精品解析：吉林省白城市通榆县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末测试卷 七年级数学 （总分120分，时间120分钟） 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，则度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若不等式组的解集在数轴上如图所示，则该解集表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了解我县七年级2000名学生期末数学考试情况．从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计．下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②2000名学生是总体；③每名学生的数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200名学生是样本容量．其中正确的判断有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. －64的立方根是_______． 8. x的与5的差不小于3，用不等式表示为__． 9. 已知方程，用含x代数式表示y，则_______． 10. 现将一把直尺和的直角三角板按如图摆放，经测量得，则___________． 11. 不等式3x﹣2≥4（x﹣1）的所有非负整数解的和为__． 12. 北京市为了全民健身，举办“健步走”活动，活动场地位于奥林匹克公园(路线:森林公园→玲珑塔→国家体育场→水立方)．如果体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上标记玲珑塔的坐标为，森林公园的坐标为则终点水立方的坐标是__． 13. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到则四边形的周长为___． 14. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行，问：人与车各多少？根据题意，设共有人，辆车，则可列方程组______． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 计算：． 16. 解方程组：． 17. 解不等式组：，完成下列解题过程： （1）解不等式①，得______________； （2）解不等式②，得______________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______________． 18. 如图，直线相交于点平分．若于点O，求的度数． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，数轴正半轴上有三点，表示1和的对应点分别为，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等． （1）求点C所表示的数． （2）若点C表示的数为m，求的平方根． 20. 如图，在边长为1的正方形网格中，，，． （1）平移线段到线段，使点A与点C重合，画出线段； （2）求线段平移至线段处所扫过的面积； （3）平移线段．使其两端点都在坐标轴上，则平移后点A的坐标为_______． 21. 风力发电是一种绿色环保的发电方式，一般主要分布在山顶，海上，草原等利用风能发电．其中一套风力发电设备（如图）由一个风机塔筒和三个风机叶片组成，其中碳纤维材料是必须的材料，据了解15吨的碳纤维材料可以制作30个风机塔筒或60个风机叶片． （1）1吨碳纤维材料可以做多少个风机塔筒或多少个风机叶片？ （2）现有75吨碳纤维材料，一共可以做多少套风力发电设备？ 22. 学着点推理：在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式） 如图，已知直线AB//直线CD，射线BE、CF分别平分∠ABC和∠DCB，求证：BE//CF． 证明：∵AB//CD，（已知） ∴∠ 　 =∠ 　 ．（ 　 ） ∵ 　，（已知） ∴∠EBC=∠ABC．（角的平分线定义） 同理，∠FCB= 　． ∴∠EBC=∠FCB．（等量代换） ∴BE//CF．（ 　 ） 请你通过观察，将发现的结论用语言叙述：_________________________________． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. （1）已知关于x的方程的解是负数，求k的取值范围． （2）若关于的方程组的解满足，求m的最小整数值． 24. 为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有　 　人，在扇形统计图中，m的值是　 　． （2）分别求出参加调查学生中选择绘画和书法的人数，并将条形统计图补充完整． （3）该校共有学生2000人，估计该校约有多少人选修乐器课程？ 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 某商店销售两种玩具，这两种玩具的进价和售价如下表所示： 玩具 进价（元/件） 售价（元/件） 8 10 7 10 该商店计划购进这两种玩具若干件，共需2300元，全部销售后可获毛利润700元． （1）问该商店计划购进两种玩具各多少件？ （2）通过市场调研，该商店决定在原计划的基础上，减少种玩具的购进数量，增加种玩具的购进数量．已知种玩具增加的数量是种玩具减少数量的1.5倍．如果用于购进这两种玩具的总资金不超过2550元，那么购进种玩具至多减少多少套． 【毛利益=（售价-进价）×销售量】 26. 问题情境：如图，，，，求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案） （2）问题迁移：如图，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末测试卷 七年级数学 （总分120分，时间120分钟） 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是负整数，不是无理数，故此选项不符合题意； B、0是整数，不是无理数，故此选项不符合题意； C、是分数，不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无理数，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中，各个象限的点的坐标特征． 根据第二象限内的点的坐标特征为：横坐标为负，纵坐标为正，判断点P所在的象限即可． 【详解】解：∵第二象限内的点的坐标特征为：横坐标为负，纵坐标为正， ∴点所在的象限是第二象限， 故选：B． 3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且含有的未知数的项的次数为，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不符合题意； B、方程组中含有三个未知数，不符合题意； C、方程组中含有两个未知数，每个未知数的次数为，符合题意； D、方程组中含有两个未知数，中未知数的次数为，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握含有两个未知数，且含有的未知数的项的次数为的方程是解题的关键． 4. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，先由两直线平行，同旁内角互补求出，再由对顶角相等即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 若不等式组的解集在数轴上如图所示，则该解集表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用数轴表示不等式组的解集，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键． 实心点表示大于等于或小于等于，空心点表示大于或小于，再根据不等式解集的数轴表示方法判断即可． 【详解】解：由数轴可得所表示的解集为， 故选：A． 6. 为了解我县七年级2000名学生期末数学考试情况．从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计．下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②2000名学生是总体；③每名学生的数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200名学生是样本容量．其中正确的判断有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：为了解我校八年级2000名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计． ①这种调查方式是抽样调查，故①正确； ②2000名学的数学成绩生是总体，故②错误； ③每名学生的数学成绩是个体，故③正确； ④200名学生的数学成绩是总体的一个样本，故④错误； ⑤200是样本容量，故⑤错误． 所以正确的判断有①③，共2个． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. －64的立方根是_______． 【答案】-4 【解析】 【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数进行求解． 【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数， 可知-64的立方根为-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数． 8. x的与5的差不小于3，用不等式表示为__． 【答案】x﹣5≥3． 【解析】 【详解】x的与5的差为 因为x与5的差不小于3，即 故填 9. 已知方程，用含x的代数式表示y，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． 将x看作已知数，先移项再系数化为1，即可求出y． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 10. 现将一把直尺和的直角三角板按如图摆放，经测量得，则___________． 【答案】##52度 【解析】 【分析】由直尺可得，由直角三角板可知，再利用三角形外角定理和平行线性质推角，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题可知 ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外角定理和平行线性质，掌握平行线性质是解题关键． 11. 不等式3x﹣2≥4（x﹣1）的所有非负整数解的和为__． 【答案】3. 【解析】 【详解】试题解析： 3x﹣2≥4（x﹣1）， 3x﹣2≥4x﹣4， x≤2， 所以不等式的非负整数解为0，1，2， 0+1+2=3， 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的非负整数解的应用，解此题的关键是能求出不等式的非负整数解，难度适中． 12. 北京市为了全民健身，举办“健步走”活动，活动场地位于奥林匹克公园(路线:森林公园→玲珑塔→国家体育场→水立方)．如果体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上标记玲珑塔的坐标为，森林公园的坐标为则终点水立方的坐标是__． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用已知点得出原点位置进而得出答案即可． 【详解】如图所示，终点水立方的坐标是 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的点坐标问题，掌握平面直角坐标系的性质是解题的关键． 13. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到则四边形的周长为___． 【答案】 【解析】 【分析】先利用的性质得到，然后利用等线段代换得到四边形ABFD的周长． 【详解】∵沿方向平移个单位得到 ∴ ∵的周长为 ∴ ∴四边形ABFD的周长 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形平移的问题，掌握平移的性质、三角形周长公式是解题的关键． 14. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行，问：人与车各多少？根据题意，设共有人，辆车，则可列方程组______． 【答案】 【解析】 【分析】设共有人，辆车，根据“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步”，即可得出关于，的二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设共有x人，y辆车，根据题意得 ， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是解题的关键． 先计算开方，并去绝对值符号，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解方程组即可. 【详解】解： ①×2＋②，得11＝33 解得＝3 把＝3代入①，解得＝3 ∴原方程组的解是． 【点睛】本题考查了加减消元法：将两个方程中其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数），通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程得到一个未知数的值，再将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值． 17. 解不等式组：，完成下列解题过程： （1）解不等式①，得______________； （2）解不等式②，得______________； （3）把不等式①和②解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______________． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取公共解集的方法． （1）解不等式即可； （2）解不等式即可； （3）把解集表示在数轴上； （4）结合（3）写出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：解集在数轴上表示为： 【小问4详解】 解：不等式组的解集为：． 故答案为：． 18. 如图，直线相交于点平分．若于点O，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何图形中的角度计算问题，根据垂直的定义得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：于点O， ， 平分， ， 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，数轴的正半轴上有三点，表示1和的对应点分别为，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等． （1）求点C所表示的数． （2）若点C表示的数为m，求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、平方根等知识，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离求出的长即可得出答案； （2）把m值代入所求代数式进行计算，再由平方根的定义即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵表示1和的对应点分别为A、B， ∴， ∵点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等， ∴， ∴点C所表示的数为； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴的平方根为． 20. 如图，在边长为1的正方形网格中，，，． （1）平移线段到线段，使点A与点C重合，画出线段； （2）求线段平移至线段处所扫过的面积； （3）平移线段．使其两端点都在坐标轴上，则平移后点A的坐标为_______． 【答案】（1）见解析 （2）15 （3）或 【解析】 【分析】此题主要考查图形平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． （1）根据点与点的坐标得出坐标变化规律，从而得到点的坐标； （2）根据平移的性质得出是平行四边形，根据平行四边形的面积公式列式计算即可； （3）分两种情况：①平移后的对应点在轴上，的对应点在轴上；②平移后的对应点在轴上，的对应点在轴上． 【小问1详解】 解：如图所示，线段就是所求． 【小问2详解】 解：平移线段到线段， ，， 线段平移至线段处所扫过的面积为：； 【小问3详解】 解：分两种情况： ①如果平移后的对应点在轴上，的对应点在轴上， 那么坐标变化规律是：横坐标减去2，纵坐标减去1， ， 平移后点的坐标为； ②如果平移后的对应点在轴上，的对应点在轴上， 那么坐标变化规律是：横坐标减去4，纵坐标减去4， ， 平移后点的坐标为； 故答案为：或． 21. 风力发电是一种绿色环保的发电方式，一般主要分布在山顶，海上，草原等利用风能发电．其中一套风力发电设备（如图）由一个风机塔筒和三个风机叶片组成，其中碳纤维材料是必须的材料，据了解15吨的碳纤维材料可以制作30个风机塔筒或60个风机叶片． （1）1吨碳纤维材料可以做多少个风机塔筒或多少个风机叶片？ （2）现有75吨碳纤维材料，一共可以做多少套风力发电设备？ 【答案】（1）1吨碳纤维材料可以做2个风机塔筒或4个风机叶片 （2）一共可以做60套风力发电设备 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，李处相应的方程组． （1）设1吨碳纤维材料可以做x个风机塔筒或y个风机叶片片，根据题意可得制作1个风机塔筒需要吨的碳纤维材料，制作1个风机叶片需要吨的碳纤维材料，列方程求解即可； （2）设用m吨碳纤维材料制作风机塔筒，用n吨碳纤维材料制作风机叶片，列方程组求出m、n的值，根据一套风力发电设备由一个风机塔筒和三个风机叶片组成即可解答． 【小问1详解】 解：设1吨碳纤维材料可以做x个风机塔筒或y个风机叶片， 根据题意得制作1个风机塔筒需要吨的碳纤维材料，制作1个风机叶片需要吨的碳纤维材料， ， ， 解得，， 答：1吨碳纤维材料可以做2个风机塔筒或4个风机叶片． 【小问2详解】 解：设用m吨碳纤维材料制作风机塔筒，用n吨碳纤维材料制作风机叶片， ， 解得， （套）． 答：一共可以做60套风力发电设备． 22. 学着点推理：在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式） 如图，已知直线AB//直线CD，射线BE、CF分别平分∠ABC和∠DCB，求证：BE//CF． 证明：∵AB//CD，（已知） ∴∠ 　 =∠ 　 ．（ 　 ） ∵ 　，（已知） ∴∠EBC=∠ABC．（角的平分线定义） 同理，∠FCB= 　． ∴∠EBC=∠FCB．（等量代换） ∴BE//CF．（ 　 ） 请你通过观察，将发现的结论用语言叙述：_________________________________． 【答案】∠ABC=∠DCB；两直线平行，内错角相等；BE平分∠ABC；∠DCB；内错角相等，两直线平行；两条平行线被第三条直线所截，则任意一组内错角的平分线互相平行 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】证明：（已知） （两直线平行，内错角相等）， 平分，（已知） （角平分线的定义）， 同理：， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， 请你通过观察，将发现的结论用语言叙述：两条平行线被第三条直线所截，则任意一组内错角的平分线互相平行 故答案为：，，两直线平行，内错角相等，平分，，内错角相等，两直线平行，两条平行线被第三条直线所截，则任意一组内错角的平分线互相平行． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义等知识点，能熟练的运用定理进行推理是解此题的关键． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. （1）已知关于x的方程的解是负数，求k的取值范围． （2）若关于的方程组的解满足，求m的最小整数值． 【答案】（1）；（2）2 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先解一元一次方程，可得，然后题意可得，进行计算即可解答； （2）先利用加减消元法解方程组，求出的值，然后根据题意可得，进行计算即可解答． 【详解】解：（1） ∵关于x的方程的解是负数 解得 （2） 得 解得 ． 解得 的最小整数值为2． 24. 为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有　 　人，在扇形统计图中，m的值是　 　． （2）分别求出参加调查的学生中选择绘画和书法的人数，并将条形统计图补充完整． （3）该校共有学生2000人，估计该校约有多少人选修乐器课程？ 【答案】（1）50； （2）选修绘画的人数为10人，选修书法的人数为5人，条形统计图见解析； （3）该校约有600人选修乐器课程. 【解析】 【分析】（1）根据选修舞蹈的人数与所占的百分比列式计算即可求得参加调查的学生总人数，然后用选修乐器的人数除以参加调查的学生总人数得到m的值； （2）用参加调查的学生总人数分别乘以选修绘画和书法的所占百分比即可得到相应的人数，然后补全条形统计图即可； （3）用学生总数2000人乘以选修乐器所占百分比，即可得到答案. 【详解】（1）根据选修舞蹈的人数和所占百分比得： 本次调查的学生共有人， ∴； 故答案为50；； 选修绘画的人数人，选修书法的人数人， 如图所示： 估计该校选修乐器课程的人数为(人)． 答：该校约有600人选修乐器课程. 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 某商店销售两种玩具，这两种玩具的进价和售价如下表所示： 玩具 进价（元/件） 售价（元/件） 8 10 7 10 该商店计划购进这两种玩具若干件，共需2300元，全部销售后可获毛利润700元． （1）问该商店计划购进两种玩具各多少件？ （2）通过市场调研，该商店决定在原计划的基础上，减少种玩具的购进数量，增加种玩具的购进数量．已知种玩具增加的数量是种玩具减少数量的1.5倍．如果用于购进这两种玩具的总资金不超过2550元，那么购进种玩具至多减少多少套． 【毛利益=（售价-进价）×销售量】 【答案】（1）该商店计划购进A种玩具200件，B种玩具100件；（2）购进A种玩具至多减少100件 【解析】 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，然后根据加减消元法解方程组即可； （2）设购进A种玩具减少a件，然后根据A单价（200-a）+B单价（100+1.5a）2550带入数值，解不等式即可． 【详解】（1）设该商店计划购进A种玩具x件，B种玩具y件. 根据题意，得 解得： 答：该商店计划购进A种玩具200件，B种玩具100件． （2）设购进A种玩具减少a件. 根据题意，得 解得a≤100. 答：购进A种玩具至多减少100件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式的实际应用，在解不等式时，要注意负号和不等号的变号问题． 26. 问题情境：如图，，，，求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案） （2）问题迁移：如图，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）当在延长线上时，；当在延长线上时，． 【解析】 【分析】（）过点作，由平行线性质求即可； （）过点作，交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （）分两种情况：在延长线上和在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质解答即可求解； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 理由如下： 如图，过点作，交于， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：当在延长线上时，如图所示， 由（）可知，，， ∴； 当在延长线上时，如图所示， 由（）可知，，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$