3.2 圆的对称性 导学案 2023--2024学年北师大版九年级数学下册

3.2 圆的对称性 学习目标 1．探索圆的中心对称性及有关性质; 2．理解圆的旋转不变性，掌握同圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系; 3．会运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决有关问题． 学习过程： 引 一、自主学习: 1．弧、弦、直径有关的概念： (1)圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． (2)弦：连结圆上任意两点之间的线段叫做弦． (3)直径：经过圆心的弦叫直径． 如右图：中，以为端点的弧，读作“圆弧”或“弧”；线段是的一条弦，弦是的一条直径． 注意：(1)弧包括优弧、劣弧和半圆，大于半圆的弧称为 ，小于半圆的弧称为 ．如上图中，以为端点的弧有两条：优弧，劣弧；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称 ．半圆既不是劣弧，也不是优弧．半圆是弧，但弧不一定是半圆； (2)直径是弦，但弦不一定是直径． 2．顶点在 ,两边和圆相交的角叫做圆心角，能够完全重合的两个圆叫做 ；能够完全 的两段弧叫做 ．（注：只有同圆或等圆中才可能有“等弧”） 3．圆心到弦的距离叫弦心距；如图，⊙O中，线段 的长度是弦AB的弦心距. 4．如图,将⊙O绕圆心O旋转任意角度后,得到的图形与原来的图形完全 ,故圆具有旋转不变性.可见圆既是 对称图形,是 对称图形.其对称中心为 ．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例． 导 二、合作交流、展示提升： 1．探究圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系: 如图,⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到的位置，你能发现哪些等量关系？ (1) ; (2) ; (3) ; 因此可得，定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等， 所对的 也相等. 2．在同圆或等到圆中，如果“两个圆心角相等”、“两段弧相等”、“两条弦相等”、“两条弦心距相等”四个论断中,能否由其中一个论断得出其余三个论断呢？说明理由？ 3．归纳总结： 定理：在同圆或等圆中，如果两个 、两条 、两条 、 两条 这四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等（知一推三）. 即：如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE、OF分别为它们的弦心距. （1）若AB＝CD，则 ， ， ； （2）若，则 ， ， ； （3）若∠AOB＝∠COD，则 ， ， ． （4）若OE＝OF,则 ， ， ． 探 三、典型例题： 例1．如图, 在⊙O中，，∠ACB＝，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 变式：如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,分别交⊙O于点C、D. 求证：． 例2．如图，在⊙O中,AD、BC均为⊙O的弦，AD＝BC，求证：AB＝CD. 变式:如图，CD为⊙O的弦，在CD上截取CE＝DF，连结OE、OF并延长交⊙O于点A、B. （1）试判断△OEF的形状，并说明理由；（2）求证：． 例3． 如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M、N分别是AB、CD的中点，AB＝CD， 求证：∠AMN＝∠CNM. 变式：如图，MN是⊙O的直径，弦AB、CD(或延长线)�相交于MN�上的一点P，�∠APM＝∠CPM． (1)如图1，若点P位于⊙O内，求证：AB＝CD； (2)如图2，若点P位于⊙O外，结论“AB＝CD”是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 悟 1、通过本课学习，用到的主要数学思想有 ； 2、通过本课学习，用到的主要数学方法有 . 习 1．在⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的，则弦AB所对的圆心角的度数为 ． 2．在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数为 ． 3．如图，在⊙O中，，∠C＝75°，求∠A的度数． 4．如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝35°.求∠AOE的度数． 5．如图，AB、CD为⊙O 的弦，且，试探究AB与2CD大小的关系. 学科网（北京）股份有限公司 $$