3.3 垂径定理 导学案 2023--2024学年北师大版九年级数学下册

3.3 垂径定理(2) 学习目标： 1．进一步理解和掌握垂经定理． 2．理解垂径定理的逆定理． 3．能运用垂经定理及其逆定理解决有关计算和证明问题． 学习过程： 引 一、自主学习: 1．若⊙O中，弦AB的长为，圆心O到AB的距离（弦心距）为，则⊙O的半径为 ． 2．如图，⊙O的半径是，弦，P为弦AB上一动点，则线段长度的取值范围是 . 导 二、合作交流、展示提升： 1．如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分弦AB的直径CD交AB于点P．将剪下后沿CD对折, 你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由． 2．垂径定理逆定理：平分弦（不是______）的直径______于弦，并且平分__________． 3．在同圆中考察以下五个论断:①经过圆心；②垂直于弦（非直径）；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧.结合垂径定理及其逆定理,在这五个论断中知道“任意两个”，能否可以推出“其余三个”?说明理由. 4．归纳总结：在同圆中，①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧五个论断中只要具备其中任意 个，便可以得出其余 个论断，简称：“知二推三”（或二推三定理）． 探 三、典型例题： 例1．已知，用尺规作图作出的中点C . 变式：已知，用尺规作图作出所在圆的圆心O. 例2．如图，MN为⊙O直径，弦AB⊥MN，MN平分弦CD于P. 求证：. 变式1：如图，AB为⊙O直径，CD的弦，，且,求长. 变式：已知⊙O的直径是，弦弦，，求弦AB与CD之间的距离. 例3．如图，的三个顶点均在⊙O上，CD是AB边上的高，P为中点，求证：CP平分. 变式：如图，AB为⊙O的弦，, C为中点. (1)求证：AB平分;(2)延长OA至点D,使，连结CD, 若,求CD的长. 悟 1、通过本课学习，用到的主要数学思想有 ； 2、通过本课学习，用到的主要数学方法有 . 习 1．若弓形的弦长为，弓形的高为，则该弓形所在的圆的半径为　　　　　　 . 2．如图，AB为⊙O的直径，E是中点，OE交BC于点D，BD＝3，AB＝10，则AC＝_____． 3．如图，C为弧AB中点，于M, 于N, 若，则 . 4．如图，AB为⊙O的直径,CD为⊙O的弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，OG⊥CD于点G. (1)当点C、D在直径AB的同侧时，如图1，求证：； (2)当点C、D在直径AB的异侧时，如图2，结论“”是否成立？证明你的结论. 5．如图，半径为的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，且,求图中两个阴影部分面积的和. 学科网（北京）股份有限公司 $$