精品解析：山东省济南市历城区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 说明：本试题全部作答在答题卡上，写在本试卷上无效 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 2024年3月25日鹊桥二号中继卫星顺利进入环月轨道飞行，其天线由精细的镀金钼丝编织而成，这些钼丝的直径仅为米，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 负数大于正数 B. 经过红绿灯路口，遇到红灯 C. 抛掷硬币时，正面朝上 D. 任意画一个三角形，其内角和是 6. 满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为( ) A. B. C. D. 8. 绿色出行，健康出行，你我同行，某县为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图是共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图；其中，都与地面平行，，，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的的值是（　　） A 4 B. 4或12 C. 4或16 D. 5或12 10. 如图，已知，，，，点D，E分别是，边上的动点，满足．连接，，则的最小值为（ ）． A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 9的平方根是_________． 12. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 13. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 14. 如图，已知AB=AC，AB=5，BC=3，以AB两点为圆心，大于AB长为半径画圆，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相较于点D，则△BDC的周长为_________． 15. 由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若每个直角三角形的面积为4，两直角边的和为6，则图中阴影部分的面积为____________． 16. 如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为____________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 18. 先化简，再求值：．其中，． 19. 如图，点E在线段上，，，．求证：． 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． （1）画出格点三角形关于直线对称的； （2）的面积是 （3）在直线上找出点P，使最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹） 21. 在一个不透明的盒子里装有只有色不同的黑、白两种球共20个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近______； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 22. 如图所示，在中： （1）下列操作中，作平分线的正确顺序是 （将序号按正确的顺序写在横线上）． ①分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，交于点N； ③画射线，交于点D． （2）能说明的依据是 （填序号）． ①，②，③，④角平分线上的点到角两边的距离相等 （3）如图，过点D作于点E，若，的面积是24，的周长为12，求的长． 23. 综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短(总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计) 素材2 对该背包的背带长度进行测量，该单层的部分长度是，双层部分的长度是，得到如下数据： 单层部分的长度x(cm) 0 2 4 6 8 … 150 双层部分的长度y(cm) 75 74 73 72      … 0 根据上述的素材，解决以下问题： （1）根据上表中数据的规律，表格中空白处的数据为 （2）请写出双层部分的长度与单层部分长度之间的关系式 ； （3）根据成成同学的身高和习惯，背带的总长度为时，背起来最舒适，请求出此时单层部分的长度． 24. 如图，已知在中，，，，D是上的一点，．点P从B点出发沿射线方向以每秒1个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t，连接． （1）当秒时，求的长度； （2）当点P在线段的垂直平分线上时，求t的值； （3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？请直接写出t的值． 25. （1）【发现问题】如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D，则与的数量关系是 ， （2）【类比探究】如图2，在和中，，，，连接，，延长，相交于点D，请猜想与数量关系及的度数，并说明理由． （3）【解决问题】如图3，四边形中，，已知，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 说明：本试题全部作答在答题卡上，写在本试卷上无效 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相反数的定义计算即可得到结果． 【详解】的相反数是-． 故选A． 【点睛】此题考查了实数的性质，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 2. 下列图案中是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 所以是轴对称图形； 故选：D． 3. 2024年3月25日鹊桥二号中继卫星顺利进入环月轨道飞行，其天线由精细的镀金钼丝编织而成，这些钼丝的直径仅为米，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中＜，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：米米． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方运算，熟练掌握运算法则和公式是解答本题的关键．根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方逐项分析即可． 【详解】解：A．，原计算错误，故本选项不符合题意； B．，原计算错误，故本选项不符合题意； C．，原计算错误，故本选项不符合题意；； D．，故本选项符合题意；； 故选D． 5. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 负数大于正数 B. 经过红绿灯路口，遇到红灯 C. 抛掷硬币时，正面朝上 D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据相关概念逐项判断即可． 【详解】解：A、负数大于正数，不可能事件，不符合题意； B、经过红绿灯路口，遇到红灯，随机事件，不符合题意； C、抛掷硬币时，正面朝上，随机事件，不符合题意； D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； 故选：D． 6. 满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】解：A、，， ∴最大角为， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； B、设分别为， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； C、， ∴不符合三角形三边关系， 故本选项不符合题意； D、， ， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 7. 已知，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，先计算完全平方式，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 绿色出行，健康出行，你我同行，某县为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图是共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图；其中，都与地面平行，，，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，先根据平角定义求得，再根据平行线的性质得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9. 如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的的值是（　　） A. 4 B. 4或12 C. 4或16 D. 5或12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．根据图象求出和，再分析当点在上运动时，当点在上运动时的的高为4，据此求出的值即可． 【详解】解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当点在上运动时，， ， ， 当点在上运动时，， ， ， 故选：B 10. 如图，已知，，，，点D，E分别是，边上的动点，满足．连接，，则的最小值为（ ）． A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线是解题关键．过A作，垂足为A，使，过点F作交延长线于点G，连接，则，可得四边形是矩形，再证明，可得当C、D、F共线时，取得最小值，最小值为的长，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：过A作，垂足为A，使，过点F作交延长线于点G，连接，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即当C、D、F共线时，取得最小值，最小值为的长， ， 即的最小值为13． 故选：B 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 9的平方根是_________． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3． 故答案为±3． 【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 12. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法：计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率，得到阴影区域面积是关键．根据几何概率的求解方法，求得阴影区域的面积与总面积的比值即可求解． 【详解】解：由图可知，总面积为9个小正方形的面积，其中阴影区域的面积为3个小正方形的面积，则小球停留在阴影区域的概率是， 故答案为：． 13. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理；分情况讨论这个的角是顶角还是底角． 【详解】解：若的角是顶角，则这个等腰三角形的顶角为； 若的角是底角，则顶角是， 综上所述， 这个等腰三角形的顶角为或． 故答案是：或． 14. 如图，已知AB=AC，AB=5，BC=3，以AB两点为圆心，大于AB的长为半径画圆，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相较于点D，则△BDC的周长为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AB+BC． 【详解】解：由作法得MN垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴△BDC的周长=DB+DC+BC =DA+DC+BC =AC+BC =AB+BC =5+3 =8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线）．也考查了线段垂直平分线的性质．熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 15. 由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若每个直角三角形的面积为4，两直角边的和为6，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、正方形的面积，完全平方公式变形求值；根据三角形的面积为和长边与短边的和为，列方程组，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设较长直角边为，较短直角边为， 则， 阴影部分面积为． 故答案为：． 16. 如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为____________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，实数的运算； （1）先算同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，再合并同类项即可； （2）利用整式的除法的法则进行运算即可； （3）先算多项式乘多项式，单项式乘多项式，再合并同类项即可； （4）先算绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 18. 先化简，再求值：．其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算与化简求值；先根据乘法公式，多项式除以单项式，化简式子，再把，代入计算即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式 19. 如图，点E在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，先利用平行线的性质得出，然后利用证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． （1）画出格点三角形关于直线对称的； （2）的面积是 （3）在直线上找出点P，使最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，线段最短，勾股定理； （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）延长，交直线于点，则点即为所求．利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 的面积是 【小问3详解】 如图所示，延长，交直线于点， 此时，为最大值， 则点即为所求． 由勾股定理得，， 最大值为． 故答案为：． 21. 在一个不透明的盒子里装有只有色不同的黑、白两种球共20个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近______； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1） （2）白球有个，黑球有个 （3）个 【解析】 【分析】本题主要考查的是频率折线统计图，频率与总体的关系及分式方程的实际应用，解题的关键是看懂频率折线统计图，再根据频率与总体的关系作答． （1）看折线图最后趋于直线，即可写出摸到白球的频率； （2）根据第一小题算出的白球的概率，再利用频率与总体的关系即可求出白球、黑球的个数； （3）设加进去的白球个数为，再利用频率与总体的关系列分式方程作答即可． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知：当摸球次数很大时，摸到白球的频率稳定在左右， 故答案为：； 【小问2详解】 （个）， （个）， 答：白球有10个，黑球有10个； 【小问3详解】 解：设再放x个白球， ， ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：再放入5个白球． 22. 如图所示，在中： （1）下列操作中，作的平分线的正确顺序是 （将序号按正确的顺序写在横线上）． ①分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，交于点N； ③画射线，交于点D． （2）能说明的依据是 （填序号）． ①，②，③，④角平分线上的点到角两边的距离相等 （3）如图，过点D作于点E，若，的面积是24，的周长为12，求的长． 【答案】（1）②①③ （2）① （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的作法等知识点，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据尺规作图作角平分线的步骤解答即可； （2）根据全等三角形的判定定理和性质定理即可解答； （3）过D作，垂足为F，根据角平分线的性质定理以及等面积法得到 ，再根据三角形的周长公式得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：作 的平分线的正确顺序是②①③， 故答案为：②①③； 【小问2详解】 解：如图：连接 ， 在 和 中，， ∴ ， ∴， 故答案为：①； 【小问3详解】 解：过D作，垂足为F， ∵，， ∴， 解得：， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：，即． 23. 综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短(总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计) 素材2 对该背包的背带长度进行测量，该单层的部分长度是，双层部分的长度是，得到如下数据： 单层部分的长度x(cm) 0 2 4 6 8 … 150 双层部分的长度y(cm) 75 74 73 72      … 0 根据上述的素材，解决以下问题： （1）根据上表中数据的规律，表格中空白处的数据为 （2）请写出双层部分的长度与单层部分长度之间的关系式 ； （3）根据成成同学的身高和习惯，背带的总长度为时，背起来最舒适，请求出此时单层部分的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了表格表示函数关系式，一元一次方程的应用； （1）由表格可知，单层部分的长度，双层部分的长度就减少，进而得出答案； （2）由表格可知，单层部分的长度，双层部分的长度就减少，进而得出答案； （3）由已知可得，再将代入，列出关于的方程式，即可得出答案． 【小问1详解】 由表格可知，单层部分的长度，双层部分的长度就减少， 则空白处的数据为， 故答案为：． 【小问2详解】 ． 故答案为：． 【小问3详解】 ， ， 解得：， 答：此时单层部分的长度． 24. 如图，已知在中，，，，D是上的一点，．点P从B点出发沿射线方向以每秒1个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t，连接． （1）当秒时，求长度； （2）当点P在线段的垂直平分线上时，求t的值； （3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？请直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）求出，再用勾股定理解即可； （2）由垂直平分线的性质得，设，则，用勾股定理解即可； （3）分P在线段上、在线段的延长线上两种情况，先证，推出，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 在中，， ∵ ，， ∴； 【小问2详解】 ∵点P在线段垂直平分线上， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴ ， 解得， ∴ ∴ ； 【小问3详解】 解：5或11 ①当P在线段上时，连接， ∵ ，，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵在中， ， ∴ 解得； ②当P在线段延长线上，连， 同①可证，， 则，， ∵在中， ∴， 解得， 综上：或11． 25. （1）【发现问题】如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D，则与的数量关系是 ， （2）【类比探究】如图2，在和中，，，，连接，，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． （3）【解决问题】如图3，四边形中，，已知，，求的长． 【答案】（1）；（2），，理由均见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质，利用证明，然后运用全等三角形的性质及角的和差即可解答； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明，然后运用全等三角形的性质及角的和差即可解答； （3）先证明可得，进而得到，再运用勾股定理可得即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． （2），，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）过A作，垂足为A，使，连接、， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$