1.4 充分条件与必要条件（六个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）

1.4充分条件与必要条件 一、命题的概念及真假 四、充分、必要条件的探索 二、充分、必要、充要条件的判定 五、根据充分、必要条件求参数 三、充要条件的探索 六、充要条件的证明 知识点1命题及相关概念 定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 重难点一 命题的概念及真假 【例1】下列命题中正确的个数有（    ）． ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 【变式1-1】（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 【变式1-2】把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【变式1-3】判断下列命题的真假并说明理由： (1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根； (2)如果一元二次方程有实数根，那么． 知识点2充分条件与必要条件 1.充分、必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件不能推出结论,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 2.充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 重难点二 充分、必要、充要条件的判定 【例3】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4】指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答） (1)p：x为自然数，q：x为整数； (2)p：，q：； (3)p：同位角相等，q：两直线平行； (4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形． 【变式2-1】已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】是的 条件． 【变式2-3】下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 重难点三 充要条件的探索 【例5】下面四个条件中，使成立的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【例6】求关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件． 【变式3-1】（多选）设全集为U，在下列选项中，是的充要条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，求成立的充要条件． 【变式3-3】设a，b，，求关于x的方程有一个根为的一个充要条件. 重难点四 充分、必要条件的探索 【例7】“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【例8】“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选）“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】“一元二次方程有两个正实数根”的一个充分不必要条件可以为 ；一个必要不充分条件可以为 . 【变式4-3】请写出“”的一个必要不充分条件： ． 重难点五 根据充分、必要条件求参数 【例9】已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（    ） A． B． C． D． 【例10】已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ． 【变式5-1】已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【变式5-2】已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式5-3】设全集，集合，非空集合 (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 重难点六 充要条件的证明 【例11】已知，求证：成立的充要条件是. 【例12】证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【变式6-1】求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【变式6-2】已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数.请判断：p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?“若p，则q”的命题满足上面条件，你能用数学语言概括出来吗? 【变式6-3】求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 2．有限集合中元素的个数记作，若都为有限集合,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象与x轴没有交点的充要条件是（    ） A． B． C． D．， 6．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 二、多选题 8．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．若a，b，，则“”的充要条件是“” D．若a，，则“”是“”的充要条件 9．已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．“”是“一元二次方程有实数解”的 条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”） 11．若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 12．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ；若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 四、解答题 13．判断下列各题中p是q的什么条件． (1)，中至少有一个不为零； (2)，； (3)，． 14．已知：实数满足集合，：实数满足集合或． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 15．已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4充分条件与必要条件 一、命题的概念及真假 四、充分、必要条件的探索 二、充分、必要、充要条件的判定 五、根据充分、必要条件求参数 三、充要条件的探索 六、充要条件的证明 知识点1命题及相关概念 定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 重难点一 命题的概念及真假 【例1】下列命题中正确的个数有（    ）． ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①：可得,①正确； 对于②：可得,②正确； 对于③：则或,③错误； 对于④：可得,④正确. 故选：C. 【例2】判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 【答案】(1)是命题，且是假命题 (2)不是命题 (3)不是命题 (4)不是命题 (5)是命题，且是真命题 (6)是命题，且是假命题 【详解】（1）任何负数都小于零，故该语句是命题，且是假命题． （2）两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法判断真假，故不是命题． （3）因为是未知数，无法判断是否大于零，所以不是命题． （4）空集是任何非空集合的真子集，集合是否为非空集合无法判断，故不是命题． （5）6是所给方程的解，故该语句是命题，且是真命题． （6）由于给定方程的判别式， 可知给定方程无实根，故该语句是命题，且为假命题. 【变式1-1】（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 【答案】AD 【详解】对于A，所有平行四边形的对角线互相平分，所以A正确； 对于B，当时，是无理数，所以B错误； 对于C，由关于的方程有两个负根，得解得，所以C错误． 对于D，两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比，所以D正确． 故选：AD 【变式1-2】把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【答案】(1)答案见解析，真命题． (2)答案见解析，真命题． (3)答案见解析，假命题． 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． （2）若，则，是真命题． （3）已知、为正整数，若，则且，是假命题． 【变式1-3】判断下列命题的真假并说明理由： (1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根； (2)如果一元二次方程有实数根，那么． 【答案】(1)真命题，理由见解析 (2)假命题，理由见解析 【详解】（1）真命题．理由：若，则， 故方程有实数根，命题是真命题． （2）假命题．理由：因为当时，显然方程有实数根， 此时不满足，所以命题是假命题． 知识点2充分条件与必要条件 1.充分、必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件不能推出结论,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 2.充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 重难点二 充分、必要、充要条件的判定 【例3】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为所表示的范围要小于所表示的范围， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【例4】指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答） (1)p：x为自然数，q：x为整数； (2)p：，q：； (3)p：同位角相等，q：两直线平行； (4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形． 【答案】(1)p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件 (2)p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件 (3)p是q的充要条件；q是p的充要条件 (4)p是q的既不充分也不必要条件；q是p的既不充分也不必要条件 【详解】（1）x为自然数，则为整数，但为整数，不妨令，则不是自然数， 故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （2），而， 故p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件； （3）同位角相等，可得到两直线平行，反之，两直线平行，可得到同位角相等， p是q的充要条件；q是p的充要条件； （4）若四边形的两条对角线相等，则四边形可能为等腰梯形，故充分性不成立， 若四边形是平行四边形但不是矩形，则两条对角线不相等，故必要性不成立. 故p是q的既不充分也不必要条件；q是p的既不充分也不必要条件. 【变式2-1】已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】时，可能，此时无法推出， 而时，隐含，两边同时乘以，得到． 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式2-2】是的 条件． 【答案】充要 【详解】由得到，即， 当时，则，所以， 所以是的充要条件， 故答案为：充要. 【变式2-3】下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 (4)充要条件 (5)充分非必要条件 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分非必要条件． 重难点三 充要条件的探索 【例5】下面四个条件中，使成立的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，满足，不满足；当时，满足，不满足，故是的既不充分也不必要条件，所以A不正确； 因为，所以是成立的充要条件，所以B正确； 当时，，，；当时，满足，但不满足，所以是的必要不充分条件，所以C不正确； 当时，；当时，满足，但不满足，所以是的充分不必要条件，所以D不正确. 故选：B 【例6】求关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件． 【答案】或 【详解】当开口向上，，所以,当开口向下，，所以满足充要条件 故答案为：或. 【变式3-1】（多选）设全集为U，在下列选项中，是的充要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】 由维恩图可知，A不是的充要条件，B，C，D都是的充要条件， 故选：BCD． 【变式3-2】已知，求成立的充要条件． 【答案】 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 当时，成立， 所以在的条件下，成立的充要条件是. 【变式3-3】设a，b，，求关于x的方程有一个根为的一个充要条件. 【答案】. 【详解】解:因为关于x的方程有一个根为， 所以代入得，下证明充要性. 充分性：，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为，满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． 重难点四 充分、必要条件的探索 【例7】“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，解得或， 设或，“”的充分不必要条件为集合， 则，所以ABC错，D正确. 故选：D. 【例8】“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以即， 对于,，是“”成立的充要条件，故错误； 对于，，是“”成立的充分不必要条件，故错误； 对于,是“”成立的必要不充分条件，故正确； 对于，，是“”成立的既不充分又不必要条件， 故选：. 【变式4-1】（多选）“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】集合只有3个真子集，即集合A中只有2个元素， 因为，则有： 当时，； 当时，； 当时，； 则的取值范围为， 由，，， 可知选项ABD中的范围符合充分不必要条件； 又因为与之间没有包含关系，可知是的既不充分也不必要条件； 故选：ABD. 【变式4-2】“一元二次方程有两个正实数根”的一个充分不必要条件可以为 ；一个必要不充分条件可以为 . 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【解析】先求使一元二次方程有两个正实数根的充要条件，再根据条件求解即可. 【详解】解：因为一元二次方程有两个正实数根， 所以，解得. 所以一元二次方程有两个正实数根的充要条件为. 故一元二次方程有两个正实数根的一个充分不必要条件可以为； 一元二次方程有两个正实数根的一个必要不充分条件可以为. 故答案为：；. 【点睛】本题考查充分不必要条件，必要不充分条件，解题的关键是求出使条件满足的充要条件，是基础题. 【变式4-3】请写出“”的一个必要不充分条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】对于，两边平方可得，即“”是“”的必要条件； 对于，两边开平方可得；即“”不是“”的充分条件， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：（答案不唯一）. 重难点五 根据充分、必要条件求参数 【例9】已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设集合或，集合， 因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 故， 所以B选项符合要求，ACD选项不符合要求. 故选：B. 【例10】已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ． 【答案】 【详解】依题意，， 若，则，满足是的必要不充分条件. 当时，， 由于是的必要不充分条件，所以或， 解得或， 综上所述，的所有可能取值构成的集合为. 故答案为： 【变式5-1】已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，得， 因为是的一个必要不充分条件，则不能推出，但能推出， 则，即. 故答案为： 【变式5-2】已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 【变式5-3】设全集，集合，非空集合 (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知全集，集合，非空集合， 因为是的充分条件， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是； （2）因为是的必要条件， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 重难点六 充要条件的证明 【例11】已知，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】先证充分性：因为，所以， 所以 . 再证必要性：因为， 所以，又，所以且， 所以，所以，即. 综上可知，当时，成立的充要条件是. 【例12】证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【答案】证明见解析 【详解】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【变式6-1】求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】证明见解析 【详解】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 【变式6-2】已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数.请判断：p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?“若p，则q”的命题满足上面条件，你能用数学语言概括出来吗? 【答案】答案见解析 【详解】因为p：整数a是6的倍数，则该整数a一定是2和3的倍数，故p是q的充分条件， 又因为q：整数a是2和3的倍数，则该整数a是6的倍数，故p是q的必要条件. 数学语言概括：，即. 【变式6-3】求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【答案】证明见解析 【详解】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即， 充分性：若，则，即满足方程， 则关于x的方程有一个根为2； 综上命题得证． 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 【答案】B 【详解】若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误； 由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则则这个四边形是矩形，故B正确； 因为对于任意实数，，故C错误； 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误； 故选：B 2．有限集合中元素的个数记作，若都为有限集合,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以，又因为都为有限集合， 所以，则正向可以推出， 若，举例，，但，则反向无法推出， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为p是q的充分不必要条件，则，于是， 所以a的取值范围是. 故选：C 4．集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 因为的充分条件是，所以， 则， 故选：B. 5．二次函数的图象与x轴没有交点的充要条件是（    ） A． B． C． D．， 【答案】B 【详解】由二次函数的图象与x轴没有交点， 故，得， 故答案为：B 6．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】依题意有， 故，， 于是即，充分性获证， 取，则，但，故无必要性， 故选：A. 7．设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】当，或，时，， 由时知，， 当时，根据定义可知，所以，故只要满足且即可， 显然不止，或，这种情况， 比如，等也满足， 所以“，或，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 二、多选题 8．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．若a，b，，则“”的充要条件是“” D．若a，，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【详解】当时，有，也有，因此不能得出， 反之当时，，但，即由也不能得出， 所以两者既不充分也不必要，故A错误； 当时，，但， 当时，，故B正确； 当时，，从而， 反之，时，若，则， 所以两者不是充要条件，故C错误； 且，D正确， 故选：BD． 9．已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，，若“”是真命题， 当时，则，即，解得或， 当时，则由题意可得方程有两个非负实数根， 所以，解得， 综上，的取值范围是，即是真命题的充要条件为， 故其充分不必要条件为它的真子集，故B、C、D均符合题意. 故选：BCD 三、填空题 10．“”是“一元二次方程有实数解”的 条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”） 【答案】充分不必要 【详解】若一元二次方程有实数解，则，解得， 所以由推得出一元二次方程有实数解，故充分性成立， 由一元二次方程有实数解推不出，故必要性不成立； 所以“”是“一元二次方程有实数解”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 11．若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 【答案】 【详解】由， 因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ， 所以有，等号不同时成立，解得. 故答案为： 12．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ；若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 或 【详解】当时，，其图像与轴只有一个交点，符合题意； 当时，的图像与轴只有一个交点，则，符合题意； 条件或 条件是条件的充分不必要条件，则或实数为或 当时，由得，； 当时，由得，； 条件是条件的必要不充分条件，且条件或，条件 ，即 故答案为：或；实数的取值范围是. 四、解答题 13．判断下列各题中p是q的什么条件． (1)，中至少有一个不为零； (2)，； (3)，． 【答案】(1)p是q的充分不必要条件 (2)p是q的充分不必要条件 (3)p是q的充要条件 【详解】（1）若可得中至少有一个不为零，即充分性成立， 但中至少有一个不为零不能得出，例如，即必要性不成立， 所以p是q的充分不必要条件. （2）若可得，即充分性成立， 但不能得出，例如，即必要性不成立， 所以p是q的充分不必要条件. （3）由题意可知：等价于，等价于， 所以等价于， 所以p是q的充要条件. 14．已知：实数满足集合，：实数满足集合或． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）因为，所以，又或， 所以或； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，所以或， 所以或． 15．已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明见解析 【详解】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$