专题07 有理数的运算110道计算题专项训练（11大题型）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题07 有理数的运算110道计算题专项训练（11大题型） 题型一 两个数四则运算（基础题） 题型二 多个数混合运算（基础型） 题型三 有理数加减法计算题 题型四 有理数乘除法计算题 题型五 含乘方的有理数混合运算 题型六 有理数四则混合运算（复杂） 题型七 含绝对值的有理数计算 题型八 有理数的简便运算 题型九 有相反数、倒数类型计算题 题型十 有理数的规律计算题 题型十一 有理数的新定义运算 【经典例题一 两个数四则运算（基础题）】 1．计算：． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的加减法运算及绝对值性质，解题的关键是掌握运算法则并正确计算．根据有理数的加减法运算及绝对值性质求解即可． 【详解】解： 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，求一个数的绝对值，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 3．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数加减运算法则是解题的关键． 4．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)7 (3) 【分析】（1）运用绝对值的意义进行求解即可； （2）运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果； （3）运用绝对值的意义进行求解即可． 【详解】（1）解：， （2） （3） 【点睛】题目主要考查绝对值的化简及有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的加法法则计算即可； 先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； 根据乘法法则计算即可； 根据零乘任何数都得零． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 （3）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 （4）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)8 (6) 【分析】本题考查有理数加法，掌握有理数加法的计算法则是正确计算的前提． （1）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （3）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （4）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （5）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （6）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 8．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3)1.6 (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查有理数加法及绝对值，掌握其运算法则是解题关键． （1）根据加法法则，同号两数相加，取相同的符号，绝对值相加即可，计算即可； （2）根据加法法则，任何数与0相加仍得这个数，计算即可． （3）根据加法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数，计算即可； （4）根据加法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数，计算即可． （5）先去绝对值，再相加计算即可； （6）先去绝对值，再相加计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式； （3）解：原式， ； （4）解：原式， ； （5）解：原式， ； （6）解：原式 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6) 【答案】(1) (2)2 (3)14 (4) (5) (6) 【分析】本题考查有理数的加减乘除运算，运用相关法则计算即可． （1）运用有理数的加法法则计算即可； （2）运用有理数的加法法则计算即可； （3）运用有理数的减法法则计算即可； （4）运用有理数的减法法则计算即可； （5）运用有理数的除法法则计算即可； （6）运用有理数的除法法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【答案】(1) (2) (3)5 (4) (5) (6)0 (7) (8) (9) (10) (11) (12)7 【分析】（1）直接进行计算即可得； （2）直接进行计算即可得； （3）直接进行计算即可得； （4）直接进行计算即可得； （5）直接进行计算即可得； （6）将分数化为带分数，进行计算即可得； （7）直接进行计算即可得； （8）将化为，进行计算即可得； （9）通风进行计算即可得； （10）先直接计算，再去绝对值即可得； （11）将化为，进行计算即可得； （12）先去绝对值，再进行计算即可得． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：原式= =0； （7）解：原式= =； （8）解：原式= = = =； （9）解：原式= = ； （10）解：原式= =； （11）解：原式= = =； （12）解：原式= =7． 【点睛】本题考查了有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法． 【经典例题二 多个数混合运算（基础型）】 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的减法，解题关键是熟练掌握有理数的减法法则． （1）根据有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，再利用加法运算律进行简便计算即可． （2）根据有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，再利用加法运算律进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）去括号，再计算加减即可． （2）去括号，通分，再计算加法即可． 【详解】（1） （2） 13．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，奇数个负数的乘积为负数，偶数个负数的乘积为正数． （1）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （2）根据有理数的乘法计算法则求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合计算以及乘方的运算． （1）先算括号内的和乘方运算，再算乘除，最后加减； （2）先算括号和乘方，再算乘法，最后加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律： （1）（2）（3）根据有理数的乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16．计算． (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算； （1）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （3）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （4）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．计算 (1)； (2) (3)； (4)； 【答案】(1)8 (2) (3)15 (4)1 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则． （1）用同号的先相加； （2）相加得整数的先相加； （3）用乘法分配律计算； （4）把除化为乘，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)4 (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）先将小数化为分数，再利用加法的交换律和结合律将同分母分数进行组合，再相加即可求解； （2）将带分数化为假分数，除法变为乘法，再约分计算即可求解； （3）将除法变为乘法，再根据乘法分配律简便计算； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 19．计算（直接写出结果）． (1)______ (2)______ (3)______ (4)______ (5)______ (6)______ 【答案】(1)2 (2)6 (3) (4)1 (5)-27 (6) 【分析】（1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）将减法转化为加法，再计算即可； （3）将除法转化为乘法，再进一步计算即可； （4）利用有理数的乘法法则计算即可； （5）根据有理数的乘方的运算法则即可得出答案； （6）根据绝对值的性质可得答案； 【详解】（1）原式＝2； （2）原式＝； （3）原式＝； （4）原式＝； （5）； （6）原式＝； 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及绝对值的性质． 20．阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】解：∵ ， ∴原式． 【经典例题三 有理数加减法计算题】 21．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法．解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算．此题可以运用加法的交换律交换加数的位置，原式可变为，然后利用加法的结合律将两个加数相加． 【详解】解：， ， ， ． 22．计算：． 【答案】1 【分析】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.原式1、3项结合，2、4项结合，计算即可得到结果 23．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 把小数变成分数，再根据分数的加减法运算即可． 【详解】解：原式 ． 24．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则；先根据绝对值的意义去掉绝对值，然后根据有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)0 【分析】本题考查有理数加法，加法运算律，关键是熟记有理数加法运算法则与运算律． （1）根据有理数加法法则与运算律进行计算便可． （2）根据有理数加法法则与运算律进行计算便可． 26．计算： (1)； (2) 【答案】(1)5 (2)1 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减法的运算法则分别计算即可； （2）先求绝对值，根据有理数加减法的运算法则分别计算即可． 【详解】（1）解：原式； ； （2）解： ． 27．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把减法转化为加法，再进行运算即可； （2）利用加法交换律和结合律进行计算即可； 此题考查了加减混合运算，熟练掌握加减法则是解题的关键． 【详解】（1）解： （2） 28．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】 本题考查有理数的加法，熟练掌握相关运算法则及运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加法法则及运算律进行计算即可； （2）利用有理数的加法法则及运算律进行计算即可； （3）利用有理数的加法法则及运算律进行计算即可； （4）利用有理数的加法法则及运算律进行计算即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 原式 ； （3） 原式 ； （4） 原式 ． 29．计算: (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)0 【分析】此题考查了有理数的混合运算，在计算时要注意混合运算的顺序和法则，注意结果的符号． （1）先去括号，再计算即可； （2）先进行结合，再计算即可， （3）同分母分数结合在一起，再计算即可， （4）先进行结合，再计算即可， （5）先进行结合，再计算即可， （6）先进行结合，再计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ． 30．(1)计算： ①             　　　 ② ③        　　　　 ④ (2)计算： ① ② 【答案】（1）①；②；③；④；（2）①；② 【详解】解：（1）①    ；          　　　 ② ； ③        　　　　 ； ④ ； （2）① ② 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 【经典例题四 有理数乘除法计算题】 31．简便计算 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，先把原式整理得，再运算括号内，最后运算乘法，即可作答． 【详解】 32．计算：． 【答案】72 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，先计算除法运算，再计算加法运算即可． 【详解】解： ； 33．用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律进行计算，即可解答． 【详解】 ． 34．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2)-2 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，关键是熟记有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 根据有理数乘法法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 35．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 36．计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）从左往右计算，即可求解； （2）理由有理数的乘法运算律计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 37．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 【点睛】此题考查了有理数乘除法计算法则，正确掌握有理数乘除法计算法则是解题的关键． 38．计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)2 (4)3 【分析】（1）计算加减法即可得； （2）将除法变成乘法，再计算即可； （3）先计算乘法，最后计算加法即可得； （4）利用乘法分配律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【点睛】本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键． 39．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)35 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数的乘法法则：几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0；几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，并把绝对值相乘．根据有理数乘法法则进行计算便可． 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ； （4） ． 40．计算下列各题，能简算的要简算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，准确运用运算律计算是解题关键． （1） 仔细观察本题，通过调整，提出公因子，即可简算结果； （2）提出公因子，即可简算结果； （3）先去括号、假分数转成真分数计算，再观察题目，提出公因子，即可简算结果； （4）设 ，，即可简化运算过程，得出结果． 【详解】（1）解： ． （2） =2010000． （3） ． （4）设 ，， ． 【经典例题五 含乘方的有理数混合运算】 41．计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方，绝对值的性质进行求解即可； 【详解】解：原式= =． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 42．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的运算，原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后加减运算即可. 【详解】解： ； 43．计算： 【答案】-6 【分析】先算平方，再算乘法即可得到答案； 【详解】解：， 故答案为：-6. 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算，掌握有理数乘法的步骤是解题的关键. 44．计算： (1)(－5)4；　　 (2)－54；　(3)(－)3；      (4)－；　　　(5)－(－)3. 【答案】(1)625;(2)－625;(3)－;(4)－;(5) 【分析】根据有理数的乘方的运算法则进行计算即可得解. 【详解】(1)(－5)4=（-5）×（-5）×（-5）×（-5）=625； (2)－54=5×5×5×5=-625； （3)(－)3=(－)×(－)×(－)=-=-； (4)－=-=-；　　　 (5)－(－)3=. 【点睛】本题考查了运用有理数的乘方运算法则进行计算，在进行计算时要正确处理底数和幂的符号问题. 45．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可使用乘法分配率进行简便运算； （2）根据乘方以及四则运算的运算规则逐步进行运算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，注意合理使用运算律可以使计算变得简便以降低错误率． 46．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键． 47．计算： （1）；      （2）． 【答案】（1）4；（2）-11. 【分析】(1) 根据乘法分配律可以解答本题; (2) 根据幂的乘方、 有理数的乘法和减法可以解答本题. 【详解】解：（1） ； =﹣16+18+2 =4； （2） =﹣16﹣[﹣4﹣1] =﹣16﹣（﹣5） =﹣16+5 =﹣11． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，注意运算的顺序. 48．计算： (1)(－3)4，－34，－3×4，－(－3)4； (2)－43，(－)3，－ 【答案】见解析. 【详解】分析：根据乘方的意义逐个算式计算即可计算时注意(－3)4与－34两个算式的区别，(－3)4的底数是-3，－34的底数是3. 详解：(1)(－3)4＝81，－34＝－81，－3×4＝－12，－(－3)4＝－81. (2)－43＝－4×4×4＝－64， (－)3＝(－)×(－)×(－)＝－， －＝－＝－. 点睛：此题考查了乘方的意义，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．乘方的定义为：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂.在中，它表示n个a相乘，其中a叫做底数，n叫做指数. 49．判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 50．阅读下列解题过程： 计算1+3+32+33+34+…+39+310的值． 解：设S＝1+3+32+33+34+…+39+310①， 则3S＝3×(1+3+32+33+…+39+310) 3S＝3×1+3×3+3×32+3×33+…+3×39+3×310 3S＝3+32+33+34+…+310+311②， ②﹣①得： 3S﹣S＝(3+32+33+34+…+39+310+311)﹣(1+3+32+33+34+…+39+310) 2S＝311﹣1，S＝，即1+3+32+33+34+…+39+310＝ 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法． 请用你学到的方法计算：1+5+52+53+54+…+524+525． 【答案】 【分析】根据题目所给信息的举例，设S＝1+5+52+53+54+…+524+525，然后再乘5再相减计算可解决问题． 【详解】解：设S＝1+5+52+53+54+…+524+525，① 则5S＝5×1+5×5+5×52+5×53+5×54+…+5×524+5×525， 5S＝5+52+53+54+…+524+525+526，② ②﹣①得，5S﹣S＝(5+52+53+54+…+524+525+526)﹣(1+5+52+53+54+…+524+525)， 4S＝526﹣1， S＝， 即1+5+52+53+54+…+524+525＝． 【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是正确理解阅读材料并掌握求和的方法． 【经典例题六 有理数四则混合运算（复杂）】 51．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． （1）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 52．用你喜欢的方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)100 (3)75 (4)4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再利用加法结合律计算即可； （2）根据乘法结合律计算即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）根据有理数的混合运算顺序，先计算小括号内的计算，再计算中括号内的运算，然后计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 53．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】题目主要考查有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）根据有理数减法法则进行计算即可； （2）根据有理数加法法则进行计算即可； （3）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （4）根据有理数混合运算法则进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 54．脱式计算 (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了实数的运算，正确运用简便方法解决问题即可． （1）先算括号里面的，再计算除法即可． （2）先算除法，再算减法即可． （3）按照先算乘除，再计算加减即可． （4）按照顺序计算即可． （5）按照先算乘除，再计算加减即可． （6）先计算小括号里面的，再按顺序计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 55．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)71． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则和运算顺序，会利用乘法分配律进行简便运算是解答的关键． （1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）先乘方运算、化简绝对值，再乘除法运算，最后加减运算即可解答； （3）利用乘法分配律进行简便运算即可解答． 【详解】（1）解： （2） ； （3） ． 56．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； 解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的”． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 57．简便计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化，掌握有理数的混合运算法则，乘法运算律是解题的关键． （1）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （2）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （3）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （4）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 58．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （3）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 59．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)12 (3) (4) (5)349 (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 60．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)（简便计算）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （4）根据乘方和有理数乘法运算法则进行计算即可； （5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （6）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （7）根据乘法分配律进行计算即可； （8）根据乘法分配律进行计算即可． 解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的”． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 【经典例题七 含绝对值的有理数计算】 61．计算：. 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，分别计算出算术平方根、立方根及绝对值即可完成计算；能运用算术平方根、立方根和绝对值的含义是解本题的关键． 【详解】解： ． 62．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题主要考查了求绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 63．有理数在数轴上的位置如图所示，    化简：． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，绝对值化简，根据数轴可得，进而得到，，，，根据绝对值的性质即可化简求解，由数轴判断出、、与的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，，， ∴原式， ， ． 64．已知a，b两数在数轴上的位置如图所示    求代数式 【答案】3 【分析】本题考查了利用数轴比较大小以及化简绝对值：先得，再逐一化简绝对值，运用整式的加减混合运算合并同类项，即可作答． 【详解】解：根据a，b两数在数轴上的位置，得 则 65．如图，数轴上有，，三点．    (1)____，_____，______；(填“”“”，“”) (2)化简． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（）根据数轴分别判断，，的正负； （）根据，，的正负去掉绝对值，最后合并同类项即可； 本题考查了整式的加减和去绝对值，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】（1）由数轴可得，，，， 故答案为：，，； （2） ， ． 66．计算：． 【答案】55 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握需要的运算法则是解答本题的关键．根据有理数的混合运算法则先计算乘方，绝对值，利用乘法分配律去掉括号，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 67．已知，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的加法，熟练掌握其运算规则，利用分类讨论思想是解题的关键．先根据，求出的值，再根据分情况讨论计算即可． 【详解】解：， ，， ， 当时，； 当时，； 故的值为：或． 68．已知，求的值． 【答案】2 【分析】 本题考查了绝对值的非负性，正确熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 由绝对值的非负性结合与的和为0可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 69．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【答案】（1）或 （2） 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知，，结合a，b异号，可知或 （2）根据绝对值的性质，可知，，而，即可确定出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵a，b异号， ∴或． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 70．若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)4或8． 【分析】本题主要考查了求绝对值、绝对值的性质等知识点，理解绝对值的性质成为解题的关键． （1）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可； （2）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为8或4． 【经典例题八 有理数的简便运算】 71．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1.9 【分析】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算． （1）把互为相反数的数和相加为整数的分别结合相加，便可得出结果； （2）把互为相反数的数结合相加，同号的结合相加，便可求得结果． 【详解】（1） ； （2） ． 72．计算（第（）（）（）小题能用简便方法运算，请你使用） (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2) (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】（）根据有理数的加减混合运算法则即可求解； （）根据有理数的乘除混合运算法则即可求解； （）根据有理数的加法交换律进行简便运算即可； （）根据有理数的乘法分配律逆运算进行简便运算即可； （）根据有理数的乘法分配律逆运算进行简便运算即可； （）根据有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ， ， ； （4）解：原式， ， ， ； （5）解：原式， ， ； （6）解：原式， ， ， ． 【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则和运算律及其应用是解题的关键． 73．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： = = =． 74．简便运算 (1) (2) 【答案】(1)25 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练乘法分配律简便计算． （1）运用乘法分配律简算； （2）先将变形为，再根据乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 75．计算（能简便运算的需简便运算） (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)15 (3) (4)12 【分析】（1）利用加法的交换律，结合律计算即可． （2）把除法统一到乘法上来计算． （3）逆用乘法对加法的分配律计算即可． （4）把除法统一到乘法上来，后运用分配律计算． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算和运算律的应用，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 76．计算，能够使用简便运算的要使用简便运算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)45 (2) (3)4 (4)1 (5) (6) 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算进行计算； （2）根据有理数的四则混合运算进行计算； （3）根据有理数的加减混合运算进行计算； （4）将除法转化为乘法，根据乘法分配律进行计算； （5）根据有理数的混合运算进行计算，注意运算顺序； （6）根据有理数的混合运算进行计算即可，注意运算顺序． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． 77．利用运算律作简便运算，写出计算结果． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用加法交换律与结合律将小数部分相同的数结合在一起，再根据加法法则计算即可； （2）将化为，再利用乘法分配律计算即可； （3）每一项都有，逆用乘法分配律，即可计算； （4）利用加法的结合律，将相邻的两个数组成一组，得和为，共组，由此即可计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4） 【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，解题是要注意灵活运用加法的结合律和乘法的分配律，凑整计算． 78．计算下面各题，能简算可以简算． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【答案】①；②；③；④；⑤；⑥ 【分析】本题考查了简便运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． ①先把拆成，然后根据乘法分配律逆运算进行简算； ②根据乘法分配律，加法结合律进行简算； ③先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的除法； ④根据乘法分配律进行简算； ⑤先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律逆运算进行简算； ⑥观察发现：，，，，按此规律将每个分数拆成两个分数相减的形式后进行简算． 【详解】① = = = = = ② = = = = = ③ = = = = = = ④ = = = ⑤ = = = = = ⑥ = = = = = 79．脱式计算，能简算的要简算． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据运算顺序和法则进行计算即可． （1）先算乘法和除法，再算加法； （2）根据乘法分配律进行简算； （3）先算小括号里面的加法，再算乘法，最后算除法． 【详解】（1） （2） （3） 80．计算下列各题，能简算的要简算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，注意计算的准确性即可． （1）利用有理数的混合运算法则即可求解； （2）利用有理数的混合运算法则即可求解； （3）利用有理数的混合运算法则即可求解； （4）利用有理数的混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【经典例题九 有相反数、倒数类型计算题】 81．若a与b互为相反数，x与y互为倒数，m的绝对值和倒数均是它本身，n的相反数是它本身，求的值． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方、倒数、绝对值、相反数的相关概念求解即可． 【详解】解：因为a与b互为相反数，所以． 因为x与y互为倒数，所以． 因为的绝对值和倒数均是它本身，所以． 因为n的相反数是它本身，所以． 所以 ． 【点睛】本题考查的是相反数的含义，倒数的含义，绝对值的含义，乘方运算，求解代数式的值，熟练的利用代入法求解代数式的值是解本题的关键． 82．如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题考查相反数，倒数，绝对值，及坐标轴上点的计算问题，根据互为相反的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1及绝对值的性质，y轴负半轴上点是负数代入求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵，互为相反数，，互为倒数， ∴，， ∵的绝对值是2， ∴， ∵是数轴负半轴上到原点的距离为1的数， ∴， ∴原式 ． 83．列式计算：的相反数与的和的绝对值，加上，和是多少？ 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、相反数、绝对值，根据题干描述列式计算即可． 【详解】解：由题意，得． 84．若a，b互为倒数，x，y互为相反数，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了倒数，相反数，绝对值和代数式求值，正确得到，或是解题的关键． 【详解】解∶ ∵a，b互为倒数，x，y互为相反数，且， 由题可知，或．· 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，的值为18或． 85．已知数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为5，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，利用相反数，倒数，以及绝对值的定义求出以及e的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ∴ ． 86．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4或 (2)8 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值的定义，代数式求值，含乘方的有理数混合运算，准确理解并灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）根据题意得到，，，再代入原式进行求解即可； （2）根据题意得到，，，再代入原式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，，． 当时，原式； 当时，原式． 所以的值为4或； （2）当时，原式； 当时，原式． 所以的值为8． 87．若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数和绝对值的意义，根据、互为相反数，、互为倒数，，求出，，，利用整体代入的思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数，， ∴，，， ∴， ， ， ． 88．已知互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，求 的值． 【答案】 【分析】此题考查了相反数、倒数的性质，有理数的混合运算；利用相反数，倒数性质求出，，，则，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意可得，1，， ∴． ∴ =1+1+0-1 =1． 89．（1）如果，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，则______，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的值． 【答案】（1），或3；（2）的值是或 【分析】本题考查代数式求值，倒数、相反数、绝对值的意义，熟练理解相关定义，能据此得出式子的值是解题关键． （1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各式的值，代入原式计算即可求出值． （2））利用相绝对值的代数意义求出各数的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：（1）由题意得：， 故答案为， ，，，即， 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，原式的值是或3． （2），， ， ， ，． 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值是或． 90．已知与互为相反数，与互为倒数．且，求． 【答案】 【分析】根据相反数和倒数的定义求出，再根据非负数的性质求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了非负数的性质、乘方运算、相反数和倒数的意义，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【经典例题十 有理数的规律计算题】 91．我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键．先计算出每个括号内的结果，将原式化为若干个负分数的乘积的性质，根据已知规律，即可计算求值，注意符号的化简． 【详解】解： ． 92．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 【答案】（1）①；②；③；④  （2）（3） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． （1）①②③④根据题目可得规律当时，；当时；当时，；运用规律可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． （3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． 【详解】解：（1）由题目运算可得：当，时，；当时；当时，； ①∵ ∴； ②∵， ∴； ③∵， ∴； ④∵ ∴； 故答案为为：；；；． （2）， 故答案为：． （3） ． 93．观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ， ， ．（n为正整数） (2)根据规律计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找到规律是关键． （1）依据规律即可完成； （2）由（1）得出的规律，按照有理数的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：，，．（n为正整数） 故答案为：，， （2）解： ． 94．，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【阅读理解】 根据上面得到的启发完成下面的计算： (1)根据规律，是第______个数； (2)请直接写出计算的结果：______； (3)探究并计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分数的性质，有理数的混合运算，理解材料提示信息，掌握分数性质及变式是解题的关键． （1）根据材料提示可得，即可求解； （2）根据材料提示裂项，分数的加减混合运算即可求解； （3）根据材料提示可得，依次类推即可求解． 【详解】（1）解：根据材料提示得，， ∴是第个数， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：． （3）解： ． 95．探究规律，完成相关题目．类比有理数的乘方，我们定义：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算，叫做除方，例如，记作，读作“2的圈2次方”；，记作，读作“的圈3次方”；一般地，（），特别地，一个数可以看作这个数本身的圈1次方． (1)有理数的除法可以转化为乘法，那么有理数的除方能否转化为有理数的乘方进行运算呢？请你由特殊到一般探究有理数除方的运算： ， ， ， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________； (2)归纳： 当时，；当时，________； 当且n为整数时，________； (3)应用上述规律，计算：． 【答案】(1)，， (2)1； (3)11 【分析】（1）根据题中的新定义计算即可得到结果； （2）归纳总结得到规律即可； （3）利用得出的结论计算即可得到结果． 【详解】（1）， ， ； （2）； （也可以写成）； 故答案为：1； （3） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 96．观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 【答案】(1) (2)①306；②468． 【分析】（1）仿照已知等式，得出规律，写出第⑤个等式即可； （2）利用得出的规律计算各式即可． 【详解】（1）解：第⑤个等式：； 故答案为：； （2）解：①； ② ． 【点睛】本题主要考查了对数字变化规律的考查，有理数的乘法，熟练掌握运算规律是解此题的关键． 97．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键． （1）利用规律，将转化为进行计算即可； （2）利用规律，将转化为进行计算即可； （3）将转化为，再利用规律解题即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 98．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算， （1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答； （2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：； （3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答， 掌握第n个等式：是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 故第n个等式：； （3）解：由（2）知第n个等式：； 则 99．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ． ②如果欲求的值， 可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可） 由结论求 ． （2）为了求的值， 可令， 则， 因此，， ∴，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）①，，②；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，充分理解题干给出的计算思路，是解答本题的关键． （1）①总结规律即可作答；②按照题干思路作答即可； （2）按照题干思路作答即可． 【详解】（1）①，， ②可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得， ∴．（列式即可） ∴； （2）令， 则， 因此，， ∴， 即． 100．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)　　． (2)根据以上观察，聪明的你发现　　． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题中的例子进行求解即可； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3） 【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． 【经典例题十一 有理数的新定义运算】 101．阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)2.5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，求出所求式子的值． （1）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可； （2）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 102．定义一种运算：，求 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用已知的新定义计算即可得到结果，注意运算顺序． 【详解】解： = = = = = =． 103．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．计算： 【答案】 【分析】本题考查了新运算，求代数式的值；根据新定义进行计算即可． 【详解】解：                    ． 104．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 105．对于有理数，，定义一种新运算“@”，规定． (1)计算的值． (2)计算的值． 【答案】(1)2 (2)4 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）根据新定义规定的运算公式列式计算即可； （2）根据新定义规定的运算公式列式先计算，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ ∴ ． 106．定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新运算，有理数的混合运算，理解规定的运算是关键． （1）按照规定的新运算进行计算即可； （2）按照规定的新运算先算括号里的新运算，再算括号外的新运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 107．对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的求解，注意明确有理数混合运算顺序是解题关键． （1）根据新定义运算法则列式计算； （2）根据新定义运算法则先求得，然后再算括号外面的即可． 【详解】（1）解：； （2）， ． 108．对于有理数a，b定义种新运算，规定． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)21 (2)10 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算： （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，先求，再计算即可． 【详解】（1）根据题中的新定义得： ； （2） ． 109．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：． (1)求的值； (2)若的值与b互为相反数，求b的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要新定义运算规则下的运算，关键是要理解新的运算规则． （1）根据定义新运算“※”的法则计算即可求解； （2）根据定义新运算“※”的法则计算，再求其相反数即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ； （2）解： ． ∵的值与b互为相反数， ∴． 110．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的除法以及倒数的定义，如图两个数乘积为1，那么这两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义可得出答案； （2）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算即可； （3）再由倒数的定义直接得出答案即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 有理数的运算110道计算题专项训练（11大题型） 题型一 两个数四则运算（基础题） 题型二 多个数混合运算（基础型） 题型三 有理数加减法计算题 题型四 有理数乘除法计算题 题型五 含乘方的有理数混合运算 题型六 有理数四则混合运算（复杂） 题型七 含绝对值的有理数计算 题型八 有理数的简便运算 题型九 有相反数、倒数类型计算题 题型十 有理数的规律计算题 题型十一 有理数的新定义运算 【经典例题一 两个数四则运算（基础题）】 1．计算：． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1) (2) (3) 4．计算： (1) (2) (3) 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 8．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6) 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【经典例题二 多个数混合运算（基础型）】 11．计算： (1)； (2)． 12．计算． (1) (2) 13．计算： (1)； (2)； 14．计算： (1)； (2)． 15．用简便方法计算： (1) (2) (3) 16．计算． (1)； (2)． (3)； (4)． 17．计算 (1)； (2) (3)； (4)； 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 19．计算（直接写出结果）． (1)______ (2)______ (3)______ (4)______ (5)______ (6)______ 20．阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 【经典例题三 有理数加减法计算题】 21．计算： 22．计算：． 23．计算： 24．计算：． 25．计算： (1)； (2)． 26．计算： (1)； (2) 27．计算： (1)； (2)． 28．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 29．计算: (1) (2) (3) (4) (5) 30．(1)计算： ①             　　　 ② ③        　　　　 ④ (2)计算： ① ② 【经典例题四 有理数乘除法计算题】 31．简便计算 32．计算：． 33．用简便方法计算： 34．计算： (1)； (2)． 35．计算： (1)； (2)． 36．计算下列各题 (1) (2) 37．计算： (1)； (2)； (3)． 38．计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 39．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 40．计算下列各题，能简算的要简算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题五 含乘方的有理数混合运算】 41．计算：． 42．计算：． 43．计算： 44．计算： (1)(－5)4；　　 (2)－54；　(3)(－)3；      (4)－；　　　(5)－(－)3. 45．计算： (1)； (2)． 46．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 47．计算： （1）；      （2）． 48．计算： (1)(－3)4，－34，－3×4，－(－3)4； (2)－43，(－)3，－ 49．判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 50．阅读下列解题过程： 计算1+3+32+33+34+…+39+310的值． 解：设S＝1+3+32+33+34+…+39+310①， 则3S＝3×(1+3+32+33+…+39+310) 3S＝3×1+3×3+3×32+3×33+…+3×39+3×310 3S＝3+32+33+34+…+310+311②， ②﹣①得： 3S﹣S＝(3+32+33+34+…+39+310+311)﹣(1+3+32+33+34+…+39+310) 2S＝311﹣1，S＝，即1+3+32+33+34+…+39+310＝ 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法． 请用你学到的方法计算：1+5+52+53+54+…+524+525． 【经典例题六 有理数四则混合运算（复杂）】 51．计算： (1)； (2)． 52．用你喜欢的方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 53．计算： (1) (2) (3) (4) 54．脱式计算 (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6) 55．计算 (1) (2) (3) 56．计算 (1) (2) (3) 57．简便计算： (1) (2) (3) (4) 58．计算： (1) (2) (3) (4) 59．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 60．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)（简便计算）． 【经典例题七 含绝对值的有理数计算】 61．计算：. 62．计算： (1) (2) 63．有理数在数轴上的位置如图所示，    化简：． 64．已知a，b两数在数轴上的位置如图所示    求代数式 65．如图，数轴上有，，三点．    (1)____，_____，______；(填“”“”，“”) (2)化简． 66．计算：． 67．已知，且，求的值． 68．已知，求的值． 69．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 70．若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【经典例题八 有理数的简便运算】 71．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． (1)； (2)． 72．计算（第（）（）（）小题能用简便方法运算，请你使用） (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 73．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 74．简便运算 (1) (2) 75．计算（能简便运算的需简便运算） (1)； (2)； (3)； (4)． 76．计算，能够使用简便运算的要使用简便运算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 77．利用运算律作简便运算，写出计算结果． (1) (2) (3) (4) 78．计算下面各题，能简算可以简算． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 79．脱式计算，能简算的要简算． (1) (2) (3) 80．计算下列各题，能简算的要简算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题九 有相反数、倒数类型计算题】 81．若a与b互为相反数，x与y互为倒数，m的绝对值和倒数均是它本身，n的相反数是它本身，求的值． 82．如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 83．列式计算：的相反数与的和的绝对值，加上，和是多少？ 84．若a，b互为倒数，x，y互为相反数，且，求的值． 85．已知数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为5，求的值． 86．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3． (1)求的值； (2)求的值． 87．若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 88．已知互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，求 的值． 89．（1）如果，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，则______，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的值． 90．已知与互为相反数，与互为倒数．且，求． 【经典例题十 有理数的规律计算题】 91．我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 92．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 93．观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ， ， ．（n为正整数） (2)根据规律计算：． 94．，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【阅读理解】 根据上面得到的启发完成下面的计算： (1)根据规律，是第______个数； (2)请直接写出计算的结果：______； (3)探究并计算： 95．探究规律，完成相关题目．类比有理数的乘方，我们定义：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算，叫做除方，例如，记作，读作“2的圈2次方”；，记作，读作“的圈3次方”；一般地，（），特别地，一个数可以看作这个数本身的圈1次方． (1)有理数的除法可以转化为乘法，那么有理数的除方能否转化为有理数的乘方进行运算呢？请你由特殊到一般探究有理数除方的运算： ， ， ， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________； (2)归纳： 当时，；当时，________； 当且n为整数时，________； (3)应用上述规律，计算：． 96．观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 97．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 98．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 99．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ． ②如果欲求的值， 可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可） 由结论求 ． （2）为了求的值， 可令， 则， 因此，， ∴，即． 仿照以上推理，计算． 100．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)　　． (2)根据以上观察，聪明的你发现　　． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【经典例题十一 有理数的新定义运算】 101．阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 102．定义一种运算：，求 103．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．计算： 104．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 105．对于有理数，，定义一种新运算“@”，规定． (1)计算的值． (2)计算的值． 106．定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 107．对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 108．对于有理数a，b定义种新运算，规定． (1)求的值； (2)求的值． 109．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：． (1)求的值； (2)若的值与b互为相反数，求b的值． 110．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 学科网（北京）股份有限公司 $$