新课预习衔接：圆(讲义)-2024-2025学年六年级上册数学北师大版

圆 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【圆、圆环的周长知识点归纳】 圆的周长＝πd＝2πr， 半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即； 半圆周长＝πr+2r． 圆环的周长等于两个圆的周长，即： 圆环的周长＝πd1+πd2＝2πr1+2πr2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求圆的周长，先求出关键量半径，代入公式即可求得． 【圆、圆环的面积知识点归纳】 圆的面积公式： S＝πr2 圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式： S＝πr22﹣πr12＝π（r22﹣r12） 第二部分 典型例题 例题1：（1）画一个长3厘米，宽2厘米的长方形． （2）在所画的长方形里面画一个最大的圆，使所画的圆与长方形组成的组合图形有2条对称轴． 【答案】如图 【详解】试题分析：（1）先画一条3厘米长的线段，分别过这条线段的两个端点作这条线段的2厘米长的垂线段，连接两条垂线段的另外一个端点，所形成的四边形就是要求画的长方形． （2）以长方形的两组对边的中点的连线的交点为圆心，以宽的一半为半径，所画出的圆就是符合要求的圆． 解：（1）先画一条3厘米长的线段AB， 分别过点A和B作AB的2厘米长的垂线段DA和CB， 连接CD， 则四边形ABCD就是所要求画的长方形； （2）以长方形ABCD的两组对边的中点的连线的交点O为圆心， 以宽的一半2÷2=1厘米为半径， 所画出的圆就是符合要求的圆． 点评：（1）此题主要考查过直线上一点作已知直线的垂线的垂线的方法． （2）解答此题需要明白：满足条件的圆的圆心就是两组对边的中点的连线的交点，半径是宽的一半． 例题2：（1）下图是一个半圆形，这个图形共有（    ）条对称轴。请画出所有的对称轴。 （2）量出上图直径d＝（    ）厘米。（数据取整厘米） （3）分别求出这个半圆的周长和面积。 【答案】（1）1；画图见详解 （2）3 （3）周长7.71厘米；面积7.065平方厘米 【分析】（1）半圆只有1条对称轴，根据对称轴的意义画图。 （2）用直尺测量出直径。 （3）半圆的周长＝πd÷2＋d，半圆的面积＝πr2÷2，据此解答。 【详解】（1）这个图形共有1条对称轴。 （2）通过测量，上图的直径d＝3厘米。 （3）周长：3.14×3÷2＋3 ＝4.71＋3 ＝7.71（厘米） 面积：3.14×（3÷2）2 ＝3.14×2.25 ＝7.065（平方厘米） 【点睛】本题考查了半圆对称轴的认识、周长和面积的运算等。要注意半圆的周长不是整圆周长的一半，需要加上一条直径。 例题3：公园里准备把一个半径为3米的圆形花坛进行扩建（如图所示）；如果这个圆形花坛的半径增加2米，则面积增加多少平方米？ 【答案】50.24平方米 【分析】由题意可知，求增加的面积就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），据此进行计算即可。 【详解】3.14×[（3＋2）2－32] ＝3.14×[52－32] ＝3.14×[25－9] ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：面积增加了50.24平方米。 第三部分 高频真题 1．为美化校园，学校在教学楼前修了一个直径是10米的圆形花坛，围绕花坛有一条2米宽的环形小路，这条小路的面积是多少平方米？ 2．北京天坛公园的回音壁是一道圆形围墙（如图），圆的半径约是31米，淘气以5米/秒的速度绕着回音壁跑一圈，大约需要多少秒？（结果保留整数） 3．用一张长6分米、宽3分米的长方形铁皮，剪出一个最大的半圆，剩下的铁皮的面积是多少平方分米？ 4．学校有一个半径为6米的圆形舞台，由于演出的需要，现在把舞台周围加宽1米。现在的舞台面积增加了多少平方米？ 5．画一个长3厘米、宽2厘米的长方形； （2）以长方形的一个顶点为圆心，宽为半径画一个圆； （3）在长方形与圆的重叠部分涂上阴影； （4）计算阴影部分的面积． 6．画一个周长为16厘米的正方形，在里面画一个最大的圆，并求出圆的周长和面积． 7．一个时钟的时针长8cm，从上午8时到晚上8时，时针扫过的面积是多少平方厘米？ 8．汽车车轮的半径为0.3米，它滚动一圈前进多少米？滚动500圈，前进多少米？ 9．在下面的长方形中有三个大小相等的圆．已知这个长方形的长为12cm，求图中任意一个圆的半径． 10．一根10分米长的礼品盒包装绳，围一个大圆月饼一圈还剩余3.72分米，这个月饼的横截面直径是多少分米？ 11．一个圆形的羊圈，直径为25m，要用多长的绳子才能将这个羊圈围3圈（接头忽略不计）？如果隔0.5m安装一根木桩，要多少根木桩？ 12．在一个直径是10米的圆形草地中间挖一个半径为3米的花坛，剩下草地的面积有多少平方米？ 13．图中A、B是一个圆中的一条线段，你觉得这条线段是圆的一条半径吗？你准备如何来验证，请用你喜欢的方式表示出你的验证过程．（写出两种办法可以得满分） 14．太极图被称为“中华第一图”。在中国传统文化中含义深遂，其形状为阴阳两鱼互纠在一起，象征两极和合，这幅太极图的直径是8厘米，请求出阴影部分的面积。 15．一个圆形水池，直径是20米，在水池的周围围一圈栅栏，再在水池的外围修一条宽4米的环形小路。 （1）栅栏的长是多少米？ （2）这条小路的面积是多少平方米？    16．袁老师做了一个扇形的教具（如下图）。这个扇形教具的周长是32.13 dm，这个教具的面积是多少平方分米？ 17．用一根长14.13米的绳子绕一棵树木的树干，正好绕了15圈，这棵树树干横截面的直径大约是多少米？ 18．在一块周长为40分米的正方形木板上，锯下一个最大的圆做桌面，这个圆桌面的面积是多少平方分米？ 19．如图所示，等边三角形ABC的边长为6 cm，分别以A、B、C三点为圆心，边长的一半为半径作弧，求阴影部分的周长。 20．某种表的时针长4cm，分针长5cm，从12时到下午3时，时针扫过的面积是多少平方厘米？分针针尖走了多少厘米？ 21．在一张周长为24厘米的正方形硬纸板上，剪一个最大的圆，这个圆的半径是多少？ 22．已知半圆形的周长为51.4厘米，这个半圆形的直径是多少厘米？ 23．做一做 ①如图，这个长方形的长是　 　厘米，宽是　 　厘米． ②在这个长方形内画一个最大的半圆． ③这个半圆的面积为　 　． 24．红红用彩纸做了一个风车。中间是一个边长为10 cm的正方形，与正方形每一条边相连的是圆心角都为90°的扇形。红红用了多少平方厘米的彩纸？ 25．手工课上，小明用一张直径是的圆形纸片剪出如下图所示的风车图形（图中空白部分），请你算算这张纸的使用率。（这里“使用率”是指实际用到的纸占所有的纸的百分比） 26．小斌家客厅的墙壁上挂着一个大钟表，它的分针长45厘米，这根分针的针尖转动一周所走过的路程是多少厘米？ 27．如图，这台压路机的前轮直径是2米，如果前轮每分滚动5周，它每分前进了多少米？ 28．（1）在长方形里作一个最大的圆，使所画的圆与长方形组成的组合 图形只有1条对称轴，并画出这条对称轴． （2）标出圆心的位置及半径的数值． 29．某小学校园建“开心农场”，用31.4米的篱笆靠墙围出了两个完全相同的半圆形菜园，这两个半圆形菜园的占地面积是多少平方米？ 30．小明沿着一个圆形游泳池走了一圈，一共走了628步，他平均每步长0.5米。这个游泳池的占地面积是多少？ 31．玲玲家有一个圆形餐桌面，它的半径是1m，就餐时坐了10个人，平均每人占去的位置宽是多少米？（得数保留一位小数） 32．先画图，再解答问题． （1）在一个长3厘米，宽2厘米的长方形内画一个最大的圆． （2）这个圆的面积是多少？其余部分的面积是多少？ 33．实验小学操场的形状如图所示，小英每天绕这个操场跑3圈，她一周(7天)跑了多少米？ 参考答案： 1．75.36平方米 【详解】花坛的半径： 10÷2＝5（米）， 小路的面积： 3.14×（5+2）2﹣3.14×52， ＝3.14×49﹣3.14×25， ＝153.86﹣78.5， ＝75.36（平方米）； 答：这条小路的面积是75.36平方米． 2．39秒 【分析】先根据圆的周长公式：C＝，代入数据求出回音壁的周长，再根据路程除以速度等于时间，用求出的回音壁的周长除以5，即可得解，结果保留整数。 【详解】2×3.14×31÷5 ＝6.28×31÷5 ＝194.68÷5 ≈39（秒） 答：大约需要39秒。 3．3.87平方分米 【分析】长方形内最大半圆的半径等于这个长方形的宽3分米，再据剩下部分的面积＝长方形的面积－半圆的面积，由此利用长方形和圆的面积公式即可解答。 【详解】6×3－3.14×32÷2 ＝18－14.13 ＝3.87（平方分米） 答：剩下的铁皮的面积是3.87平方分米。 【点睛】抓住长方形内最大半圆的特点，得出这个半圆的半径是解决此类问题的关键。 4．40.82平方米 【分析】根据题意可知， R＝6＋1＝7米，r＝6米，圆环面积＝（R2－r2）×，由此解答即可。 【详解】R＝6＋1＝7（米） 3.14×（72－62） ＝3.14×13 ＝40.82（平方米） 答：现在的舞台面积增加了40.82平方米。 【点睛】此题主要考查学生对圆环面积的理解与实际应用，关键是理解公式。 5．如图 ，面积是3.14平方厘米 【详解】试题分析：（1）已知长方体的长为3厘米，宽2厘米，据已知条件用直尺及三角尺作图即可． （2）以长方形的一个顶点为圆心，宽为半径即可画圆． （3）在长方形与圆的重叠部分涂上阴影即可． （4）阴影部分的面积就等于圆的面积的，利用圆的面积公式即可求解． 解：据分析画图如下： ， 阴影部分的面积为：×3.14×22=3.14（平方厘米）； 答：阴影部分的面积是3.14平方厘米． 点评：作正方形及长方形要用到直尺及三角尺，确定好圆心的位置，半径的长度，即可画出符合要求的圆． 6．如图，最大圆的周长为12.56厘米，面积为12.56平方厘米 【详解】试题分析：根据题意，根据正方形的周长公式可计算出周长为16厘米的正方形的边长，在里面画一个最大的圆，最大圆的直径就是正方形的边长，可根据圆的周长公式和圆的面积公式进行计算即可得到答案． 解：作图如下： 正方形的边长为：16÷4=4（厘米）， 圆的直径为4厘米，半径为2厘米， 圆的周长为：3.14×4=12.56（厘米）， 圆的面积为：3.14×22=12.56（平方厘米）， 答：最大圆的周长为12.56厘米，面积为12.56平方厘米． 点评：解答此题的关键是根据正方形的周长确定正方形的边长，即最大圆的直径，然后再根据圆的面积公式和周长公式进行计算即可． 7．200.96cm2 【分析】从上午8时到晚上8时，时针扫过的形状是一个圆形，这个圆形的半径就是时针的长8厘米，将数值代入圆的面积公式即可求得时针扫过的面积。据此解答。 【详解】3.14×82＝200.96（平方厘米） 答：时针扫过的面积是200.96平方厘米。 【点睛】理解从上午8时到晚上8时，时针扫过的形状是一个圆形，圆形的半径就是时针的针长8厘米，是解答本题的关键， 8．1.884米；942米 【分析】首先根据圆的周长公式：C＝2πr，求出车轮的周长，然后车轮的周长乘1000即可。 【详解】3.14×（0.3×2） ＝3.14×0.6 ＝1.884（米） 1.884×500＝942（米） 答：它滚动一圈前进1.884米，它滚动500圈前进942米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。 9．12÷3÷2=2(cm) 【详解】因为图中三个圆大小相等，且依次相交，可知这三个圆的直径和正好等于长方形的长12cm． 10．2分米 【分析】根据题意，包装绳绕圆形月饼一圈还剩余3.72分米，用绳子总长度减去多出来的长度，剩下的绳子绕月饼一圈就是月饼这个圆的周长，根据圆的周长公式：C＝d，带入数值求出直径即可。 【详解】由分析可得： ＝6.28÷3.14 ＝2（分米） 答：这个月饼的横截面直径是2分米。 【点睛】本题考查了圆的周长公式的灵活运用，解题的关键是从题目中能够分析出绕月饼一圈就是该圆的周长。 11．235.5米； 157根 【分析】根据圆的周长C＝πd，求出羊圈的周长，乘3即可求出绳子的长度；羊圈周长÷0.5＝需要木桩的根数，据此解答。 【详解】3.14×25×3 ＝78.5×3 ＝235.5（米）； 3.14×25÷0.5 ＝78.5÷0.5 ＝157（根） 答：要用235.5米长的绳子才能将这个羊圈围3圈，如果隔0.5m安装一根木桩，要157根木桩。 【点睛】此题考查了有关圆周长的实际应用，需牢记圆的周长计算公式并能灵活运用，另外因为圆形是封闭的，求木桩根数，直接周长除以间隔距离即可。 12．50.24平方米 【分析】剩下草地的面积＝原草地的面积－花坛的面积；将数据代入圆的面积公式计算即可。 【详解】3.14×（10÷2）2－3.14×32 ＝3.14×25－3.14×9 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：剩下草地的面积有50.24平方米。 【点睛】本题主要考查圆环的面积求法，牢记公式是解题的关键。 13．圆的半径是从圆心到圆周上任意一点的线段； 方法①：把圆规的两脚放在线段的端点上，固定一端，看另一端旋转是否与圆重合； 方法②：这条线段从圆心出发，另一端是否在圆周上． 【详解】试题分析：根据圆的半径的定义去判断，圆的半径是从圆心到圆周上任意一点的线段． 解：圆的半径是从圆心到圆周上任意一点的线段； 方法①：把圆规的两脚放在线段的端点上，固定一端，看另一端旋转是否与圆重合； 方法②：这条线段从圆心出发，另一端是否在圆周上． 点评：此题主要考查的是圆的半径的定义，注意两个关键处“从圆心出发”和“另一端必须在圆周上”即可很容易判断是否是圆的半径． 14． 【分析】对原图形阴影部分进行割补，阴影面积为圆面积的一半；据此解答。 【详解】×3.14×（8÷2）2 ＝×3.14×16 ＝3.14×8 ＝25.12（cm2） 答：阴影部分面积为25.12cm2。 【点睛】本题主要考查圆的面积公式，解题的关键是理解阴影面积为圆面积的一半。 15．（1）62.8米 （2）301.44平方米 【分析】（1）栅栏的长度就是这个直径20米的圆的周长，利用圆的周长公式计算即可解答； （2）小路的面积就是内圆半径20÷2＝10米，外圆半径10＋4＝14米的圆环的面积，利用圆环的面积＝π（R2－r2）计算即可。 【详解】（1）3.14×20＝62.8（米） 答：栅栏的长度是62.8米。 （2）20÷2＝10（米） 10＋4＝14（米） 3.14×（142－102） ＝3.14×96 ＝301.44（平方米） 答：小路的面积是301.44平方米。 【点睛】此题考查了圆的周长以及圆环的面积公式的计算以及应用。 16．63.585 dm2 【详解】设这个教具的半径是rdm。 r+r+×3.14×r=32.13   r=9 3.14×92÷4=63.585（dm2） 17．0.3米 【分析】用绳子的长度除以15，求出绕树干一圈的长度，即是横截面的周长。根据圆的周长＝πd，用周长除以π即可求出直径。 【详解】14.13÷15÷3.14 ＝0.942÷3.14 ＝0.3（米） 答：这棵树树干横截面的直径大约是0.3米。 【点睛】本题考查圆的周长的应用。先求出圆的周长，再根据周长公式求出直径。 18．78.5平方分米 【详解】半径：40÷4＝10（分米） 10÷2＝5（分米） 面积：3.14×52＝78.5（平方分米） 答：占地面积是78.5平方分米． 考点：圆的面积． 19．9.42 cm 【详解】3.14×6÷2=9.42( cm) 答：阴影部分的周长是9.42 cm。 20．12.56平方厘米； 94.2厘米 【分析】根据题意，从中午12时到下午3时，经过3个小时，时针转圈，时针扫过的面积是半径为4厘米的圆面积的，要求分针走3小时所走的路程，也就是求分针走3圈的路程，根据圆的周长公式C＝2πr，求出分针走一圈的路程，进而求出走3圈的路程。 【详解】4×4×3.14× ＝50.24× ＝12.56（平方厘米） 答：时针扫过的面积是12.56平方厘米。 5×2×3.14×3 ＝31.4×3 ＝94.2（厘米） 答：分针针尖走了94.2厘米。 【点睛】解答此题的关键是知道分针与时针经过3小时分别走了几圈，再根据相应的公式解决问题。 21．半径是3厘米． 【详解】试题分析：在一个正方形的硬纸板上剪一个最大的圆，所剪成的圆的直径和正方形是边长相等，由此先根据“正方形的边长=周长÷4”求出正方形的边长，再除以2求出圆的半径． 解：24÷4÷2=3（厘米）， 答：这个圆的半径是3厘米． 点评：此题考查的是正方形的周长计算公式的掌握情况，应理解并灵活运用． 22．20厘米 【分析】根据题意可知，半圆的周长等于这个圆周长的一半加上一条直径的长；根据圆的周长公式：周长＝π×直径，半圆周长＝π×直径÷2＋直径，半圆直径＝周长÷（π÷2＋1），代入数据，即可解答。 【详解】51.4÷（3.14÷2＋1） ＝51.4÷（1.57＋1） ＝51.4÷2.57 ＝20（厘米） 答：这个半圆的直径是20厘米。 【点睛】解答本题的关键是明确半圆形周长的组成部分，再进行计算。 23．4，2，6.28cm2 【详解】试题分析：（1）用直尺量出长方形的长和宽各是多少厘米即可； （2）以这个长方形的长为圆的直径画圆即可， （3）根据圆面积公式求出这个半圆的面积，据此解答． 解：（1）测量结果如下图： ； （2）画图如下： ； （3）半圆的面积： 3.14×（4÷2）2÷2， =3.14×22÷2， =3.14×4÷2， =6.28（cm2）； 答：半圆的是6.28cm2． 故答案为4，2，6.28cm2． 点评：本题考查了学生测量线段、画半圆及求半圆面积的方法． 24．414平方厘米 【分析】由图可知，四个圆心角都为90°的扇形拼接在一起正好是一个圆形，则这个风车的面积＝边长为10cm的正方形面积＋半径为10cm的圆的面积。据此解答。 【详解】3.14×102＋10×10 ＝314＋100 ＝414（平方厘米） 答：红红用了414平方厘米的彩纸。 【点睛】此题主要考查组合图形面积的计算，能够把四个扇形组合成一个圆形，再计算其面积是解题关键。 25．50% 【分析】风车的面积是由4个半径为20÷2÷2＝5（厘米）的半圆构成的，根据圆的面积公式S＝πr²，可求出大圆的面积以及风车的面积，用风车的面积÷大圆的面积×100%，就是这张纸的使用率。 【详解】20÷2÷2＝5（厘米） 3.14×5×5÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 39.25×4＝157（平方厘米） 20÷2＝10（平方厘米） 3.14×10×10 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 157÷314×100%＝50% 答：这张纸的使用率是50%。 【点睛】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 26．282.6厘米 【分析】根据题意可知：一只大钟，它的分针长45厘米，可知分针的尖端转动一周所走的路程正好是以分针的长度为半径的圆的周长，利用圆周长的计算公式计算即可。 【详解】2×3.14×45 ＝6.28×45 ＝282.6（厘米） 答：这根分针的针尖转动一周所走过的路程是282.6厘米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 27．31.4米 【分析】根据题意，压路机滚动一周前进的距离就是前轮的周长，根据圆的周长公式：C＝πd，代入数据先求出压路机滚动一周前进的距离；已知前轮每分滚动5周，再乘5即可求得压路机每分前进了多少米。 【详解】由分析得： 3.14×2×5＝31.4（米） 答：它每分前进了31.4米。 【点睛】本题主要考查圆的周长公式的实际应用，关键是熟记公式。 28．如图 【详解】试题分析：要画出此圆，根据要求，必须确定半径的长；要求在长方形中画的圆最大，直径的长必须和长方形的宽（短边）相等，即半径是长方形宽的一半，所画的圆最大；要保证所画的圆与长方形组成的组合图形只有1条对称轴，所以应画在长方形的左或右的一边，不能画在正中间． 解：作图如下： 点评：此题解答的关键是根据题意，结合圆的知识，确定圆的直径的长；然后根据对称轴的含义进行作图即可． 29．78.5平方米 【分析】根据题意可知，一面靠墙，用31.4米的篱笆靠墙围出了两个完全相同的半圆形菜园，由此可知，31.4米相当于一个圆的周长，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此可以求出每个半圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 答：这两个半圆形菜园的占地面积是78.5平方米。 【点睛】本题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 30． 7850平方米 【分析】可用628乘0.5计算出这个游泳池的周长，然后再利用圆的周长公式：C＝2πr，求出它的半径，进而依据圆的面积公式S＝πr2，即可得到游泳池的占地面积。 【详解】半径： （米） 占地面积： （平方米） 答：这个游泳池的占地面积是7850平方米。 【点睛】本题考查圆的周长和面积，解答本题的关键是掌握圆的周长和面积计算公式。 31．平均每人占去的位置宽是0.6米 【详解】试题分析：根据“圆的周长=πd”求出圆桌的周长，根据“圆桌的周长÷餐桌能坐的人数=每个人需要宽的长度”解答即可． 解答：解：2×3.14×1=6.28（米）， 6.28÷10=0.628≈0.6（米）； 答：平均每人占去的位置宽是0.6米． 点评：此题主要考查圆的周长的计算方法的运用情况． 32．如图，圆的面积为3.14平方厘米，其余的面积为2.86平方厘米． 【详解】试题分析：（1）首先根据画长方形的方法画一个长3米，宽2厘米的长方形，然后以长方形的宽为直径画一个圆即可； （2）根据圆的面积公式S=πr2和长方形的面积公式分别计算圆的面积和长方形的面积，然后再用长方形的面积减去圆的面积计算其余部分的面积． 解：作图如下： 最大圆的半径为：2÷2=1（厘米）， 积为：3.14×12=3.14（平方厘米）， 其余的面积为 ：3×2﹣3.14， =6﹣3.14， =2.86（平方米）， 答：圆的面积为3.14平方厘米，其余的面积为2.86平方厘米． 点评：解答此题的关键是确定长方形内最大圆的直径，然后再按照长方形的面积公式和圆的面积公式进行计算． 33．5997.6米. 【详解】(3.14×40+80×2)×3×7 =(125.6+160)×3×7 =285.6×3×7 =856.8×7 =5997.6（米） 答：小英每天绕这个操场跑3圈，她一周(7天)跑了5997.6米. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$