第02讲 空间向量基本定理（六大考点）-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第02讲 空间向量基本定理 学习目标： 1．了解空间向量基本定理及其意义. 2．掌握空间向量的正交分解. 3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法. 重点难点： 重点：空间向量基本定理及应用 难点：空间向量基本定理“唯一性”的证明，基底的怡当选择 知识点一、空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 知识点二、空间向量的正交分解 1.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． 2.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 考点01 基底的判断 1．（多选）设是空间的一个基底，下列选项中正确的是（　　） A．若，，则； B．则，，两两共面，但，，不可能共面； C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使； D．则，，一定能构成空间的一个基底 2．（多选）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一个基底 B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底 D．，，，是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面 3．若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 4．设向量不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 5．已知是空间的一个基底,设，则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 考点02 基底的运用 6．如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 7．如图，在三棱柱中，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 8．如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（    ）    A． B． C． D． 9．（多选）如图，点是四面体的棱的中点，点是三角形的重心，点在线段上，且，设，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，设为所在平面外任意一点，为的中点，若，则 . 11．如图所示，在平行六面体中，设，M，N分别是的中点，P在线段上，且，试用表示向量.    考点03 正交分解 12．已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 13．是空间的一个单位正交基底，在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 14．设是空间的一个单位正交基底，且向量，若，则用基底表示向量 ． 考点04 用空间向量基本定理证明垂直、平行 15．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 16．在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，． (1)用，，表示，； (2)求证：，，，四点共面； (3)求证：四边形为矩形． 17．如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 18．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 19．如图，在三棱台中，，分别为棱，的中点．设，，．    (1)用，，表示，，； (2)若，用向量的方法证明∥平面． 20．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 21．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若E、F分别为、的中点.求证： （1）平面； （2）平面.（用向量方法证明） 考点05 用空间向量基本定理求长度 22．平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 23．如图，在正四面体中，分别在棱上，且，若，则 ； .    24．在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 25．已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 26．如图，两个正方形，的边长都是2，且，则的长为 . 27．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 28．已知是棱长为1的正四面体.若点满足，其中，则的最小值为 . 考点06 用空间向量基本定理求夹角 29．把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 30．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 31．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.如图，已知一个正八面体的棱长为为棱的中点，，设直线与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 32．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．    (1)求线段的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 33．在平行六面体中，，且，则的余弦值是 . 34．在直三棱柱中，，，若中所有的点构成的几何体的体积为3，则与夹角的大小为 ． 35．如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 基础试炼 一、单选题 1．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，D是的中点，E是的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（    ） A． B． C． D． 5．棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法判位置关系 6．如图，已知四棱柱的体积为，四边形是平行四边形，点在平面内，且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，在正方体中，分别是的中点，分别在线段上，且满足，，设，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知平面，，，，为的中点，，则以下正确的是（    ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D．与所成角的余弦值为 三、填空题 9．已知平行六面体的所有棱长均为1， ，则= ． 10．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则 ．    四、解答题 11．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为，中点.求证：向量、、共面. 12．如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点（点P靠近点N），若，解答下列问题： (1)以为基底表示； (2)若，，，求的值． 高阶突破 1．已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 2．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个底面平行，且均为矩形的六面体.现有一“刍童”，如图所示.，，，，，与的交点为，则的最大值为（    ） A． B．18 C． D．21 3．已知MN是棱长为4的正方体的内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则的最大值为 ． 4．（多选）如图，A，B为平面外的点，点A，B在平面上的射影分别为点，，点B不在直线上，为平面内的向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若存在实数，使，则与共线 D．若M是直线AB上不同于A，B的点，则存在有序实数组，使得 5．（多选）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（    ） A．若，则平面ACD B．当最小时， C．若，则 D．当最大时， 6．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则（    ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面 C．当时，的最大值为1 D．当时，的最小值为0 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第02讲 空间向量基本定理 学习目标： 1．了解空间向量基本定理及其意义. 2．掌握空间向量的正交分解. 3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法. 重点难点： 重点：空间向量基本定理及应用 难点：空间向量基本定理“唯一性”的证明，基底的怡当选择 知识点一、空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 知识点二、空间向量的正交分解 1.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． 2.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 考点01 基底的判断 1．（多选）设是空间的一个基底，下列选项中正确的是（　　） A．若，，则； B．则，，两两共面，但，，不可能共面； C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使； D．则，，一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD 【详解】由空间向量基底的定义可知，当，时，所成角不一定为，故A错误； 显然，，两两共面，但，，不可能共面，否则不能构成空间的一个基底，故B正确； 根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，故C正确； 在D中，假设向量共面，则，， 化简得， 因为不共面，所以，无解， 所以不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：BCD. 2．（多选）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一个基底 B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底 D．，，，是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面 【答案】CD 【详解】A项，空间任意三个不共面的向量可以作为一个基底，故A项错误； B项，若且，则，与可以构成空间的一个基底，故B项错误； C项，因为向量，则，与任意向量均共面，即，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故C项正确； D项，因为，，不能构成空间的一个基底，则，，，共面，故D项正确. 故选：CD. 3．若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是空间的一个基底，故不共面， A选项， 设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； B选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； C选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； D选项，设， 则，得 ， 故共面， 故不可构成空间的一个基底. 故选：D 4．设向量不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知， 由向量共面定理，知共面，同时及共面，易得选项A、B、D错误； 因为不共面，结合上面的结论，所以不共面，故可作为空间的一个基底. 故选：C． 5．已知是空间的一个基底,设，则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【详解】向量是空间的一个基底，显然，即向量分别与向量共面，A、B不是； 假定向量与向量共面，显然不共线，即存在实数，使得， 即有，所以共面，与已知矛盾，因此向量与向量不共面， 所以向量可以与一起构成空间的另一个基底，C对，D错. 故选：C 考点02 基底的运用 6．如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由条件可知，延长与交于，连接， 因为平面， 平面，平面平面， 所以∥， 令，， 则有， ， 根据向量基底表示法的唯一性， 得解得 ∥， ，， ． 故选：D． 7．如图，在三棱柱中，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知： ， 又， 所以则. 故选：B. 8．如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知, 由得, 因为点C，D分别是母线的中点， 所以， 则 . 故选：D 9．（多选）如图，点是四面体的棱的中点，点是三角形的重心，点在线段上，且，设，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为点是三角形的重心，所以， 对于A：，A正确； 对于B：，B错误； 对于C：，C错误； 对于D：，D正确. 故选：AD. 10．如图，设为所在平面外任意一点，为的中点，若，则 . 【答案】 【详解】依题意， ， 又，所以，则. 故答案为：. 11．如图所示，在平行六面体中，设，M，N分别是的中点，P在线段上，且，试用表示向量.    【答案】 【详解】因为，所以， 所以. 考点03 正交分解 12．已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量在基底下用有序实数组表示为， 所以与向量同向的单位向量的有序实数组表示为， 设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为， 所以， 又因为， 所以，解得， 则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为. 故选：C. 13．是空间的一个单位正交基底，在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意向量，设向量在基底下的坐标为， ， ，解得， 所以向量在基底下的坐标为， 故选：A． 14．设是空间的一个单位正交基底，且向量，若，则用基底表示向量 ． 【答案】 【详解】设， 则， 故，解得：，故 故答案为： 考点04 用空间向量基本定理证明垂直、平行 15．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）由点是线段的中点，得， 由点是的重心，得， 所以， 因为正四面体中，，， 故， 所以， 即； （2）由（1）可知，，， 所以 ， 所以. 16．在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，． (1)用，，表示，； (2)求证：，，，四点共面； (3)求证：四边形为矩形． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）解：因为，分别是，的中点， 所以且， 所以． 因为，分别是，的中点，所以且， 所以． （2）证明：， ，， 所以， 所以，，，四点共面． （3）证明：设正四面体的棱长为，由题意知向量，，中，两两之间的夹角均为，由（1）知， 因为，分别是，的中点， 所以，故， 所以，， 所以四边形为平行四边形． 又因为， 所以， 故． 所以平行四边形为矩形． 17．如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【答案】(1)，，． (2)证明见解析 【详解】（1）已知，，， 得：，， ． （2）证明：设， 又， 则，且， 则， 得， 即， 同理可得， 因为，，平面，平面，且， 所以平面． 18．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明详见解析 【详解】（1）连接，则 （2）， 所以 ， 所以.    19．如图，在三棱台中，，分别为棱，的中点．设，，．    (1)用，，表示，，； (2)若，用向量的方法证明∥平面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）因为，分别为棱，的中点，所以， . （2）因为，所以， 因为，所以， 设，所以由（1）可知， 解得，，， 向量，，共面，又平面， 所以平面. 20．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【详解】（1）． （2）证明：，， ，共面． （3）当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 21．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若E、F分别为、的中点.求证： （1）平面； （2）平面.（用向量方法证明） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）依题意E、F分别为、的中点，所以 ， 所以向量共面， 又平面平面， 所以平面. （2）因为侧面底面，侧面底面，底面是正方形，所以平面. 设，则，即， 所以， 所以， 所以，由平面，可得平面. 【点睛】用向量方法证明线面平行或垂直，理论依据是线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理. 考点05 用空间向量基本定理求长度 22．平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 故 ， 故. 故选：A 23．如图，在正四面体中，分别在棱上，且，若，则 ； .    【答案】 【详解】依题意，， 因为 ， 又，所以，所以； 则 . 故答案为：； 24．在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，延长交于点， 的重心为， 为在边上的中线，即为的中点， 三棱台中，， ,, ， 三棱台中，面面，且面分别交面，面于，， ， ，则， 得， 所以. 故选：D. 25．已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 【答案】 5 【详解】 由可得：， 由得：， 所以， 即； 又由各边及其对角线的长都是6，即各面都是等边三角形， 所以， 则 所以， 故答案为：①,②. 26．如图，两个正方形，的边长都是2，且，则的长为 . 【答案】4 【详解】由题意得⊥，又，故⊥， 故，， ， 故 ， 故. 故答案为：4 27．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时，    （3）， ， ， 所以 ，所以的长为 28．已知是棱长为1的正四面体.若点满足，其中，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由点满足，其中，得点在平面内， 因此的最小值即为正四面体的底面上的高，令点在底面上的射影为， 则为正的中心，， 所以的最小值为. 故答案为：    考点06 用空间向量基本定理求夹角 29．把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取的中点，连接， 因为，， 所以， 所以为平面与平面所成二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 即，得， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故选：A 30．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 【答案】B 【详解】A选项，由题意可知， 则 ， ∴，所以选项A不正确； B选项，，又， ， ∴，所以选项B正确； C选项，， ， ， 则， ∴向量与的夹角是，所以选项C不正确； D选项，，， 设与所成角的平面角为， 因为 ， ， ， ∴ ，所以选项D不正确. 故选：B 31．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.如图，已知一个正八面体的棱长为为棱的中点，，设直线与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 又由正八面体的棱长都是1，且各个面都是等边三角形， 在中，由，可得，所以， 所以 ， 所以，所以，则. 故选:A. 32．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．    (1)求线段的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设，，，则，，， 又，则. （2）由，则， 则. ， 故异面直线与所成角的余弦值为． 33．在平行六面体中，，且，则的余弦值是 . 【答案】/ 【详解】由题设，可得如下示意图，    ∴， 设，则，又， 所以，，， 所以以 . ， 所以 故答案为：. 34．在直三棱柱中，，，若中所有的点构成的几何体的体积为3，则与夹角的大小为 ． 【答案】或 【详解】 因为， 所以中所有的点构成的几何体的体积是直三棱柱体积的倍， 则，又，所以，因为，所以或， 所以与夹角的大小为或． 故答案为：或. 35．如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 设异面直线和夹角为， 则. 基础试炼 一、单选题 1．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，所以共面，故A错误； 对于B，，所以共面，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在，使得， 则共面，这与可构成空间的一个基底矛盾， 所以不共面，故C正确； 对于D，，所以共面，故D错误. 故选：C. 3．在三棱锥中，D是的中点，E是的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，. 故选：C 4．在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题作图如下: 由，则，由为的中点，则， 则 ， 在正四面体中，易知， . 故选：D. 5．棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法判位置关系 【答案】C 【详解】因为， 所以. 所以，即. 所以直线AB与CD垂直. 故选：C.    6．如图，已知四棱柱的体积为，四边形是平行四边形，点在平面内，且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先找两三棱锥的公共部分，由知：，故， 在上取点，使得，连接， 设，连接， 则三棱锥为三棱锥与三棱锥的公共部分， ∵∽， ， 点到平面的距离是点到平面的距离的，又， . 故选：A. 二、多选题 7．如图，在正方体中，分别是的中点，分别在线段上，且满足，，设，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由已知可得，，，，. 对于A，，故A项正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C项错误； 对于D，，故D项正确. 故选：AD. 8．如图，已知平面，，，，为的中点，，则以下正确的是（    ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D．与所成角的余弦值为 【答案】ABC 【详解】因为平面，平面, 所以 所以 ， 在中，, 所以， 所以A正确; 在中, , ， 所以B正确； 因为，, , , 所以与所成角的余弦值为, 所以C正确； 由以上知，，且, 在中，由余弦定理得, 所以D错误. 故选:ABC. 三、填空题 9．已知平行六面体的所有棱长均为1， ，则= ． 【答案】 【详解】因为平行六面体的所有棱长均为1， ， 所以 ． 故答案为：. 10．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则 ．    【答案】2 【详解】底面为菱形，，， ， 为棱的中点, ， ，解得. 故答案为：. 四、解答题 11．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为，中点.求证：向量、、共面. 【答案】证明见解析 【详解】连接，因为底面是平行四边形， F是的中点，所以F也是中点. 在中，又E是中点，所以，. 又因为，所以， 所以由向量共面定理可知，向量、、共面. 12．如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点（点P靠近点N），若，解答下列问题： (1)以为基底表示； (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： . 高阶突破 1．已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，， 所以， ， 所以， 所以， 因为不共线，所以共面， 所以点在平面内， 所以当平面时，最小， 取的中点，连接，则点在上，且， 所以， 即的最小值为. 故选：B 2．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个底面平行，且均为矩形的六面体.现有一“刍童”，如图所示.，，，，，与的交点为，则的最大值为（    ） A． B．18 C． D．21 【答案】C 【详解】解：设，则， 由题意得，. 所以， ， ， ， 当时.取得最大值，且最大值为. 故选：C 3．已知MN是棱长为4的正方体的内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则的最大值为 ． 【答案】8 【详解】设正方体内切球的球心为G，正方体内的体对角线长为， 则，, 因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，， 所以．又点P在正方体表面上运动， 所以当P为正方体顶点时，最大，且最大值为， 所以，所以最大值为8． 故答案为：8. 4．（多选）如图，A，B为平面外的点，点A，B在平面上的射影分别为点，，点B不在直线上，为平面内的向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若存在实数，使，则与共线 D．若M是直线AB上不同于A，B的点，则存在有序实数组，使得 【答案】ABD 【详解】对于A，根据射影概念，知道，，若，， 则面，面，则成立，故A正确． 对于B，，故B正确． 对于C，若，则和共线，则与可能相交，故C错误． 对于D，若M是直线AB上不同于A，B的点，则Ｍ与四个点都是共面的，且不共线，可以作为面的一组基底， 则由平面的基本定理，可知存在有序实数组，使得，故D正确． 故选：ABD. 5．（多选）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（    ） A．若，则平面ACD B．当最小时， C．若，则 D．当最大时， 【答案】BCD 【详解】由，平面平面，平面平面，平面，得平面， 又N在侧面上（包含边界），设，且， 于是 ， 而，则，且， 对于，若，则，点即为点，显然平面，错误； 过作，垂足为，得，， 由平面，平面，得，而，平面， 则平面，因此， 对于，显然当点与点重合时，最小，此时，则，正确； 对于，若，则，即点在线段上（包括端点）， 由平面，平面，得，正确； 对于，显然当点与点重合时，最大，即最大，此时， 于是，正确. 故选：BCD. 6．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则（    ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面 C．当时，的最大值为1 D．当时，的最小值为0 【答案】BC 【详解】对于A：由题意得在正方形的内部（包括边界）， 在正方体中，平面， 若平面，则在直线上，不符合题意，A错误． 对于B：如图，当与重合时，连接． 是正方形， 平面平面， 平面 平面平面． 是正方形， 平面平面， 平面 平面平面． 平面 平面B正确． 对于CD：如图，当时，得， 则在平面内的轨迹是以为圆心，圆心角为，半径为1的圆弧， 设 则有，得，得， ， 由，得， 则，C正确，D错误． 故选:BC. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$