3.9 弧长及扇形的面积 导学案 2023--2024学年北师大版九年级数学下册

3.9弧长及扇形的面积 学习目标: 1.掌握弧长和扇形的面积的计算公式; 2.能正确运用弧长和扇形面积公式解决有关问题. 学习过程: 引 一、自主学习: 1.半径为2的圆的周长是 ，面积为 ; 2.半径为⊙0中，360°的圆心角所对的弧长是 . 导 二、合作探究、展示提升： 1.弧长公式的推导（从圆周长入手） 圆周长C与半径有如下的关系： , 因为360°的圆心角所对的弧长是圆,其周长C＝ , 故1°的圆心角所对的弧长是 , 即 .这样,在半径为的圆中,的圆心角所对的弧长的计算公式为: . 2.扇形面积公式的推导（从圆面积入手） （1）如图，由两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.下图中有几个扇形？ （2）圆面积与半径有如下的关系： , 因为圆心角是360°的扇形就是圆，其面积S＝ ,所以圆心角是1°的扇形面积是 .这样,在半径为的圆中, 圆心角为的扇形面积的计算公式为: . 3.用弧长与半径表示扇形的面积＝ . 观察扇形面积和三角形面积公式有何联系? 故扇形也叫 边三角形. 探 三、典型例题： 例1.如图，圆心角为的扇形AOB的半径为，求这个扇形的面积和周长． 变式：制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度(结果精确到) . 例2.如图AB为⊙0的直径，弦于E, . （1）求CD的长；（2）求图中阴影部分的面积. 变式1.如图⊙0与的边AB相切于点C,与OB交于点D,且, 若. (1)求OB的长；（2）求图中阴影部分的面积. 变式2.已知AB为⊙0的直径,直线CE切⊙0于点C,过点B作于D. (1)求证: ∽; (2) 若⊙0的半径为1, ,求图中阴影部分的面积. 例3.变式: 如图，点B、C、D都在⊙0上，过点C作CA∥BD交OD的延长线于点A,连结BC, 若. (1)求证：AC是⊙0的切线；(2)求图中阴影部分的面积. 变式1.如图，中，以AB为直径的⊙0交BC于D, (1)求证：D为半圆弧AB的中点；(2)求图中阴影部分的面积. 变式2.如图，AB为⊙0的直径，C为半圆O上一点，AC平分于D交⊙0于E,连结CE， （1）判断CD与⊙0的位置关系，并证明你的结论； （2）若E为弧AC的中点，⊙0的半径为2，求图中阴影部分的面积. 悟 1、通过本课学习，用到的主要数学思想有 ； 2、通过本课学习，用到的主要数学方法有 . 习 1. 弧长为的弧所对的圆心角是，则该弧所在圆的半径是 . 2. 扇形的面积是，半径是， 则扇形的圆心角为 . 3.钟表的轴心到分针针端的长为，那么经过时分针针端所经过的弧长是 . 4.如图，正三角形ABC的边长为，分别以A、B、C为圆心，为半径的圆两两相切于点D、E、F.求图中阴影部分的面积. 5.如图，AB是半圆的直径，，C、D为半圆的三等分点，求阴影部分的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$