( )
B
A. B.
C. D.
【解析】将方程两边同乘，得 .故选B.
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11.【2023黑龙江哈尔滨中考】方程 的解为( )
C
A. B. C. D.
【解析】分式方程去分母得，解得，经检验， 是分式方程
的解.故选C.
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12.【2023山东日照中考】若关于的方程的解为正数，则 的取值
范围是( )
D
A. B.
C.且 D.且
【解析】，去分母得 ，去括号得
，解得. 分式方程的解为正数， 且
，且 .故选D.
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13.【2023四川巴中中考】关于的分式方程有增根，则 ____.
【解析】 方程两边同时乘得，由题意得 是该整
式方程的解，，解得.故答案为 .
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14.【2023重庆中考A卷】若关于的一元一次不等式组 至少有2个整数
解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数 的
值之和是___.
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【解析】 解不等式组得 该不等式组至少有2个整数解，
，.解分式方程，得. 分式方程有非负整数
解，的值是非负整数.又， 当时，，当时， ，
当时，是分式方程的增根，不合题意，舍去， 满足
条件的的值有3和， 所有满足条件的整数 的值之和是4．故答案
为4．
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思路分析
先解不等式组，根据至少有2个整数解求出 的取值范围，再解分式方程，根据解
是非负整数，可求出满足条件的 的值，进一步求解即可．
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15.【2023江苏连云港中考】解方程 .
【解】去分母，得 .
去括号,得 .
移项,得 .
合并同类项,得 .
把的系数化为1,得 .
检验：当时， ，
故原分式方程的解为 .
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考点4 分式方程的应用
16.【2023山东德州中考】某次列车平均提速 千米/小时，用相同的时间，列车提
速前行驶 千米，相同的时间，提速后比提速前多行驶50千米，根据以上信息，下
列说法正确的是( )
B
A.若设提速后这次列车的平均速度为千米/小时，则可列方程为
B.若设提速后这次列车的平均速度为千米/小时，则可列方程为
C.若设提速前这次列车的平均速度为千米/小时，则可列方程为
D.若设提速前这次列车的平均速度为千米/小时，则可列方程为
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【解析】 该次列车平均提速千米/时，且设提速后这次列车的平均速度为
千米/时， 提速前这次列车的平均速度为 千米/时.根据题意,得
该次列车平均提速 千米/时，且设提速前这次列车的平均速度为
千米/时， 提速后这次列车的平均速度为千米/时.根据题意,得 .
故选B.
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17. 【2023四川广安中考】为了降低成本，某出租车公司
实施了“油改气”措施.如图，， 分别表示燃油汽车和燃气
汽车所需费用（单位：元）与行驶路程 （单位：千米）的关
系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的
D
A. B. C. D.
【解析】已知燃气汽车每千米所需费用为 元，则燃油汽车每千米所需费用为
元.根据图象可得燃油汽车所用费用为25元时和燃气汽车所用费用为10
元时对应行驶路程相等，所以可列方程为 .故选D.
费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为 元，则可列方程为( )
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思路分析
已知燃气汽车每千米所需费用为元，则燃油汽车每千米所需费用为 元.
根据行驶路程所需费用 每千米所需费用，结合行驶路程相等，即可得出关于
的分式方程，此题得解．
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18.【2023山东青岛中考】某校组织学生进行劳动实践活动，用1 000元购进甲种
劳动工具，用2 400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，
但单价贵了4元.设甲种劳动工具单价为元，则 满足的分式方程为_____________
____.
【解析】 乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工
具单价为元， 乙种劳动工具单价为元.根据题意,得 .故
答案为 .
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19.【2023山东济南中考】某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种
型号的机器人模型.A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2 000元
购买A型机器人模型和用1 200元购买B型机器人模型的数量相同.
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元.
【解】设A型机器人模型的单价是元，则B型机器人模型的单价是 元.
根据题意得，解得，经检验， 是原方程的根，
.
答：A型机器人模型的单价是500元，B型机器人模型的单价是300元.
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（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A
型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A
型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【解】 设购买A型机器人模型台，则购买B型机器人模型 台，购买A型
和B型机器人模型共花费元.由题意得 ，解得
，即 .
,随的减小而减小, 当时，取得最小值 ，此时
.
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是
元.
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章测
一、选择题（每小题4分，共24分）
1.【2024山东济南历下区期中】下列分式中，是最简分式的是( )
C
A. B. C. D.
【解析】，不是最简分式，A不符合题意； ，不是
最简分式，B不符合题意；是最简分式，C符合题意； ，不是
最简分式，D不符合题意.故选C.
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2.【2023广东佛山模拟】已知 ，下列选项正确的是( )
C
A. B.
C. D.
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【解析】A选项，由，得， 不能确定符号，故
不能确定符号，故A错误，不符合题意．B选项，由
，得，，故 ，即
，故B错误，不符合题意．C选项，由，得 ，故
，即 ，故C正确，
符合题意．D选项，由，得 ，故
中,和 与0的大小关系不确定，故无法确
定符号，故D错误，不符合题意．故选C．
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关键点拨
利用作差法比较分式的大小
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3.【2024河北沧州校级质检】小刚在化简时，整式 看不清楚了，通过
查看答案，发现得到的化简结果是，则整式 是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 化简时，整式 看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化
简结果是， ，
.故选B.
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4.【2022黑龙江龙东地区中考】已知关于的分式方程 的解是正数，
则 的取值范围是( )
C
A. B. C.且 D.且
【解析】方程两边同时乘，得，解得
为正数，，解得，，即， 的取值
范围是且 ．
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关键点拨
先用表示出的值，再由为正数且求出 的取值范围即可.
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5.【2023山东济宁任城区期中】商家常将单价不同的A,B两种糖混合成“什锦糖”
出售，记“什锦糖”的单价为A,B两种糖的总价与A,B两种糖的总质量的比．现有
两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，
另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种
糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种
糖的单价为( )
B
A.50元/千克 B.60元/千克 C.70元/千克 D.80元/千克
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【解析】设A种糖的单价为元/千克，则B种糖的单价为 元/千克，“什锦
糖”甲的单价为元/千克，“什锦糖”乙的单价为 元/
千克.根据题意，得，解得 ，经检验，
是分式方程的解，且符合题意，所以A种糖的单价为60元/千克．故选B．
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6.【2023山东济宁中考】已知一列均不为1的数，，， ， 满足如下关
系：，，，，若，则 的值是
( )
A
A. B. C. D.2
【解析】由题意得，，， ，
，， ，的值按照2，，，
为一个循环周期的规律出现.，的值是 .故选A.
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二、填空题（每小题4分，共16分）
7. 开放性试题【2024河南焦作期末】写出一个分式，并保证无论字母取何
值分式均有意义：___________________.
（答案不唯一）
【解析】 无论字母取何值，，， 无论字母 取何值，
分式均有意义.故答案为 （答案不唯一）.
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8.【2023山东德州校级调研】已知关于的方程无解，则 的值为
_____．
【解析】 ， 关于的方程 无解，
，.把代入中，可得 ．
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9. 传统文化【2024陕西西安雁塔区调研】我国古代著作《四元玉鉴》记载
“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱
准与一株椽.”其大意为现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽
的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问
6 210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为 株，则可列分式方程为___________
______.
【解析】 由题意可得.故答案为 .
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10.【2023江苏苏州调研】若正数，，满足，， ，
则 ___.
【解析】 ，，，都为正数，.， .
，.② 由①②解得，， ，
， .
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三、解答题（共60分）
11.【2024山东泰安泰山区期中】解方程：
（1） ；
【解】，去分母，得，解得 ，检验：
当时，， 是分式方程的解.
（2） .
【解】 ，去分母，得，解得 ，检
验：当时，， 是分式方程的增根，故分式方程
无解.
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12.【2023山东烟台校级期末】先化简，然后在2， ，
中选一个你认为合适的 值，代入求值．
【解】
.
，，， ，
当时，原式 ．
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13. 【2023山东济南校级调研】阅读下面材料，解答后面的问题.
解方程： .
解：设，则原方程化为 ，方程两边同时乘，得 ，解
得 .
经检验,都是方程的解， 当时， ，解得 ；
当时，，解得，经检验,, 都是原分式方程的
解， 原分式方程的解为或 ．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
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（1）若在方程中，设 ，则原方程可化为
__________________________________________________________________；
（2）若在方程中，设 ，则原方程可化为
_____________________________________________________________；
【解】将代入方程，则原方程化为.故答案为.
将代入方程，则原方程可化为.故答案为.
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（3）模仿上述换元法解方程 ．
【解】 原方程化为.设，则原方程化为 ，方程两边
同时乘得，解得，经检验，都是方程 的解，分
情况求解如下：
①当时， ，该方程无解；
②当时，，解得 ，
经检验， 是原分式方程的解.
综上所述，原分式方程的解为 ．
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刷有所得
本题介绍的方法实质上仍是运用整体代换的思想.
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14.【2023江苏南通中考】为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块
运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积(单位： 每天施工费用（单位：元）
甲 3 600
乙 2 200
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工 所需天数相等.
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（1）求 的值；
【解】根据题意，得，解得，经检验， 是所列方程的
解，且符合题意.
答： 的值为600.
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（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两
队共施工22天，且完成的施工面积不少于 .该段时间内体育中心至少需
要支付多少施工费用？
【解】 设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工 天.根据题意，得
，解得 .设该段时间内体育中心需要
支付 元施工费用，则
，随 的增大
而增大， 当时，取得最小值，最小值为 .
答：该段时间内体育中心至少需要支付56 800元施工费用.
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15.定义：若两个分式的和为为正整数)，则称这两个分式互为“ 阶分式”．
例如，分式与 互为“3阶分式”．
（1）分式 与 ______________________________________________________
________________________ 互为“5阶分式”.
【解】设另外一个分式为，则 ，解得
．故答案为 ．
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（2）设正数，互为倒数，求证：分式与 互为“2阶分式”.
【证明】由题意得，则 ．
把代入 ，得
原式 ,
分式与 互为“2阶分式”．
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（3）若分式与互为“1阶分式”（其中，为正数），求 的值．
【解】与 互为“1阶分式”，
,, ，
即．又，为正数， ．
思路分析
（1）将未知分式这个整体设为 ，根据题意列出方程，求解即可.
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