6.1.1向量的概念同步练习-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

第六章　平面向量初步 6．1　平面向量及其线性运算 6．1.1　向量的概念 1．(多选)下列说法错误的是(　　) A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量长度等于0 D．共线向量是在一条直线上的向量 2．如图，设O是正方形ABCD的中心，则：①＝；②∥；③与共线；④＝.下列选项正确的是(　　) A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 3．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________． 5．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号). 6．一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点． (1)作出向量，，； (2)求||. 7．下列关于向量的说法正确的个数是　 (　　) ①始点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②始点相同，相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的始点与终点一定共线． A．3 B．2 C．1 D．0 8．如图，在等腰梯形ABCD中，①与是共线向量；②＝；③>.以上结论中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 9．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 10．下列结论中，正确的是(　　) A．2 020 cm长的线段不可能表示单位向量 B．若O是直线l上的一点，单位长度选定，则l上有且只有两点A，B，使得，是单位向量 C．方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量不可能是平行向量 D．一个人从点A向东走500米到达B点，则向量不可能表示这个人从点A到点B的位移 11．给出以下说法： ①若|a|＝0，则a为零向量； ②单位向量都相等； ③若a与b共线，则a与b的方向相同或相反； ④向量的模一定是正数； ⑤起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； ⑥向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．其中正确的序号是________． 12．如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝且＝，求证：＝. 13．下列命题正确的是(　　) A．若向量a∥b，则a与b的方向相同或相反 B．若向量a∥b，b∥c，则a∥c C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D．若向量a＝b，b＝c，则a＝c 14．一位模型赛车手遥控一辆赛车，沿正东方向前行1 m，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1 m，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1 m，按此方法继续操作下去． (1)按适当的比例作图说明当α＝45°时，至少需操作几次时赛车的位移为0； (2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个即可． 参考答案与解析 1．答案：ABD 解析：向量∥包含所在的直线与所在的直线平行或重合两种情况，故A错误；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错误；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误． 2．答案：C 解析：与方向相同，大小相等，所以①正确；与方向相同，所以∥，所以②正确；因为AB∥CD，所以与共线，③正确；因为与方向不同，所以＝错误． 3．答案：C 解析：与共线的有，，. 4．答案：0 解析：因为A，B，C三点不共线，所以与不共线，又因为m∥且m∥，所以m＝0. 5．答案：①③④ 解析：因为a＝b⇒a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是①③④. 6．解析：(1)向量，，如图所示： (2)由题意，可知与方向相反，故与共线， ∵||＝||，∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴＝，∴||＝||＝200 km. 7．答案：C 解析：始点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；始点相同，相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的始点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确． 8．答案：A 解析：因为与的方向不相同，也不相反，所以与不共线，即①不正确；由①可知②不正确；因为两个向量不能比较大小，所以③不正确． 9．答案：C 解析：由＝，可知四边形ABCD为平行四边形，又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形． 10．答案：B 解析：一个单位长度取2 020 cm时，2 020 cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量是平行的，故C错误；位移既有大小又有方向，可以用向量表示，故D错误． 11．答案：①⑤ 解析：①正确，模等于0的向量就是零向量；②错误，单位向量的模都相等，但方向不一定相同，因此，单位向量不一定相等；③错误，由于零向量与任一向量共线，但其方向任意，因此，当a与b共线且其中有一个零向量时，它们的方向不一定相同或相反；④错误，向量的模是非负实数，可能是零；⑤正确，对于一个向量只要不改变其模的大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同；⑥错误，共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量必须在同一直线上． 12．证明：因为＝， 所以||＝||且AB∥DC， 所以四边形ABCD是平行四边形， 所以||＝||且DA∥CB. 又因为与的方向相同，所以＝. 同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以＝. 因为||＝||，||＝||，所以||＝||. 又与的方向相同，所以＝. 13．答案：D 解析：向量a∥b，可能b＝0，此时不能得到a与b的方向相同或相反，故A选项错误； 向量a∥b，b∥c，可能b＝0，此时不能得到a∥c，故B选项错误；两个单位向量相互平行，可能方向相反，此时不能得到两个向量相等，故C选项错误；根据向量相等的知识可知D选项正确． 14．解析：(1)如图可知操作8次可使赛车的位移为零，此时α＝＝45°. (2)若使赛车能回到出发点，则赛车的位移为零，由第(1)问作图可知，所作图形需是内角为(180－α)度的正多边形，故n(180－α)＝(n－2)180，得α＝，又n是不小于3的整数，所以当n＝10，即α＝36°时需操作10次可回到出发点；当n＝12，即α＝30°时需操作12次可回到出发点． 学科网（北京）股份有限公司 $$