江苏省常州外国语学校2023-—2024学年下学期九年级二模考试 数学试卷

江苏省常州外国语学校2023-—2024学年下学期九年级二模考试数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1．（2分）下列运算结果最大的是（　　） A． B．20 C．2﹣1 D．（﹣2）3 2．（2分）下列运算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（ab2）3＝a3b5 D．3a3•（﹣4a2）＝﹣12a5 3．（2分）下列调查中，最适合采用全面调查的是（　　） A．了解全国中学生的睡眠时间 B．了解某河流的水质情况 C．调查全班同学的视力情况 D．了解一批灯泡的使用寿命 4．（2分）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝121°，DE与地面平行，∠ABD＝48°，则∠DCE＝（　　） A．78° B．73° C．69° D．61° 5．（2分）我国古代对于数学的研究非常深刻，它为中华民族乃至人类文明的发展做出了重大贡献，其中，主要记载汉代数学成就，率先提出勾股定理，并在测量太阳高远的方法中给出勾股定理的一般公式的著作是（　　） A． B． C． D． 6．（2分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC＝（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 7．（2分）如图1，在△ABC中，∠ABC＝60°．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y随x变化的关系图象，其中M为曲线DE的最低点，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 8．（2分）已知函数y＝x2﹣4ax+5（a为常数），当x≥4时，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两点，对任意的2a﹣2≤x1≤6和2a﹣2≤x2≤6，y1，y2总满足y1﹣y2≤5+4a2，则实数a的取值范围是（　　） A．3≤a≤4 B． C．1≤a≤2 D． 二、填空题（每小题2分，共20分。不需写出解答过程） 9．（2分）计算：+＝　 　． 10．（2分）若代数式+在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　． 11．（2分）因式分解：4a3﹣16a2+16a＝　 　． 12．（2分）已知x+y＝7，x﹣y＝2，则y2﹣x2＝　 　． 13．（2分）空气质量指数（AQI）以六大污染物（PM2.5、PM10、臭氧、一氧化碳、二氧化硫、二氧化氮）浓度作为分指标．我们经常说的PM2.5就是指环境空气中空气动力学当量直径小于等于0.0000025m的颗粒物，也称细颗粒物．数据0.0000025用科学记数法表示为 　 　． 14．（2分）在平面直角坐标系中，点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则a+b＝　 　． 15．（2分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率π的方法．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计⊙O的面积，S正六边形＝6×，所以⊙O的面积近似为，由此可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形估计⊙O的面积，可得π的估计值为 　 　． 16．（2分）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinα+cosα）2＝　 　． 17．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标是（0，3），点B在x轴正半轴上，且∠BAO＝60°，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转，当点A的对应点A′落在函数的图象上时，设点B的对应点B′的坐标是（m，n），则m+n＝　 　． 18．（2分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是CD边上的一个动点，过点G与AD平行的直线交BD于点E，连接AG，F是线段AG上的点且GF＝2AF，连接EF，则线段EF的最小值是 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，共84分。如无特殊说明，解答应写出文字说明、计算步骤或推理过程） 19．（6分）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）﹣（x+3）2+2x2，其中x2﹣3x﹣2＝0． 20．（8分）解方程组和不等式组： （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 21．（8分）2024年3月5日上午，国务院总理李强代表国务院在十四届全国人大二次会议上作政府工作报告，提到“深化全民阅读活动”，某校为了解全校学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 组别 每周阅读时间t/min 频数 频率 第一组 30≤t＜60 4 0.1 第二组 60≤t＜90 7 0.175 第三组 90≤t＜120 a 0.35 第四组 120≤t＜150 9 0.225 第五组 150≤t＜180 6 0.15 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）频数分布表中的a＝　 　； （2）补全频数分布直方图； （3）被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第 　 　组； （4）若该校共有1800名学生，试估计该校学生每周课外阅读时间不少于120min的学生人数． 22．（8分）甲、乙两人来常州旅游，两人分别从A．恐龙园，B．天宁寺，C．天目湖，三个景点中随机选择一个景点游览． （1）甲选择A景点的概率为 　 　；（直接写出答案） （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率． 23．（8分）如图，已知矩形ABCD． （1）①用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，使点E、F分别在AD、BC边上，（不写作法，保留作图痕迹） ②请证明①中作图得到的四边形BEDF是菱形． （2）若AD＝6，AB＝4，直接写出菱形BEDF的面积为 　 　． 24．（8分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． （1）求两种图书的单价分别为多少元？ （2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 25．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与两坐标轴分别交于A（2，0），B两点，与反比例函数交于点C，D，且点C的坐标为（m，4）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点M在y轴上，且使得S△MBC＝6，求点M的坐标； （3）点P在第二象限的反比例函数图象上，若tan∠OCP＝3，求点P的坐标． 26．（10分）如图，已知矩形ABCD的边AB＝4，AD＝8，点P是边BC上的动点，线段AP的垂直平分线交矩形ABCD的边于点M、N，其中点M在边AB或BC上，点N在边CD或DA上． （1）如图2，当BP＝2时，求AM的长度； （2）当△AMN是等腰三角形时，求BP能取到的值或取值范围； （3）当动点P由点B运动到点C的过程中，求点N的运动路程长为多少？ 27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）①如图1，点H在该抛物线的对称轴上，∠AHB＝∠ACB，直接写出点H的坐标为 　 　； ②如图2，连接AC，BC，抛物线上存在一点Q，使∠CBQ+∠ACO＝∠BCO，直接写出点Q的坐标为 　 　； （3）如图3，M，N是直线BC上的两个动点，点M在点N的左侧且，P是直线BC下方抛物线上的点，∠MPN＝90°，，求满足条件的点P的横坐标． 28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段PQ给出如下定义：若线段PQ与⊙O有两个交点M，N，且PM＝MN＝NQ，则称线段PQ是⊙O的“美丽线”． （1）如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段AB，AD，CB，CD中，⊙O的“美丽线”是 　 　；（直接写出答案） （2）⊙O的“美丽线”PQ与直线交于点E，求点E纵坐标yE的取值范围； （3）若⊙O的“美丽线”PQ过点（﹣1，0），直线y＝x+b与线段PQ有公共点，求出b的取值范围． 参考答案 一、选择题（每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1．（2分）下列运算结果最大的是（　　） A． B．20 C．2﹣1 D．（﹣2）3 【解答】解：＝2，20＝1，2﹣1＝，（﹣2）3＝﹣8， 故选：A． 2．（2分）下列运算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（ab2）3＝a3b5 D．3a3•（﹣4a2）＝﹣12a5 【解答】解：A、2a与3b不是同类项，没法合并，故选项A不正确； B、由完全平方公式得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项B不正确； C、由积的乘方和幂的乘方得，（ab2）3＝a3（b2）3＝a3b6，故选项C不正确； D、单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式，故选项D正确． 故选：D． 3．（2分）下列调查中，最适合采用全面调查的是（　　） A．了解全国中学生的睡眠时间 B．了解某河流的水质情况 C．调查全班同学的视力情况 D．了解一批灯泡的使用寿命 【解答】解：A．了解全国中学生的睡眠时间，适合进行抽样调查，故本选项不合题意； B．了解某河流的水质情况，适合进行抽样调查，故本选项不合题意； C．调查全班同学的视力情况，适合进行全面调查，故本选项符合题意； D．了解一批灯泡的使用寿命，适合进行抽样调查，故本选项不合题意； 故选：C． 4．（2分）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝121°，DE与地面平行，∠ABD＝48°，则∠DCE＝（　　） A．78° B．73° C．69° D．61° 【解答】解：由题意得：DE∥AB， ∴∠ABD＝∠D＝48°， ∵∠DEF是△DCE的一个外角， ∴∠DCE＝∠DEF﹣∠D＝121°﹣48°＝73°， 故选：B． 5．（2分）我国古代对于数学的研究非常深刻，它为中华民族乃至人类文明的发展做出了重大贡献，其中，主要记载汉代数学成就，率先提出勾股定理，并在测量太阳高远的方法中给出勾股定理的一般公式的著作是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，成书于公元前300年左右，故不符合题意； B、在天文学方面，《周髀》主要阐述盖天说和四分历法．中国古代天文学按照所提出的宇宙模式学说可分为三家，《周髀》是其中的代表．在数学方面，《周髀》代表了当时的最高水平，记载了汉代最新数学成就，在许多领域都有创新．《周髀》还率先提出了几何学上重要的勾股定理，并在测量太阳高远的方法中给出了勾股定理的一般公式，故符合题意； C、《海岛算经》是魏晋时期刘徽所著的一部测量数学著作．也是中国学者编撰的最早一部测量数学 著作，亦为地图学提供了数学基础，故不符合题意； D、《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：如解方程组，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，故不符合题意． 故选：B． 6．（2分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC＝（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【解答】解：∵∠C＝20°，∠BPC＝70°， ∴∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDC＝40°， 故选：D． 7．（2分）如图1，在△ABC中，∠ABC＝60°．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y随x变化的关系图象，其中M为曲线DE的最低点，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：作AD⊥BC，垂足为D， 当动点P运动到点D时，线段AP的长度最短，此时点P运动的路程为，即， 当动点P运动到点C时，运动结束，线段AP的长度就是AC的长度，此时， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴AB＝2BD， ∴， ∴，， ∴， 在Rt△ABD中，， ∴， ∴， ∴△ABC的面积为， 故选：C． 8．（2分）已知函数y＝x2﹣4ax+5（a为常数），当x≥4时，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两点，对任意的2a﹣2≤x1≤6和2a﹣2≤x2≤6，y1，y2总满足y1﹣y2≤5+4a2，则实数a的取值范围是（　　） A．3≤a≤4 B． C．1≤a≤2 D． 【解答】解：由题意，抛物线开口向上， ∵当x≥4时，y随x的增大而增大， ∴对称轴直线x＝2a≤4，即a≤2． ∵抛物线上的点离对称轴越远就越大， 又6﹣2a≥2，2a﹣（2a﹣2）＝2， ∴当x＝2a时，ymin＝5﹣4a2， 当x＝6时，ymax＝41﹣24a． ∴41﹣24a﹣（5﹣4a2）≤5+4a2， 解得，a≥， ∴≤a≤2． 故选：B． 二、填空题（每小题2分，共20分。不需写出解答过程） 9．（2分）计算：+＝　2　． 【解答】解：+ ＝ ＝ ＝2， 故答案为：2． 10．（2分）若代数式+在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥﹣1且x≠0　． 【解答】解：根据题意，得， 解得x≥﹣1且x≠0， 故答案为：x≥﹣1且x≠0． 11．（2分）因式分解：4a3﹣16a2+16a＝　4a（a﹣2）2　． 【解答】解：4a3﹣16a2+16a ＝4a（a2﹣4a+4） ＝4a（a﹣2）2． 故答案为：4a（a﹣2）2． 12．（2分）已知x+y＝7，x﹣y＝2，则y2﹣x2＝　﹣14　． 【解答】解：∵y2﹣x2 ＝﹣（x2﹣y2） ＝﹣（x+y）（x﹣y）， ∴当x+y＝7，x﹣y＝2时， 原式＝﹣7×2＝﹣14， 故答案为：﹣14． 13．（2分）空气质量指数（AQI）以六大污染物（PM2.5、PM10、臭氧、一氧化碳、二氧化硫、二氧化氮）浓度作为分指标．我们经常说的PM2.5就是指环境空气中空气动力学当量直径小于等于0.0000025m的颗粒物，也称细颗粒物．数据0.0000025用科学记数法表示为 　2.5×10﹣6　． 【解答】解：由题意可得0.0000025＝2.5×10﹣6， 故答案为：2.5×10﹣6． 14．（2分）在平面直角坐标系中，点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则a+b＝　1　． 【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称， ∴a＝2，b＝﹣1， 则a+b＝2﹣1＝1． 故答案为：1． 15．（2分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率π的方法．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计⊙O的面积，S正六边形＝6×，所以⊙O的面积近似为，由此可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形估计⊙O的面积，可得π的估计值为 　3　． 【解答】解：如图，由圆内接正十二边形的性质可得，∠AOB＝，过点A作AM⊥OB，垂足为M， 在Rt△AOM中，OA＝1，∠AOM＝30°， ∴AM＝OA＝， ∴S正十二边形＝12××1×＝3， 即⊙O的面积近似为3，由此可得π的估计值为3， 故答案为：3． 16．（2分）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinα+cosα）2＝　　． 【解答】解：如图，∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25， ∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为5， 设三角形的直角边长为a，b，且a﹣b＝5， ，， sinα＝，cosα＝， ∴（sinα+cosα）2＝， 故答案为：． 17．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标是（0，3），点B在x轴正半轴上，且∠BAO＝60°，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转，当点A的对应点A′落在函数的图象上时，设点B的对应点B′的坐标是（m，n），则m+n＝　3　． 【解答】解：作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E， ∵点A坐标是（0，3），点B在x轴正半轴上，且∠BAO＝60°， ∴OA＝3，＝， ∴OB＝3，， ∵∠A′OD+∠B′OE＝90°＝∠A′OD+∠OA′D， ∴∠OA′D＝∠B′OE， ∵∠A′DO＝∠B′EO＝90°， ∴△A′OD∽△OB′E， ∴＝，即＝， ∵点B′的坐标是（m，n）， ∴OE＝m，B′E＝n， ∴OD＝n，A′D＝m， ∴A′（﹣n，m）， ∵点A′落在函数的图象上， ∴﹣mn＝﹣3， ∴mn＝9， ∵OB′2＝OE2+B′E2，即m2+n2＝（3）2， ∴m2+n2+2mn＝45，即（m+n）2＝45， ∴m+n＝3（负数舍去）， 故答案为：3． 18．（2分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是CD边上的一个动点，过点G与AD平行的直线交BD于点E，连接AG，F是线段AG上的点且GF＝2AF，连接EF，则线段EF的最小值是 　　． 【解答】解：过点F作FM⊥GH于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ADG＝90°，∠EDG＝45°， ∵GH∥AD， ∴∠DGE＝90°， ∴△DEG是等腰直角三角形， ∴EG＝DG， ∵∠BAD＝∠ADG＝∠DGE＝90°， ∴四边形AHGD是矩形， ∴AH＝DG，GH＝AD＝2， ∵FM∥AH， ∴△GFM∽△GAH， ∴＝， 令DG＝x，则AH＝DG＝EG＝x， ∵GF＝2AF， ∴， ∴＝， ∴FM＝，GM＝， ∴EM＝GM﹣EG＝， 在Rt△FME中，由勾股定理得 EF＝ ＝ ＝ ＝， ∴当时，EF有最小值，是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共84分。如无特殊说明，解答应写出文字说明、计算步骤或推理过程） 19．（6分）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）﹣（x+3）2+2x2，其中x2﹣3x﹣2＝0． 【解答】解：（x+1）（x﹣1）﹣（x+3）2+2x2 ＝x2﹣1﹣x2﹣6x﹣9+2x2 ＝2x2﹣6x﹣10， ∵x2﹣3x﹣2＝0， ∴x2﹣3x＝2， ∴当x2﹣3x＝2时，原式＝2（x2﹣3x）﹣10 ＝2×2﹣10 ＝4﹣10 ＝﹣6． 20．（8分）解方程组和不等式组： （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【解答】解：（1）， ①﹣②×4，得：11y＝﹣11， 解得y＝﹣1， 将y＝﹣1代入①得：4x﹣3＝5， 解得x＝2， 则方程组的解为； （2）由2（x+1）＞x得：x＞﹣2， 由1﹣2x≥得：x≤﹣1， 则不等式组的解集为﹣2＜x≤﹣1． 21．（8分）2024年3月5日上午，国务院总理李强代表国务院在十四届全国人大二次会议上作政府工作报告，提到“深化全民阅读活动”，某校为了解全校学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 组别 每周阅读时间t/min 频数 频率 第一组 30≤t＜60 4 0.1 第二组 60≤t＜90 7 0.175 第三组 90≤t＜120 a 0.35 第四组 120≤t＜150 9 0.225 第五组 150≤t＜180 6 0.15 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）频数分布表中的a＝　14　； （2）补全频数分布直方图； （3）被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第 　三　组； （4）若该校共有1800名学生，试估计该校学生每周课外阅读时间不少于120min的学生人数． 【解答】解：（1）本次共随机调查了学生：4÷0.1＝40（人）， a＝40×0.35＝14， 故答案为：14； （2）补全频数分布直方图： （3）被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第三组， 被调查的这些学生每周课外阅读时间的平均数为： ×（45×4+75×7+105×14+135×9+165×6）＝109.5， 故答案为：三； （3）1800×（0.225+0.15）＝675（人）， 答：估计该校学生每周课外阅读时间不少于120min的学生有675人． 22．（8分）甲、乙两人来常州旅游，两人分别从A．恐龙园，B．天宁寺，C．天目湖，三个景点中随机选择一个景点游览． （1）甲选择A景点的概率为 　　；（直接写出答案） （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率． 【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲选择A景点的结果有1种， ∴甲选择A景点的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共5种， ∴甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率为． 23．（8分）如图，已知矩形ABCD． （1）①用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，使点E、F分别在AD、BC边上，（不写作法，保留作图痕迹） ②请证明①中作图得到的四边形BEDF是菱形． （2）若AD＝6，AB＝4，直接写出菱形BEDF的面积为 　　． 【解答】（1）①解：图形如图所示： ②证明：由作图可知EF垂直平分线段BD， ∴EB＝ED，OB＝OD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO， 在△EOD和△FOB中， ， ∴△EOD≌△FOB（ASA）， ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EB＝ED， ∴四边形BEDF是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， 设EB＝ED＝x，则有x2＝42+（6﹣x）2， 解得x＝， ∴菱形BEDF的面积＝DE•AB＝×4＝． 故答案为： 24．（8分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． （1）求两种图书的单价分别为多少元？ （2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 【解答】解：（1）设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是x元， 根据题意得：﹣＝5， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意， ∴x＝×40＝30． 答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元； （2）设购买m本《孙子算经》，则购买（80﹣m）本《周髀算经》， 根据题意得：80﹣m≥m， 解得：m≤． 设购买这两种图书共花费w元，则w＝30×0.8m+40×0.8（80﹣m）， ∴w＝﹣8m+2560， ∵﹣8＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵m≤，且m为正整数， ∴当m＝53时，w取得最小值，此时80﹣m＝80﹣53＝27． 答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少． 25．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与两坐标轴分别交于A（2，0），B两点，与反比例函数交于点C，D，且点C的坐标为（m，4）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点M在y轴上，且使得S△MBC＝6，求点M的坐标； （3）点P在第二象限的反比例函数图象上，若tan∠OCP＝3，求点P的坐标． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于A（2，0）， ∴﹣2+b＝0，解得b＝2， ∴一次函数解析式为：y＝﹣x+2， ∵点C的坐标为（m，4）且在直线上， ∴﹣m+2＝4，解得m＝﹣2． ∴C（﹣2，4）， ∵点C（﹣2，4）在反比例函数图象上， ∴k＝﹣8， ∴反比例函数解析式为：y＝﹣． （2）由直线解析式可知B（0，2），设M坐标为（0，m）， ∴S△MBC＝×丨m﹣2丨×2＝6， ∴m﹣2＝6或m﹣2＝﹣6， 解得m＝8或﹣4， ∴M（0，8）或（0，﹣4）． （3）作OQ⊥PC于Q，过Q作HG⊥x轴于点G，CH∥x轴交HG于H， 则△CHQ∽△QGO， ∴， ∵tan∠OCP＝3， ∴， 设CH＝x，则GQ＝3x，HQ＝4﹣3x， ∴OG＝3HQ＝12﹣9x＝x+2，解得x＝1， ∴Q（﹣3，3）， ∴直线CQ的解析式为：y＝x+6， ∴x+6＝﹣， 解得x1＝﹣2，x2＝﹣4， ∵点P与点C不重合， ∴P（﹣4，2）． 26．（10分）如图，已知矩形ABCD的边AB＝4，AD＝8，点P是边BC上的动点，线段AP的垂直平分线交矩形ABCD的边于点M、N，其中点M在边AB或BC上，点N在边CD或DA上． （1）如图2，当BP＝2时，求AM的长度； （2）当△AMN是等腰三角形时，求BP能取到的值或取值范围； （3）当动点P由点B运动到点C的过程中，求点N的运动路程长为多少？ 【解答】解：（1）如图，设AP与MN相交于O， ∵矩形ABCD， ∴∠ABP＝90°， ∴， ∵MN垂直平分AP， ∴∠AOM＝90°，， ∵∠AOM＝∠ABP＝90°，∠OAM＝∠BAP， ∴△AOM∽△ABP ∴， ∴， ∴AM＝2.5． （2）当BP＜4时，点P从点B到BC边的中点运动（不包括中点），则点M在AB上运动，点N 在从CD的中点到AD的中点运动（不包括AD的中点）， 当MN＝AN时，连接MP，过点N作NQ⊥AM于Q，如图， ∵MN＝AN，NQ⊥AM， ∴， ∵四边形ABCD为矩形， ∴四边形ADNM为矩形， ∴， ∵MN垂直平分AP， ∴AM＝MP，∠AOM＝90°， ∴∠MAO+∠AMO＝90°， ∵MN＝AN， ∴∠NAM＝∠NMA， ∵∠NAD+∠NAM＝∠BAD＝90°， ∴∠MAO＝∠NAD，即∠BAP＝∠NAD， ∵∠ABP＝∠ADN＝90°， ∴△ABP∽△ADN， ∴， ∴， 设BP＝x，则AM＝MP＝4x，MB＝4﹣4x， ∴在Rt△MBP中，由勾股定理，得， x2+（4﹣4x）2＝（4x）2， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴当时，△AMN是等腰三角形； ②当4≤BP≤8时，点P从BC中点向点C运动，点M从点B向点P运动，点N从AD中点向点D运动，连接AM，如图， ∵矩形ABCD， ∴BC∥AD， ∴∠OAN＝∠OPM，∠ONA＝∠OMP， ∵MN垂直平分AP， ∴OA＝OP，AM＝PM， ∴△AON≌△POM（AAS） ∴AN＝PM， ∴AN＝PM， 即△AMN是等腰三角形， ∴当4≤BP≤8时，△AMN是等腰三角形， 综上，当△AMN是等腰三角形时，BP能取到的值为或取值范围为4≤BP≤8． （3）解：当BP≤4时，点P 从点B到BC边的中点运动，则点N 在从CD的中点到AD的中点运动， ∴运动距离为， 当4＜BP≤8时，点P从BC中点向点C运动，点M从点B向点P运动，点N从AD中点向点D运动， 当BP＝8时，即点P与点C重合，取AD中点E，连接OE，如图， 由勾股定理，得， ∴， ∵点E是AD， ∴， ∵MN垂直平分AP， ∴O是AC，点P与点C重合， ∴OE是△ADC的中位线， ∴OE∥BC， ∴∠AEO＝90°， ∴∠AEO＝∠AON＝90°， ∵∠EAO＝∠OAN， ∴△AOE∽△ANO， ∴， ∴， ∴AN＝5， ∴EN＝AN﹣AE＝1， ∴当动点P由点B运动到点C的过程中，求点N的运动路程长＝6+1＝7， 答：当动点P由点B运动到点C的过程中，求点N的运动路程长为7． 27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）①如图1，点H在该抛物线的对称轴上，∠AHB＝∠ACB，直接写出点H的坐标为 　（1，）　； ②如图2，连接AC，BC，抛物线上存在一点Q，使∠CBQ+∠ACO＝∠BCO，直接写出点Q的坐标为 　（2，3）或（）　； （3）如图3，M，N是直线BC上的两个动点，点M在点N的左侧且，P是直线BC下方抛物线上的点，∠MPN＝90°，，求满足条件的点P的横坐标． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3）， ∴a•1×（﹣3）＝3， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3； （2）①如图1， ∵∠AHB＝∠ACB， ∴A、B、H、C共圆， 作OI⊥BC，交对称轴于I， ∵OC＝OB＝3，∠BOC＝90°， ∴OI平分BC， ∵对称轴x＝1平分AB， ∴I是四边形ABHC外接圆的圆心， ∴I（1，1）， ∴IH＝IB＝， ∴H（1，）， 故答案为（1，）； ②如图2， 作QW⊥x轴于W，交BC于V， ∵∠CVQ＝∠BCO＝45°， ∴∠WQB+∠CBQ＝45°， ∵∠CBQ+∠ACO＝∠BCO， ∴∠BQW＝∠ACO， 由对称可得， Q（2，3）， 作∠Q′BC＝∠CBQ，交抛物线于Q′，交OC于R， ∵∠CBQ'+∠ACO＝45°， ∠Q′BC+∠ABQ′＝45°， ∴∠ABQ′＝∠ACO， ∵OB＝OC，∠AOC＝∠BOC， ∴△BOR≌△COA（ASA）， ∴OR＝OA＝1， ∴R（0，1）， ∴yBQ′＝﹣， 由﹣得， x1＝3（舍去），x2＝﹣， 当x＝﹣时，y＝， ∴Q′（﹣，）， 故答案为：（2，3）或（）； （3）如图3， 过点P作GH⊥x轴，作MG⊥GH于G，作NH⊥GH于H，作NE⊥MG于E， ∴∠G＝∠H＝90°， ∴∠GMP+∠MPG＝90°， ∵∠MPN＝90°， ∴∠MPG+∠NPH＝90°， ∴∠GMP＝∠NPH， ∴∠MPG∽△PNH， ∴， ∵tan∠PMN＝， ∴， ∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°， ∴∠MNG＝∠CBO＝45°，直线NM的解析式为：y＝﹣x+3， ∴ME＝EN＝， 设点M（m，3﹣m），则N（m+2，1﹣m），设P（x，y）， ∴MG＝3﹣m﹣y，PG＝x﹣m，PH＝m+2﹣x，NH＝1﹣m﹣y， ∴， ∴， ∵P在抛物线y＝﹣x2+2x+3上， ∴﹣（m+）2+2（m+）+3＝﹣m+， ∴m＝， ∴x＝m+＝， ∴P点横坐标为：或． 28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段PQ给出如下定义：若线段PQ与⊙O有两个交点M，N，且PM＝MN＝NQ，则称线段PQ是⊙O的“美丽线”． （1）如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段AB，AD，CB，CD中，⊙O的“美丽线”是 　AB　；（直接写出答案） （2）⊙O的“美丽线”PQ与直线交于点E，求点E纵坐标yE的取值范围； （3）若⊙O的“美丽线”PQ过点（﹣1，0），直线y＝x+b与线段PQ有公共点，求出b的取值范围． 【解答】（1）如图， ∵AF＝EF＝BF＝2， ∴AB是⊙O的“美丽线”， ∵BC＝⊙O不相交，，DK≠GK≠CG， ∴BC和AD、CD不是⊙O的“美丽线”， 故答案为：AB； （2）如图， 以O为圆心，3为半径画圆交直线x＝于E和E'， ∵EF＝＝＝， ∴﹣≤yE≤； （3）如图， 以O'（1，0）为圆心，2为半径画圆O'，直线y＝x+b1⊙相切， 此时b1＝﹣2﹣1， 以O″（﹣2，0）为圆心，1为半径作⊙O″，直线y＝x+b2与⊙O″线切， 此时b2＝+2， ∴﹣2﹣1≤b≤+2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$