专题12 直线的交点坐标与距离公式8种常考题型归类（106题）-2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题12 直线的交点坐标与距离公式8种常考题型归类（106题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 两条直线的交点问题 （1） 由方程组解的个数判断直线的位置关系 （二）由方程组解的个数求参数 （三）求直线交点坐标 （四）由直线相交的位置关系求参数 （五）由直线的交点求参数 （六）求过交点的直线方程 题型二 三线围成三角形问题 题型三 两点间的距离公式 （1） 求两点间的距离 （2） 由两点间的距离求参数 （3） 距离公式求最值 （四）判断三角形、四边形的形状 （五）求三角形、四边形的周长、面积 题型四 点到直线的距离 （一）求点到直线的距离 （二）已知点到直线的距离求参数 （三）与点到直线的距离有关的最值问题 （四）求到两点距离相等的直线方程 题型五 两平行线间的距离 题型六 距离的综合应用 题型七 直线的对称问题 （一）求点关于直线的对称点 （二）求直线关于点的对称直线 （三）求直线关于直线的对称直线 （四）反射光线问题 题型八 将军饮马问题 知识点1：两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 知识点2：两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 知识点3：点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 知识点4：两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 解题策略 1．两条直线相交的条件 (1)将两个直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两条直线是否相交．当方程组只有一解时，两条直线相交． (2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)． (3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2. 2．判断两条直线关系的方法 (1)利用方程组解的个数，将“形”的问题转化成“数”的问题． (2)利用斜截式方程中斜率和截距的关系． (3)利用一般式中系数的关系 3．过两条直线交点的直线系方程 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数，不包含l2)． 4．对称问题 (1)中心对称 ①点关于点的对称．若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 ②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点坐标求出直线方程． (2)轴对称 ①点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由 得出． 对称点坐标x2＝x1－2A·， y2＝y1－2B·. ②直线关于直线对称 求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法：转化为点关于直线对称．在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点坐标求出l2的方程． 注：对称问题 (1)光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题． (2)常用对称的特例 ①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)； ②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)； ③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)； ④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)； ⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)； ⑥Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a，2n－b)． 5．过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法)：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解． 6.判断四边形与三角形形状的方法 (1)判断四边形形状的方法是：若两组对边均平行，则是平行四边形，进而再判断是否是矩形、菱形或正方形；若一组对边平行，进而再判断是否是等腰梯形或直角梯形；若两组对边均不平行，则为一般四边形． (2)利用两点间距离公式求出线段的长度，再根据各边长度判断三角形或四边形形状是常见题型．解题时要注意方程思想和分类讨论思想的应用． 7.解含有参数的直线恒过定点问题的方法 方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． 方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 8．对两点间距离公式的理解 (1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝. (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|； 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 9．点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|； (3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|； (4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|. 10．应用点到直线的距离公式应注意的问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝. (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系． 11.点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点P(x0，y0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. (3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 12．对两条平行直线间的距离公式的理解 (1)求两条平行直线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式． (2)利用公式求平行直线间的距离时，两条直线的方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． (3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①两条直线都与x轴垂直时，若l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②两条直线都与y轴垂直时，若l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 13.求两条平行直线间距离的两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行直线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)直接利用两条平行直线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝ ；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝，必须注意两条直线方程中x，y的系数对应相等． 14.两种距离公式在解析几何中的应用 (1)点到直线的距离公式及两平行线间的距离公式是解析几何的基本公式之一，在解析几何中具有重要的作用． (2)在使用距离公式时要首先把直线方程化为一般式． 题型一 两条直线的交点问题 （一）由方程组解的个数判断直线的位置关系 1．（2024·高二课时练习）分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 2.（2024·高二课时练习）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． （二）由方程组解的个数求参数 3.（2024·高二校联考课时练习）若关于，的方程组有唯一解，则实数满足的条件是________. 4.（2024·江苏·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 5.（2024·高二校联考课时练习）已知三条直线，，. （1）若直线，，交于一点，求实数的值； （2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值. 6.（2024·上海·高三专题练习）若关于、的方程组无解，则实数________ 7.（2024·高二课时练习）若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则______． 8.（2024·高二课时练习）关于､的二元一次方程组有无穷多组解，则与的积是_____. （三）求直线交点坐标 9.（2023·江苏·高二假期作业）直线与直线的交点坐标是（    ） A．(2,0) B．(2,1) C．(0,2) D．(1,2) 10．（2024·高二课时练习）已知的顶点，其垂心为，求顶点A的坐标． （四）由直线相交的位置关系求参数 11．（2024·高二课时练习）直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 12.（2024秋·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习）直线与直线相交，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．且 （五）由直线的交点求参数 13.（2023·江苏·高二假期作业）两直线和的交点在轴上，则的值是（    ） A．-24 B．6 C．±6 D．24 14.（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是___________. 15.（2024·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 16．（2024·高二课时练习）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17.（2023·高二课时练习）若直线与直线相交且交点在第二象限内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（2024·高二课时练习）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（   ） A．20 B．-4 C．12 D．4 （六）求过交点的直线方程 19.（2024秋·高二课时练习）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A． B． C． D． 20.（2023·江苏·高二假期作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为___________. 21．（2024·高二课时练习）已知直线过直线和直线的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（　　） A． B．或 C．或 D．或 22.（2024·高二课时练习）已知两直线和的交点为．求： (1)过点与的直线方程； (2)过点且与直线平行的直线方程． 23.（2024·天津·高二校联考期末）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）． A． B． C． D． 24．（2024·高二课时练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（　　） A． B． C． D． 25．（福建省连江第一中学2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题）已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且． (1)求直线和的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程． 题型二 三线围成三角形问题 26.（2024·高二课时练习）使三条直线不能围成三角形的实数的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 27.（2023·江苏·高二假期作业）若三条直线，，能构成三角形，求应满足的条件．    28.【多选】（2023·全国·高二专题练习）三条直线，，构成三角形，则的值不能为（    ） A． B． C． D．－2 29.（2024·浙江宁波·高二期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则__________． 题型三 两点间的距离公式 （一）求两点间的距离 30．（2024·高二课时练习）已知三顶点坐标，试求边上的中线的长． 31．（2024·高二课时练习）点关于点对称，则________． 32．（2024·高二课时练习）直线和直线分别过定点和，则|________． 33．（2024·高二课时练习）设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是，则A与B坐标分别为________，________． 34.（2023·江苏·高二假期作业）已知，两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为，则线段的长为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 （二）由两点间的距离求参数 35．（2024·高二课时练习）已知点与点间的距离为，则________． 36.（2024·高二课时练习）已知，点在轴上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 37．（2024·高二课时练习）在直线上求一点P，使它到点的距离为5，并求直线PM的方程. （三）距离公式求最值 38.（2024秋·甘肃嘉峪关·高二校考期中）函数的最小值是_____________. 39．（2024·高二课时练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（    ）． A．3 B． C． D． 40.（2023·江苏·高二假期作业）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，求得的最小值为________． 41．（江西省八所重点中学2023届高三下学期3月联考数学（理）试题）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 42．（四川省德阳市第五中学2023-2024学年高二下学期5月月考理科数学试题）设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是______． 43．（山东省临沂市平邑县第一中学2023-2024学年高二10月月考数学试题）已知两点，动点在线段AB上运动，则的范围是________，的范围是________. （四）判断三角形、四边形的形状 44．（江苏省镇江市2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题）已知，，，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 45．（2024·高二课时练习）已知点，判断的类型. 46．（2024·高二课时练习）已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），则四边形ABCD是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 （五）求三角形、四边形的周长、面积 47．（重庆实验外国语学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题）在平面直角坐标系xoy中，． (1)求的面积； (2)判断四点是否在同一个圆上？并说明理由． 48．（辽宁省协作校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题）已知正方形的中心为坐标原点， 点的坐标为（2，1）， 点在第四象限. (1)求正方形的面积; (2)求直线和的方程. 49．（2024·高二课时练习）已知直线l过点，且分别与x，y轴正半轴交于A，B两点.O为坐标原点. (1)当面积最小时，求直线l的方程； (2)当值最小时，求直线l的方程. 题型三 点到直线的距离 （一）求点到直线的距离 50.（2023·重庆·高二统考学业考试）点(1,1)到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C． 51．（上海市青浦区2023-2024学年高二下学期期末数学试题）点到直线的距离为__________． （二）已知点到直线的距离求参数 52.（2024·广东广州·高二统考期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（    ） A或 B．或15 C．5或 D．5或15 53.（2023·江苏·高二假期作业）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C． D． 54．（2024·高二课时练习）已知到直线的距离等于4，则a的值为__________． 55.（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）求满足下列条件的直线的一般式方程： (1)经过直线,的交点，且经过点； (2)与直线垂直，且点到直线的距离为． 56.（2023春·湖南长沙·高二浏阳一中校考开学考试）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 （三）与点到直线的距离有关的最值问题 57.（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知动点在直线上，则的最小值为_________. 58.（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）点在直线上，为原点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 59．（2024·高二课时练习）直线过定点___________，原点到直线l的距离的最大值为___________. 60．（2024·高二课时练习）已知点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 61．（重庆市第十一中学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题）已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． （四）求到两点距离相等的直线方程 62．（2024·高二课时练习）过点且和的距离相等的直线方程是_________． 63.（2023·高三课时练习）已知点，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的方程为______. 64.（2023·高二课时练习）已知点，到直线的距离都等于2，求直线的方程． 题型四 两平行线间的距离 65.（2024·高二课时练习）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．2 C．14 D． 66.（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 67．（2024·高二课时练习）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ）． A．1 B．2 C． D．4 68．（2024·高二课时练习）已知直线，且∥． (1)求的值； (2)求两平行线与之间的距离． 69.（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（    ） A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2 70.（2024·高一单元测试）若两条平行直线与之间的距离是，则__________． 71．（2024·高二课时练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 72．（2024·高二课时练习）已知直线l到两条平行直线与的距离相等，则直线l的方程为__________． 73．（2024·高二课时练习）若两条平行直线与之间的距离是，则__________． 74．【多选】（2024·高二课时练习）与直线平行且到的距离等于的直线方程为（    ） A． B． C． D． 75．（2024·高二课时练习）已知直线l经过点，且被两平行直线和截得的线段之长为5．则直线l的方程为_________． 76．（上海财经大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题）若直线被两平行线与所截得的线段的长为2，则直线的倾斜角为______． 77．（2024·高二课时练习）若动点，分别在直线和直线上移动，求线段的中点到原点的距离的最小值为________． 题型五 距离的综合应用 78．（上海市上海中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 79．（上海师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期3月第二次月考数学试题）已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为______. 80．（山东省菏泽市郓城县郓城第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）已知三条直线；，，：，且原点到直线的距离是． (1)求a的值； (2)若，能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的2倍；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由． 81．（上海市青浦区2023届高三上学期9月月考数学试题）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为___________. 82．（河北省邢台市第二中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题）过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 题型六 直线的对称问题 （一）求点关于直线的对称点 83.（2024·四川遂宁·高二统考期末）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 84.（2024·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为______. 85．（2024·高二课时练习）设点关于直线的对称点为，则点的坐标为_____________，过点且与直线垂直的直线方程为_______________. 86.（2023·全国·高三对口高考）点关于直线的对称点的坐标为_________． 87．（2024·高二课时练习）若点关于直线对称，则_________；__________． 88.（2023·高二课时练习）若点关于直线对称的点是，求、的值． （二）求直线关于点的对称直线 89.（2023·高二课时练习）关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 90.（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 91.（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 92.（上海财经大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题）直线关于点对称的直线的一般式方程为______． （三）求直线关于直线的对称直线 93.（2023·高二课时练习）如果直线与直线关于轴对称，那么直线的方程是______． 94.（2023·全国·高三专题练习）两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 95．（2024·高二课时练习）试求直线关于直线对称的直线l的方程． 96.（2023·全国·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程是________. 97．（2024·高二课时练习）已知中，，边上的高线方程为，角A平分线方程为，求，边所在直线方程． 98.（2023·高二课时练习）如果直线与直线关于直线对称，那么______，______． 99.（2023春·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么（    ） A． B． C． D． （四）反射光线问题 100．（2024·高二课时练习）一条光线从点发出，经过轴反射，反射光线经过点. (1)求反射光线所在的直线方程； (2)求反射光线所在直线与坐标轴所围成的三角形面积的大小. 101．（2024·高二课时练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，使的周长最小，并求出和两点的坐标． 102.（2023春·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数______． 103.（2024·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）直线从出发，经两直线反射后，仍返回到点.则光线从P点出发回到P点所走的路程长度（即图中周长）为_________. 题型八 将军饮马问题 104.（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 105.（2023·高二课时练习）已知点和，在直线上找一点，使最小，并求这个最小值． 106.（2023春·四川资阳·高三四川省乐至中学校考开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． $$2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题12 直线的交点坐标与距离公式8种常考题型归类（106题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 两条直线的交点问题 （1） 由方程组解的个数判断直线的位置关系 （二）由方程组解的个数求参数 （三）求直线交点坐标 （四）由直线相交的位置关系求参数 （五）由直线的交点求参数 （六）求过交点的直线方程 题型二 三线围成三角形问题 题型三 两点间的距离公式 （1） 求两点间的距离 （2） 由两点间的距离求参数 （3） 距离公式求最值 （四）判断三角形、四边形的形状 （五）求三角形、四边形的周长、面积 题型四 点到直线的距离 （一）求点到直线的距离 （二）已知点到直线的距离求参数 （三）与点到直线的距离有关的最值问题 （四）求到两点距离相等的直线方程 题型五 两平行线间的距离 题型六 距离的综合应用 题型七 直线的对称问题 （一）求点关于直线的对称点 （二）求直线关于点的对称直线 （三）求直线关于直线的对称直线 （四）反射光线问题 题型八 将军饮马问题 知识点1：两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 知识点2：两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 知识点3：点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 知识点4：两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 解题策略 1．两条直线相交的条件 (1)将两个直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两条直线是否相交．当方程组只有一解时，两条直线相交． (2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)． (3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2. 2．判断两条直线关系的方法 (1)利用方程组解的个数，将“形”的问题转化成“数”的问题． (2)利用斜截式方程中斜率和截距的关系． (3)利用一般式中系数的关系 3．过两条直线交点的直线系方程 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数，不包含l2)． 4．对称问题 (1)中心对称 ①点关于点的对称．若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 ②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点坐标求出直线方程． (2)轴对称 ①点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由 得出． 对称点坐标x2＝x1－2A·， y2＝y1－2B·. ②直线关于直线对称 求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法：转化为点关于直线对称．在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点坐标求出l2的方程． 注：对称问题 (1)光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题． (2)常用对称的特例 ①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)； ②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)； ③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)； ④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)； ⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)； ⑥Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a，2n－b)． 5．过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法)：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解． 6.判断四边形与三角形形状的方法 (1)判断四边形形状的方法是：若两组对边均平行，则是平行四边形，进而再判断是否是矩形、菱形或正方形；若一组对边平行，进而再判断是否是等腰梯形或直角梯形；若两组对边均不平行，则为一般四边形． (2)利用两点间距离公式求出线段的长度，再根据各边长度判断三角形或四边形形状是常见题型．解题时要注意方程思想和分类讨论思想的应用． 7.解含有参数的直线恒过定点问题的方法 方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． 方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 8．对两点间距离公式的理解 (1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝. (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|； 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 9．点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|； (3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|； (4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|. 10．应用点到直线的距离公式应注意的问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝. (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系． 11.点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点P(x0，y0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. (3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 12．对两条平行直线间的距离公式的理解 (1)求两条平行直线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式． (2)利用公式求平行直线间的距离时，两条直线的方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． (3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①两条直线都与x轴垂直时，若l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②两条直线都与y轴垂直时，若l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 13.求两条平行直线间距离的两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行直线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)直接利用两条平行直线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝ ；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝，必须注意两条直线方程中x，y的系数对应相等． 14.两种距离公式在解析几何中的应用 (1)点到直线的距离公式及两平行线间的距离公式是解析几何的基本公式之一，在解析几何中具有重要的作用． (2)在使用距离公式时要首先把直线方程化为一般式． 题型一 两条直线的交点问题 （一）由方程组解的个数判断直线的位置关系 1．（2024·高二课时练习）分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交 (3)不相交 【分析】分别联立方程组，解方程求解即可判断. 【详解】（1）解方程组，得， 所以与相交，交点坐标为． （2）解方程组，方程组无解， 所以与无公共点，即与不相交． （3）解方程组， 因为方程可化为， 所以方程组有无数组解， 所以与有无数个公共点，即与不相交． 2.（2024·高二课时练习）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． 【答案】(1)相交，交点是 (2)答案见解析 【详解】（1）联立，解得， 所以两直线相交，交点坐标为. （2）当时，，， 联立，方程组有无数组解，故两直线重合， 当时，，， 联立，方程组无解，故两直线平行， 当，联立，解得， 所以两直线相交，交点坐标为. 综上所述：当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交，交点坐标为. （二）由方程组解的个数求参数 3.（2024·高二校联考课时练习）若关于，的方程组有唯一解，则实数满足的条件是________. 【答案】/ 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 4.（2024·江苏·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 5.（2024·高二校联考课时练习）已知三条直线，，. （1）若直线，，交于一点，求实数的值； （2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值. 【答案】（1）或；（2）或或4或. 【详解】（1）∵直线，，交于一点， ∴与不平行，∴， 由，得， 即与的交点为， 代入的方程，得， 解得或. （2）若，，交于一点，则或； 若，则； 若，则； 若，则不存在满足条件的实数. 综上，可得或或4或. 6.（2024·上海·高三专题练习）若关于、的方程组无解，则实数________ 【答案】 【详解】由题意关于、的方程组无解，即直线和直线平行，故，所以， 此时直线即，确实与平行，故满足题意，所以实数. 故答案为：-2. 7.（2024·高二课时练习）若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则______． 【答案】 【详解】依题意二元一次方程组有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由，解得或. 当时，二元一次方程组为，两直线不重合，不符合题意. 当时，二元一次方程组为，两直线重合，符合题意. 综上所述，的值为. 故答案为： 8.（2024·高二课时练习）关于､的二元一次方程组有无穷多组解，则与的积是_____. 【答案】-35 【详解】因为x､y的二元一次方程组有无穷多组解， 所以直线与直线重合， 所以，解得， 所以 ， 故答案为：-35 （三）求直线交点坐标 9.（2023·江苏·高二假期作业）直线与直线的交点坐标是（    ） A．(2,0) B．(2,1) C．(0,2) D．(1,2) 【答案】C 【详解】解方程组得， 即直线与直线的交点坐标是(0,2)． 故选：C. 10．（2024·高二课时练习）已知的顶点，其垂心为，求顶点A的坐标． 【答案】． 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再解方程组即可作答. 【详解】依题意，直线的斜率，而，则直线的方程为，即， 直线的斜率，而，则直线的方程为，即， 由，解得， 所以顶点A的坐标是. （四）由直线相交的位置关系求参数 11．（2024·高二课时练习）直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据两直线相交的条件即可求解. 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 12.（2024秋·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习）直线与直线相交，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．且 【答案】D 【详解】因直线与直线相交，则， 即，解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D （五）由直线的交点求参数 13.（2023·江苏·高二假期作业）两直线和的交点在轴上，则的值是（    ） A．-24 B．6 C．±6 D．24 【答案】C 【详解】因为两条直线和的交点在轴上， 所以设交点为， 所以，消去，可得． 故选：． 14.（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】由题意，直线， 令，可得；令，可得，即， 如图所示， 当直线过点，可得； 当直线过点，可得， 要使得直线与直线的交点在第一象限，则， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 15.（2024·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【详解】联立得， 因为直线与直线的交点位于第一象限， 所以，解得. 故选：D 16．（2024·高二课时练习）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程组求得两直线的交点为，根据题意列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程组，解得， 即两直线的交点坐标为， 因为两直线的交点位于第四象限，可得且，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 17.（2023·高二课时练习）若直线与直线相交且交点在第二象限内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若直线与直线平行或重合，则，解得， 若直线与直线相交，可得且，则有： 联立方程，解得，即交点坐标， 由题意可得：，解得； 综上所述：k的取值范围为. 故选：C. 18．（2024·高二课时练习）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（   ） A．20 B．-4 C．12 D．4 【答案】A 【分析】根据两直线垂直，列出方程求得的值，再由两种的交点为，列出方程组求得的值，即可求解. 【详解】由两直线与垂直，可得，即， 又由两直线的交点坐标是，可得，解得， 所以. 故选：A. （六）求过交点的直线方程 19.（2024秋·高二课时练习）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 20.（2023·江苏·高二假期作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为___________. 【答案】或 【详解】方法一：由，得， 所以两条直线的交点坐标为（14，10）, 由题意可得直线的斜率为1或-1， 所以直线的方程为或， 即或. 方法二：设直线的方程为，整理得， 由题意，得，解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 21．（2024·高二课时练习）已知直线过直线和直线的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求得两直线的交点坐标，根据题意，分直线与两坐标轴的截距不为和直线在两坐标轴的截距等于，两种情况讨论，即可求解. 【详解】由方程组，解得，所以两直线的交点坐标为， 因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 当直线与两坐标轴的截距不为时，可设直线的方程为， 因为直线过两直线的交点，代入可得， 所以直线的方程为； 当直线在两坐标轴的截距等于时，设直线的方程为， 因为直线过两直线的交点，代入可得，即直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或. 故选：C. 22.（2024·高二课时练习）已知两直线和的交点为．求： (1)过点与的直线方程； (2)过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) （1）设过直线和交点的直线方程为，即．①把点代入方程①，化简得，解得，所以过点P与Q的直线方程为，即． （2）由两直线平行，得，得，所以所求直线的方程为，即． 23.（2024·天津·高二校联考期末）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：B. 24．（2024·高二课时练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与直线的位置关系即可求解. 【详解】因为是直线和的公共点， 所以，且， 所以两点和都在同一条直线上， 故两点和所确定的直线方程是， 故选:A. 25．（福建省连江第一中学2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题）已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且． (1)求直线和的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由，可得直线的斜率，从而可得，联立方程组即可求得交点； （2）由题意知的斜率k存在，设，求得与坐标轴的交点坐标，再结合面积公式即可求解. 【详解】（1）（1）因为，又直线的斜率, 所以直线的斜率,则. 由 所以直线和的交点坐标为. （2）由题意知的斜率k存在，设 令得，令得， 因为直线与两坐标轴的正半轴相交，所以，解得， ，解得或， 即或. 题型二 三线围成三角形问题 26.（2024·高二课时练习）使三条直线不能围成三角形的实数的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B 27.（2023·江苏·高二假期作业）若三条直线，，能构成三角形，求应满足的条件．    【答案】且 【详解】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点． ①若，则由，得； ②若，则由，得； ③若，则由，得， 当时，与三线重合，当时，平行． ④若三条直线交于一点，由，解得， 将的交点的坐标代入的方程， 解得 (舍去)，或， 所以要使三条直线能构成三角形，需且． 28.【多选】（2023·全国·高二专题练习）三条直线，，构成三角形，则的值不能为（    ） A． B． C． D．－2 【答案】AC 【详解】直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行， 所以． 故选：AC. 29.（2024·浙江宁波·高二期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则__________． 【答案】或1 【详解】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点， 若与垂直，则； 若与垂直，则．所以或1． 故答案为：或1 题型三 两点间的距离公式 （一）求两点间的距离 30．（2024·高二课时练习）已知三顶点坐标，试求边上的中线的长． 【答案】 【分析】设点的坐标为，由为的中点，可求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求出的长． 【详解】设点的坐标为， 因为点为的中点， 所以，即点的坐标为． 由两点间的距离公式得， 所以边上的中线的长为． 31．（2024·高二课时练习）点关于点对称，则________． 【答案】 【分析】由中点坐标公式得出，再有距离公式求解即可. 【详解】由已知得，解得，即， 故答案为： 32．（2024·高二课时练习）直线和直线分别过定点和，则|________． 【答案】 【分析】求出直线、所过定点的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得的值. 【详解】将直线的方程变形为，由，可得，即点， 将直线的方程变形为， 由，可得，即点， 所以，. 故答案为：. 33．（2024·高二课时练习）设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是，则A与B坐标分别为________，________． 【答案】 ， 【分析】设，，利用中点坐标公式得到，进而得到A，B的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】设，， 因为AB中点， 所以，即，， 所以，， 所以， 故答案为：，；. 34.（2023·江苏·高二假期作业）已知，两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为，则线段的长为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【详解】因为直线和互相垂直， 所以，解得， 所以线段AB的中点为， 所以设，则，解得， 所以， 所以， 故选：C （二）由两点间的距离求参数 35．（2024·高二课时练习）已知点与点间的距离为，则________． 【答案】9或 【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可. 【详解】由， 得， 即，解得或． 故答案为：9或. 36.（2024·高二课时练习）已知，点在轴上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点C在x轴上，设点，则， 所以， 化简可得：，所以. 故选：D. 37．（2024·高二课时练习）在直线上求一点P，使它到点的距离为5，并求直线PM的方程. 【答案】或，对应直线PM的方程为或. 【分析】利用点在直线上和两点距离建立方程组求解点的坐标，求出斜率，代入点斜式求解直线方程. 【详解】设，由题意，解得或， 所以或， 当时，直线PM的斜率， 因此直线PM方程为，即； 当时，直线PM的斜率， 因此直线PM方程为，即. （三）距离公式求最值 38.（2024秋·甘肃嘉峪关·高二校考期中）函数的最小值是_____________. 【答案】5 【详解】解：因为 ， 设，，，则表示点到点，两点的距离之和，即， 点是轴上的点，则点关于轴的对称点为，则， 所以，所以的最小值是. 故答案为： 39．（2024·高二课时练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案. 【详解】, 可以看作点到点的距离之和， 作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值， 最小值为间的距离. 故选：D. 40.（2023·江苏·高二假期作业）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，求得的最小值为________． 【答案】 【详解】由变形所得函数知：表示x轴上的动点到两定点的距离之和， ∴当且仅当与重合时，有最小值为. 故答案为： 41．（江西省八所重点中学2023届高三下学期3月联考数学（理）试题）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是4， 故选：B. 42．（四川省德阳市第五中学2023-2024学年高二下学期5月月考理科数学试题）设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是______． 【答案】10 【分析】根据直线过定点可得的坐标，进而利用两直线垂直可得勾股定理，结合不等式即可求解最值. 【详解】由得，故,由得, 由于直线与直线互相垂直，所以, 故所以,当且仅当时取等号，故的最大值是10 故答案为：10 43．（山东省临沂市平邑县第一中学2023-2024学年高二10月月考数学试题）已知两点，动点在线段AB上运动，则的范围是________，的范围是________. 【答案】 【分析】画出图象，结合斜率以及两点间的距离公式、点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】，表示线段上的点与点连线的斜率（）， ，结合图象知：的取值范围是. 表示线段上的点与点连线的距离的平方， ， 直线的方程为则， 到直线的距离为 所以的范围是. 故答案为：； （四）判断三角形、四边形的形状 44．（江苏省镇江市2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题）已知，，，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据两点间的距离公式计算出，，的长度即可判断 【详解】，，， ， ，， ， 是直角三角形． 故选：A． 45．（2024·高二课时练习）已知点，判断的类型. 【答案】等腰三角形 【分析】根据两点间距离公式求出，再求出可得答案. 【详解】∵， ， ， ∴，且三边不满足勾股定理， ∵， ∴，∴三点不共线， ∴是等腰三角形． 46．（2024·高二课时练习）已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），则四边形ABCD是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【分析】利用斜率判断直线是否平行，利用两点间距离公式判断线段是否相等. 【详解】由A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1）， 有，，则， ，，， 所以四边形ABCD是梯形. 故选：A. （五）求三角形、四边形的周长、面积 47．（重庆实验外国语学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题）在平面直角坐标系xoy中，． (1)求的面积； (2)判断四点是否在同一个圆上？并说明理由． 【答案】(1) (2)四点不在同一圆上，理由详见解析 【分析】（1）根据三角形的面积公式求得的面积. （2）先判断过三点的圆的直径，再根据的大小确定正确答案. 【详解】（1）， 所以，所以， 所以的面积为. （2）四点不在同一圆上，理由如下： 由于，所以过三点的圆（设为圆）的直径是， 由（1）知是等腰直角三角形，且， 所以不是圆的圆周角，所以四点不在同一圆上. 48．（辽宁省协作校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题）已知正方形的中心为坐标原点， 点的坐标为（2，1）， 点在第四象限. (1)求正方形的面积; (2)求直线和的方程. 【答案】(1) (2)直线AB的方程为，直线的方程为 【分析】（1）由两点间距离公式与正方形面积公式求解， （2）由垂直关系与待定系数法得点坐标，再求解点斜式方程， 【详解】（1）由题意知， 所以正方形ABCD的边长为， 所以正方形ABCD的面积． （2）因为AC所在直线的方程为，且， 所以BD所在直线的方程为．设点B的坐标为，， 因为，所以，解得， 所以点B的坐标为， 所以直线AB的方程为，即， 因为，所以直线的方程为，即． 49．（2024·高二课时练习）已知直线l过点，且分别与x，y轴正半轴交于A，B两点.O为坐标原点. (1)当面积最小时，求直线l的方程； (2)当值最小时，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线l，分别令得出坐标，然后得到面积表达式，利用基本不等式求得最值，即可得到此时斜率，即得到直线方程. （2）计算出，得到表达式，利用基本不等式得到最值，即可得到此时斜率，即得到直线方程. 【详解】（1）由题意得斜率 设l，令，则，令，， 则， 所以 当且仅当，即（因故正值舍去）时等号成立. 故直线l的方程为，即. （2）， 因为 当且仅当，即1时等号成立.又，故 故直线l的方程为 即 题型三 点到直线的距离 （一）求点到直线的距离 50.（2023·重庆·高二统考学业考试）点(1,1)到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C． 【答案】A 【详解】， 故选：A 51．（上海市青浦区2023-2024学年高二下学期期末数学试题）点到直线的距离为__________． 【答案】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 故答案为：. （二）已知点到直线的距离求参数 52.（2024·广东广州·高二统考期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（    ） A或 B．或15 C．5或 D．5或15 【答案】D 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以,解得或5. 故选:D. 53.（2023·江苏·高二假期作业）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得． 解得或．，． 故选：C. 54．（2024·高二课时练习）已知到直线的距离等于4，则a的值为__________． 【答案】10或 【分析】利用点到直线距离公式可直接构造方程求得a的值． 【详解】由到直线的距离等于4， 则，解得或． 故答案为：10或． 55.（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）求满足下列条件的直线的一般式方程： (1)经过直线,的交点，且经过点； (2)与直线垂直，且点到直线的距离为． 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）联立，得，即， 由两点式得，即. （2）因为与直线垂直，所以直线的斜率为， 设直线，即， 依题意得，解得或， 所以直线的方程为或. 56.（2023春·湖南长沙·高二浏阳一中校考开学考试）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】D 【详解】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. （三）与点到直线的距离有关的最值问题 57.（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知动点在直线上，则的最小值为_________. 【答案】2 【详解】因为表示动点到坐标原点， 所以的最小值为到线的距离. 故答案为：2. 58.（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）点在直线上，为原点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】原点到直线的距离为， 根据垂线段的性质可知的最小值是， 故选：A 59．（2024·高二课时练习）直线过定点___________，原点到直线l的距离的最大值为___________. 【答案】 【分析】将化为可得直线所过定点； 由第一空答案结合图形，可得原点到直线l的距离的最大值. 【详解】由可得，则， 得，故l过定点；如图，设定点为A，当时，原点到直线l的距离的最大.理由如下：设为过A点的除l外的一条直线，其到原点距离如图为， 因为直角三角形，则.故当且仅当时，原点到直线l的距离的最大.此时最大距离为. 故答案为：；. 60．（2024·高二课时练习）已知点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标是，则线段AB垂直直线时，线段AB最短，根据两直线垂直的斜率关系即可求解. 【详解】因为点在直线上运动， 所以可设点的坐标是， 当线段AB垂直直线时，线段AB最短， 由直线得其斜率为-1， 则，得， 所以的坐标是. 故选：A 61．（重庆市第十一中学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题）已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题首先求出，然后发现直线：恒过定点，由图可得点到直线：距离的最大值可转化为点与点的距离. 【详解】由题意知，直线：恒过定点， 直线：恒过定点，如图所示， 过作的垂线段，垂足为， 那么必有，当且仅当与重合时取等号， 从而的最大值为， 即点到直线：距离的最大值是. 故选：D.    （四）求到两点距离相等的直线方程 62．（2024·高二课时练习）过点且和的距离相等的直线方程是_________． 【答案】或 【分析】当斜率不存在时，验证不满足条件；当若斜率存在时，设直线方程为，利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】若斜率不存在时，过点的直线为，此时不满足条件； 若斜率存在时，设过点的直线，即． 根据题意，可得，解得或， 当时，直线方程为， 当时，直线方程为 综上可得，直线方程为或． 故答案为：或 63.（2023·高三课时练习）已知点，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的方程为______. 【答案】或 【详解】依题意，到直线的距离相等. 的中点为， 当过以及时， 直线的方程为. 直线的斜率为， 当直线过并与平行时， 直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 故答案为：或 64.（2023·高二课时练习）已知点，到直线的距离都等于2，求直线的方程． 【答案】 或，，． 【详解】①当时，因为直线的方程为，所以可设直线l的方程为． 由或，即直线l的方程为或． ②当l过线段的中点时，设l的方程为，即．点到l的距离，即．又当轴时，斜率不存在，此时也符合题意． 综上直线的方程为：或，，． 题型四 两平行线间的距离 65.（2024·高二课时练习）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．2 C．14 D． 【答案】D 【详解】由距离公式可知，所求距离为. 故选：D 66.（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，将直线变为， 又， 所以两平行线间的距离为. 故选：A. 67．（2024·高二课时练习）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ）． A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再将直线方程化为、对应系数一致，最后利用距离公式计算可得. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线，即，即， 所以两平行线之间的距离. 故选：B 68．（2024·高二课时练习）已知直线，且∥． (1)求的值； (2)求两平行线与之间的距离． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由两直线平行，可得，从而可求出的值； （2）先将直线变形后，再利用两平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】（1）因为直线，且∥， 所以，解得 （2）由（1）知的方程为，即， 所以与之间的距离为 ． 69.（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（    ） A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2 【答案】A 【详解】因为两直线：，：平行， 可得且，解得或， 当时，，，即， 可两平行线间的距离为，符合题意； 当时，，，即， 可两平行线间的距离为，不符合题意，舍去. 故选：A. 70.（2024·高一单元测试）若两条平行直线与之间的距离是，则__________． 【答案】3 【详解】因为直线与平行， 所以，解得且， 所以直线为， 直线化为， 因为两平行线间的距离为， 所以，得， 因为 所以，得， 所以， 故答案为：3 71．（2024·高二课时练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案. 【详解】，由， 解得，故过定点． ，由， 解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 此时，，则，， 解得，故． 故选：C． 72．（2024·高二课时练习）已知直线l到两条平行直线与的距离相等，则直线l的方程为__________． 【答案】 【分析】由平行直线系设直线的方程，由平行线间的距离公式列式求解即可． 【详解】解：依题意设直线的方程为，， 则，即，解得， 所以直线的方程为． 故答案为： 73．（2024·高二课时练习）若两条平行直线与之间的距离是，则__________． 【答案】3 【分析】由两直线平行列方程求出，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值，从而可求出结果. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得且， 所以直线为， 直线化为， 因为两平行线间的距离为， 所以，得， 因为 所以，得， 所以， 故答案为：3 74．【多选】（2024·高二课时练习）与直线平行且到的距离等于的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用平行线间的距离公式即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 由题意得，解得：或， 故所求直线方程为：或. 故选：AB. 75．（2024·高二课时练习）已知直线l经过点，且被两平行直线和截得的线段之长为5．则直线l的方程为_________． 【答案】或 【分析】设出直线与直线的交点坐标，根据给定条件列式探求两个交点坐标间的关系，求出直线方程作答. 【详解】设直线与直线分别交于点， 则，两式相减得：，而， 即，解得或， 由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意， 由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意， 所以直线l的方程为或. 故答案为：或    76．（上海财经大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题）若直线被两平行线与所截得的线段的长为2，则直线的倾斜角为______． 【答案】或 【分析】根据两平行线间的距离与2的比较可得直线和两平行线的夹角为60°，再根据倾斜角的关系求解即可． 【详解】设直线与两平行线的交点分别为，过点作的垂线，垂足为，如图， 两平行线间的距离，则，又， 所以直线与两平行线的夹角满足，则， 因为两平行线斜率为，所以倾斜角为， 所以直线的倾斜角为或． 故答案为：或． 77．（2024·高二课时练习）若动点，分别在直线和直线上移动，求线段的中点到原点的距离的最小值为________． 【答案】 【分析】由题意线段的中点的集合为与直线和直线距离相等的直线，记为，则到原点距离最小值为原点到的距离，结合点到直线的距离公式可求． 【详解】由题意线段的中点的集合为与直线和直线距离相等的直线，记为， 则到原点距离最小值为原点到的距离， 设直线， 则， 解得， 所以， 根据点到直线的距离公式可得，到原点的距离的最小值为． 故答案为：． 题型五 距离的综合应用 78．（上海市上海中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题. 【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意； 所以直线斜率存在设为， 则直线方程为， 联立直线得： ， 联立直线得：，， 所以直线与直线，直线的交点为： ， 又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分， 所以， 解得：， 所以直线的方程为：， 故选：B. 79．（上海师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期3月第二次月考数学试题）已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】作出图象，易知，则然后易求得当时，此时可过作直线与垂直，易知得的方程，然后在上，直线，之间找点，使得到的距离等于点到的距离，此时最小距离和即为，由此求解． 【详解】易知，作出图象如下，过点作直线，则， 直线，过作直线，与直线交于点，易知四边形为平行四边形， 故，且到直线的距离等于到的距离， 设，则，解得或（舍，所以， 而，且（定值）， 故只需求出的最小值即可，显然， 故的最小值为． 故答案为：． 80．（山东省菏泽市郓城县郓城第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）已知三条直线；，，：，且原点到直线的距离是． (1)求a的值； (2)若，能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的2倍；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)存在理由见详解. 【分析】（1）利用原点到直线的距离是求解即可；（2）假设存在满足三个条件的点，然后根据三个条件联立解出即可. 【详解】（1）因为原点到直线的距离是，即 所以 （2）若，由（1）得，所以 设存在点满足题意，则： 点到的距离是点到的距离的2倍有 即   ① 点到的距离与点到的距离之比是        ②              ③ 联立①②③解的： 故存在满足上述三个条件的点 81．（上海市青浦区2023届高三上学期9月月考数学试题）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为___________. 【答案】8 【分析】由已知可知两直线，取在的右侧时，分别过作两直线的垂线，结合几何性质确定点轨迹，即可求得的最大值,其他位置同理可得． 【详解】若动点到两直线和的距离之和为， 交点为的斜率分别为，则， 在的右侧时，过分别向引垂线， 垂足分别为，那么， 过作轴的平行线，与交点为如图， 则，所以， 其它位置同理，那么点轨迹为正方形， 当在时，取得最大值，即取得最大值8. 故答案为：8． 82．（河北省邢台市第二中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题）过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，可知定点， 又 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为2. 故选：C. 题型六 直线的对称问题 （一）求点关于直线的对称点 83.（2024·四川遂宁·高二统考期末）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直， 则， 即点A坐标为. 故选：C 84.（2024·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为______. 【答案】 【详解】解：设点， 因为直线的斜率为， 则有， 解得：， 所以点的坐标为. 故答案为： 85．（2024·高二课时练习）设点关于直线的对称点为，则点的坐标为_____________，过点且与直线垂直的直线方程为_______________. 【答案】 【分析】先利用对称的性质得到关于的坐标的方程组，解之即可求得点的坐标；再利用直线垂直的性质，结合待定系数法即可得解. 【详解】依题意，设，则，解得， 即点Q的坐标为， 设与直线垂直的直线方程为， 将代入该式，得，故， 所以所求直线方程为. 故答案为：；. 86.（2023·全国·高三对口高考）点关于直线的对称点的坐标为_________． 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则 ，解得， 即点关于直线的对称点的坐标为. 故答案为：. 87．（2024·高二课时练习）若点关于直线对称，则_________；__________． 【答案】 4 2 【分析】根据给定条件，利用轴对称的性质列出方程组，解方程组即可作答. 【详解】依题意，直线的斜率为，线段的中点， 于是，整理得，解得， 所以. 故答案为：4；2 88.（2023·高二课时练习）若点关于直线对称的点是，求、的值． 【答案】，. 【详解】因为点关于直线对称的点是， 所以有，解得，. （二）求直线关于点的对称直线 89.（2023·高二课时练习）关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 90.（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 91.（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，故设， 在l上取点，则点关于点的对称点是， 所以，即， 故直线的方程为. 故选：C 92.（上海财经大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题）直线关于点对称的直线的一般式方程为______． 【答案】 【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案. 【详解】设对称直线为， 根据点到两条直线的距离相等， 则有，即，解得（舍）或. 所以对称直线的方程为. 故答案为：. （三）求直线关于直线的对称直线 93.（2023·高二课时练习）如果直线与直线关于轴对称，那么直线的方程是______． 【答案】 【详解】解：∵直线的斜率为-1，且与y轴交于（0，1）点， 又∵直线l与直线关于y轴对称， ∴直线l的斜率为1，且过（0，1）点， 则直线l的方程为， 故答案为： 94.（2023·全国·高三专题练习）两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，， 则，解出 点在直线上， 将式代入，得， 化简得，即为关于对称的直线方程． 故选：C 95．（2024·高二课时练习）试求直线关于直线对称的直线l的方程． 【答案】. 【分析】求出直线的交点坐标，再在直线取点，并求出该点关于直线对称点坐标即可求解作答. 【详解】由，解得，即直线交于点，显然点在直线上， 在直线上取点，设该点关于直线对称点，则，解得， 点在直线上，因此直线的斜率， 所以直线的方程为，即.    96.（2023·全国·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程是________. 【答案】 【详解】设所求直线上任意一点， 点P关于的对称点为, 如图所示： 则有，得 ∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0， 即x－2y＋3＝0. 故答案为： 97．（2024·高二课时练习）已知中，，边上的高线方程为，角A平分线方程为，求，边所在直线方程． 【答案】：，： 【分析】由的斜率求出的斜率，利用点斜式求出的方程，依题意与关于轴对称，设，又点A在直线上，代入求出，即可求出直线的方程，从而求出直线的方程． 【详解】因为边上的高线所在直线的方程为， 则，．边所在直线方程为． 即． 的平分线所在直线方程为，则与关于轴对称，设． 又点在直线上，，．， 点的坐标为． 直线方程为：．即， 又与关于轴对称， 所以直线的方程为， 所以直线的方程为：，直线的方程为：．    98.（2023·高二课时练习）如果直线与直线关于直线对称，那么______，______． 【答案】 6 【详解】解：直线上的点关于的对称点在上， 所以，解得， 直线上的点关于的对称点在上， 所以，解得. 故答案为：； 99.（2023春·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上取一点， 则由题意可得其关于直线的对称点在上， 所以，得， 在上取一点， 则其关于直线的对称点在上， 所以，得， 综上， 故选：A （四）反射光线问题 100．（2024·高二课时练习）一条光线从点发出，经过轴反射，反射光线经过点. (1)求反射光线所在的直线方程； (2)求反射光线所在直线与坐标轴所围成的三角形面积的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得反射线所在直线经过点关于轴的对称点，结合题意由两点即可求解方程； （2）分别求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）光线的反射线是轴， 反射线所在直线经过点关于轴的对称点， 而直线的斜率， 可得直线的方程为，化简得. （2）在直线中令，得，可得直线交轴于点， 在直线中，令，得，可得直线交轴于点， 所以反射光线所在直线与坐标轴所围成的三角形面积的大小. 101．（2024·高二课时练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，使的周长最小，并求出和两点的坐标． 【答案】， 【分析】求出点关于直线的对称点，轴的对称点点坐标，求出直线的方程，分别求出直线与直线、轴的交点坐标即为、点坐标. 【详解】由题可得，设点关于直线的对称点， 则，解得，即， 点关于轴的对称点，则直线的方程为，即. 当、分别为直线与直线、轴的交点时，的周长最小. 令，得到直线与轴的交点. 由，解得，所以直线与直线的交点为. 故点，即为所求. 102.（2023春·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数______． 【答案】6或－2 【详解】在直线上任意取一点， 由题知点关于直线的对称点在直线上， 则，整理得，解得或. 故答案为：6或－2. 103.（2024·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）直线从出发，经两直线反射后，仍返回到点.则光线从P点出发回到P点所走的路程长度（即图中周长）为_________. 【答案】 【详解】显然关于直线的对称点，由反射光线性质知， 设关于直线的对称点，则，则， 故，由反射光线性质知 所以各边即为光线所走的路线，其周长等于线段的长度， 且. 故答案为： 题型八 将军饮马问题 104.（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【详解】由关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故选：D 105.（2023·高二课时练习）已知点和，在直线上找一点，使最小，并求这个最小值． 【答案】，最小值 【详解】设关于直线的对称点为， 线段的中点为， 所以， 解得，即， 所以的最小值为， 此时直线的方程为， 由解得，所以. 106.（2023春·四川资阳·高三四川省乐至中学校考开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点关于直线的对称点． 根据题意，为最短距离，先求出的坐标． 的中点为，直线的斜率为1， 故直线的方程为，即． 由，联立得，， ，则， 故， 则“将军饮马”的最短总路程为． 故选：C． $$