精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

牡丹江二中2023—2024学年度第二学期高二学年期末考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：1.选择性必修第二册导数；2.选择性必修第三册概率与统计；3.一轮复习：集合与常用逻辑用语，一元二次函数､方程，不等式，函数的概念及其表示，函数的单调性与最值，函数的奇偶性､周期性与对称性. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A，然后根据元素与集合，集合与集合的关系即得.. 【详解】， ，，，， 所以ABD错误，C正确. 故选：C. 2. 已知为非零实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，即，解得或， 所以由推不出，故充分性不成立， 由可以推出，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的定义域,结合分式函数分母不为零求出的定义域. 【详解】,,的定义域为. 又，且. 的定义域是. 故选：A 4. 设函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件易知函数关于点中心对称，结合奇偶性及平移变换列方程组分别求得，从而得到的值. 【详解】因为， 所以函数的图象关于点对称， 因为函数为奇函数，即关于对称， 所以根据平移变换得 函数， 所以， 解得， 所以. 故选：C. 5. 有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，报名足球或乒乓球俱乐部的有70人，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 【答案】A 【解析】 【分析】求出报名两个俱乐部的人数，继而求得某人报足球俱乐部的概率和某人报名两个俱乐部的概率，根据条件概率的计算公式，即可得答案. 【详解】由题意知报名两个俱乐部的人数为， 记“某人报足球俱乐部”为事件A，记“某人报乒乓球俱乐部”为事件， 则，所以, 故选：A 6. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为满足， 则 ， 当且仅当时取等号， 故选：． 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 7. 已知函数在上单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求函数的导数，转化为方程在区间上无实数解或有重根，参变分离为，转化为利用导数分析函数的性质和图象，结合函数的图象的交点个数求的取值范围. 【详解】依题意，，则在上无实数解，或有重根， 由，得，即， 令，则， 故当时，，当时，， 且，作出函数在上的图象如图所示，观察可知，或. 故选：D 8. 若函数（e为自然对数的底数）的图象上存在四个关于y轴对称的点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知方程在上有两个不同的实数根，进而转化为在上有两个不同的实数根. 令，利用导数研究极值与最值，得到实数m的取值范围. 【详解】由题意知方程在上有两个不同的实数根， 故， 即在上有两个不同的实数根. 令，则的图象与直线在上有两个不同的交点. ， 当时，，，所以，所以单调递减； 当时，，，所以， 所以单调递增. 所以当时，， 又，当时，， 所以实数m的取值范围为. 故选：B 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的解析式，结合函数的性质，即可判断. 【详解】选项A不具有奇偶性；选项B是奇函数，在上单调递增； 选项C，记，则，函数在上不是单调递增函数； 选项D，函数是奇函数，在上单调递增. 故选：BD 10. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集可判断出的正负以及的关系，由此可判断各选项的对错. 【详解】因为的解集为，解集属于两根之内的情况，所以， 又因为，所以； A．，故正确； B．因为，所以，故正确； C．因为解集为，所以，故错误； D．因为即为，即，解得，故正确； 故选：ABD. 11. 对于函数，其中，下列个命题中正确命题有（ ） A. 该函数定有个极值 B. 该函数的极小值一定不大于 C. 该函数一定存在零点 D. 存在实数，使得该函数有个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】函数定义域是， 由已知， ，有两个不等实根，但，一正一负． 由于定义域是，因此只有一个实根，只有一个极值，A错； 不妨设，则时，，递减，时，，递增．所以是函数的极小值．，， ＝， 设，则， 时，，递增，时，，递减， 所以极大值＝，即，所以，B正确； 由上可知当的极小值为正时，无零点．C错； 的极小值也是最小值为， 例如当时，，，时，，又（， 所以在和上各有一个零点，D正确． 故选：BD． 【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性． 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入条件中，得到，根据两式消元，求得函数的解析式. 【详解】由题知，，①；又，②； 由①②得，， 则， 故答案为： 13. 已知是定义域为的偶函数，且满足，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据条件分析函数的周期性，再结合已知条件计算，即可求解函数值的和. 【详解】由满足，则，即函数是周期为4的周期函数. 根据题意，是定义域为的偶函数，则有， 又由满足，则，所以， 由，可得， 则，所以 故答案为： 14. 设函数（为自然对数的底数），在定义域内任取均满足恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】设，得到，设，显然不是常数函数，故在上单调递增，所以，求导得到，构造，求导得到其单调性，，从而得到实数的取值范围和最大值. 【详解】不妨设，由题知恒成立. 设，显然不是常数函数，故在上单调递增，所以， 即. 因为，所以，所以，故. 令，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 故实数的最大值为0. 故答案为：0 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的解析式； （2）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，则，进而根据换元法求解即可； （2）结合函数的单调性得，进而将问题转化为对任意，不等式恒成立，再求解恒成立问题即可. 【小问1详解】 解：令，则， 则， 故． 【小问2详解】 解：由（1）可得． 因为函数和函数均在上单调递增， 所以在上单调递增． 故． 对任意，，不等式恒成立， 即对任意，不等式恒成立， 则解得或． 故的取值范围是． 16. 已知函数. （1）若在时有极值，求a的值； （2）在直线上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线相切？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在；答案见解析. 【解析】 【分析】 （1）对函数进行求导，根据极值的定义进行求解即可； （2）设点P坐标，切点坐标，利用导数的意义求出切线方程，通过构造函数，利用导数进行求解即可. 【详解】解析（1）由， 得， 由在时有极值，可得，解得. ， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 因此当时，有极值. 所以a的值为. （2）不妨设在直线上存在一点，使得过点P至少有两条直线与曲线相切. 设过点P且与相切的直线为l，切点坐标为， 则切线l的方程为， 又直线l过点，所以， 即， 设， 则， 所以在区间上单调递增， 所以至多有一个解， 即过点P且与相切的直线至多有一条， 故在直线上不存在点P，使得过P至少有两条直线与曲线相切. 17. 某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的. （1）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）； （2）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入（单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益（单位：万元） 2 3 2 7 表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 【答案】（1）5 （2）答案见解析， 【解析】 【分析】（1）应用频率分布直方图求出平均值即可； （2）根据已知条件求，再求即可求出回归直线. 【小问1详解】 由图知各小组依次是， 各小组的中点分别为，对应的频率分别为， 所以可估计销售收益的平均值为 【小问2详解】 由（2）可知空白栏中填5. 由题意可知， . 根据公式，可求得，则， 所以所求的回归直线方程为. 18. 为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm），经统计其增长长度均在区间内，将其按成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品. （1）已知这120件产品来自两个试验区，部分数据如下列联表： 试验区 试验区 合计 优质产品 20 非优质产品 60 合计 将联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与两个试验区有关系，并说明理由； （2）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，没有，理由见解析 （2）分布列见解析，1 【解析】 【分析】（1）完成联表，计算再判断相关关系； （2）应用二项分布求出概率及分布列，再计算数学期望. 【小问1详解】 根据频率分布直方图数据，得， 解得. 所以样本中优质产品有， 列联表如下表所示： 试验区 试验区 合计 优质产品 10 20 30 非优质产品 60 30 90 合计 70 50 120 ， 没有的把握认为优质产品与两个试验区有关系. 【小问2详解】 由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数的可能取值为，且， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 . 19. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）当时，若函数有两个零点． ①证明：； ②证明：． 【答案】（1）有极小值，无极大值 （2）①证明见详解；②证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可求极值； （2）对①：根据分析可得等价于，构建，利用导数证明；对②：令，整理可得，结合的单调性证明，再结合的单调性即可证明. 【小问1详解】 由题意可得：， ∵在上单调递增，且， ∴当时，，当时，， 即当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 可得有极小值，无极大值. 【小问2详解】 若函数有两个零点，则，解得， 当时，则， 结合的单调性可知：在，内均只有一个零点，则， 构建，则当时恒成立， 故在上单调递增， ①令，则等价于，等价于，等价于， ∵在上单调递增，则， 即，故. ②若函数有两个零点，令，即， 则，可得， 故， 由，则， ∵在上单调递增，则，即， ∴当时恒成立， 又∵在上单调递减，且， ∴，即， 故. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形． （2）构造新的函数h(x)． （3）利用导数研究h(x)的单调性或最值． （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江二中2023—2024学年度第二学期高二学年期末考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：1.选择性必修第二册导数；2.选择性必修第三册概率与统计；3.一轮复习：集合与常用逻辑用语，一元二次函数､方程，不等式，函数的概念及其表示，函数的单调性与最值，函数的奇偶性､周期性与对称性. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为非零实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 设函数，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，报名足球或乒乓球俱乐部的有70人，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 6. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数（e为自然对数的底数）的图象上存在四个关于y轴对称的点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 10. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 不等式的解集是 11. 对于函数，其中，下列个命题中正确命题有（ ） A. 该函数定有个极值 B. 该函数的极小值一定不大于 C. 该函数一定存在零点 D. 存在实数，使得该函数有个零点 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的解析式为________． 13. 已知是定义域为的偶函数，且满足，则__________. 14. 设函数（为自然对数的底数），在定义域内任取均满足恒成立，则实数的最大值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的解析式； （2）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 16. 已知函数. （1）若在时有极值，求a的值； （2）在直线上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线相切？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 17. 某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的. （1）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）； （2）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入（单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益（单位：万元） 2 3 2 7 表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 18. 为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm），经统计其增长长度均在区间内，将其按成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品. （1）已知这120件产品来自两个试验区，部分数据如下列联表： 试验区 试验区 合计 优质产品 20 非优质产品 60 合计 将联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与两个试验区有关系，并说明理由； （2）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）当时，若函数有两个零点． ①证明：； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $