精品解析：山东省德州市宁津县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023−2024学年第二学期期末七年级教学质量检测 数学试题 试卷说明： 本试卷共25题，满分150分，考试时间120分钟，请将题目的答案答在答题纸上，答在本试卷上的一律无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列各数中无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示为做课间操时，小明、小德和小红三人的相对位置，如果用表示小明的位置，表示小德的位置，那么小红的位置可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线平行，同位角相等 C. 内错角相等，两直线平行 D. 两直线平行，内错角相等 5. 下列调查中，最适宜全面调查的是（ ） A. 检测一批灯的使用寿命 B. 测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况 C. 中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率 D. 检测一批家用汽车的抗撞击能力 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A的坐标向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有的关系式是（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 同旁内角相等，两直线平行 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 10. 商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打8折．现有270元，则最多可以购买该商品（ ） A. 10件 B. 11件 C. 12件 D. 13件 11. 《九章算术》中有一题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”译文：现有几个人共同买金，每人出400钱，多出3400钱；每人出300钱，多出100钱．那么人数，金价各是多少？设人数为人，金价为元，则可列出方程组是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，和平分线交于点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，共24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 13. 如果是方程的解，则_________． 14. 某校为了了解学生到校的方式，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，则扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数为___________ ． 15. 物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，若，则的度数为______． 16. 若的算术平方根是5，则的立方根是__________． 17. 对实数x，y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组恰好有3个整数解，则m的取值范围是__________． 18. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点的坐标是______． 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚． 19. 计算： （1）解方程组： （2）解不等式组： 20. 小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． （1）求正方形贺卡的边长； （2）求长方形信封的长和宽； （3）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 21. 在第29个“爱眼日”来临之际，某校数学兴趣小组通过调查统计，形成了如下报告（不完整）． 调查目的 1．了解本校八年级学生的视力健康水平 2．给同学提出更合理地使用眼睛保护视力的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分八年级学生 调查内容 部分八年级学生视力 调查结果 部分学生视力情况频数分布表 视力 频数 频率 部分学生视力情况频数分布直方图 （每组数据含最小值，不含最大值） 建议 … 结合调查报告，回答下列问题： （1）__________，__________，补全须数分布直方图； （2）已知该校八年级有名学生，估计该校八年级视力正常（及以上为正常视力）的人数有多少？ （3）该统计结果引起了同学们的里视，学校提出了“爱护眼睛，守护光明”的倡议，请你结合自身提出两条爱眼护眼的合理化建议． 22. 如图，已知，直线分别交直线、于点E、F，． （1）若，求的度数； （2）若，平分，求的度数． 23. 为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价； （2）随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？ 24. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”． （1）已知点的“级关联点”是点”，则点的坐标为______； （2）已知点的“级关联点”为点位于轴上，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，若存在点，使轴，且，求点的坐标． 25. 如图1，已知直线与直线交于点E，与直线交于点F，平分交直线于点M，且． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）点G是射线上一个动点（不与点M，F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N．设． ①如图2，当点G在点F的右侧，且时，求β的值； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023−2024学年第二学期期末七年级教学质量检测 数学试题 试卷说明： 本试卷共25题，满分150分，考试时间120分钟，请将题目的答案答在答题纸上，答在本试卷上的一律无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列各数中的无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数为无理数，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是无限不循环小数，故该选项符合题意； B、是整数，故该选项不符合题意； C、是有限小数，故该选项不符合题意； D、是分数，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解不等式，并在数轴上表示不等式的解集．先解不等式，再根据不等式在数轴上的表示方法求解即可． 【详解】解：， 解得，， 把不等式的解集在数轴上表示如下： 故选：A． 3. 如图所示为做课间操时，小明、小德和小红三人的相对位置，如果用表示小明的位置，表示小德的位置，那么小红的位置可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，解题的关键是找到坐标原点的位置以建立直角坐标系，除了观察小明位置以确定原点外，也可以观察小德的位置，建好后用另一个已知点坐标验证坐标系是否正确，再确定小红位置即可． 【详解】解：根据小明位置为，在图中建立平面直角坐标系，如图所示： 由图可知，小红位置可表示为. 故选：C． 4. 如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线平行，同位角相等 C. 内错角相等，两直线平行 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定定理，即同位角相等，两直线平行．根据，由同位角相等，两直线平行，即可判定． 【详解】解：如图， ， ． 故选：A 5. 下列调查中，最适宜全面调查的是（ ） A. 检测一批灯的使用寿命 B. 测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况 C. 中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率 D. 检测一批家用汽车的抗撞击能力 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抽样调查与全面调查的区别，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断即可． 【详解】解：A、检测一批灯的使用寿命适宜抽样调查，故不符合题意； B、测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况适宜全面调查，故符合题意； C、中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率适宜抽样调查，故不符合题意； D、检测一批家用汽车的抗撞击能力适宜抽样调查，故不符合题意； 故选：B． 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故正确，符合题意； B．∵， ∴，无法判断与的关系，故错误，不符合题意； C．∵， ∴，故错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∴，故错误，不符合题意； 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A的坐标向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的平移，熟练掌握点坐标的平移规律是解题关键．根据点坐标的平移规律求解即可得． 【详解】解：将点向右平移2个单位长度再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为，即为， 故选：C． 8. 已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组的代入消元法，把②代入①即可得出x、y的关系． 【详解】解： 把②代入①，得， ∴， 故选：A． 9. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 同旁内角相等，两直线平行 C 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判定，平行线的性质，平行公理及其推论．掌握平行线的判定与性质，平行公理及其推论是银题的关键． 根据平行线的判定与性质判断A、B，平行公理及其推论判断C、D即可． 【详解】解：A、因为两直线平行，同位角相等，所以同位角相等是假命题，故此选项不符合题意； B、因为同旁内角互补，两直线平行，所以同旁内角相等，两直线平行是假命题，故此选项不符合题意； C、因为在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以过一点有且只有一条直线与已知直线平行是假命题，故此选项不符合题意； D、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，平行公理的推论，是真命题，故此选项符合题意； 故选：D． 10. 商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打8折．现有270元，则最多可以购买该商品（ ） A. 10件 B. 11件 C. 12件 D. 13件 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式的实际应用．设可以购买该商品x件，根据题意列得，求出解集即可． 【详解】解：设可以购买该商品x件， ， 解得， ∵x为正整数， ∴最多可以购买该商品10件， 故选：A． 11. 《九章算术》中有一题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”译文：现有几个人共同买金，每人出400钱，多出3400钱；每人出300钱，多出100钱．那么人数，金价各是多少？设人数为人，金价为元，则可列出方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设合伙人数为人，金价钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱，每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设合伙人数为人，金价钱， ∵每人出400钱，会剩余3400钱， ∵每人出钱300，会剩余100钱， ， 联立组成方程组得，即， 故选：A． 12. 如图，已知点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，和的平分线交于点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识．过点，，作的平行线，容易得出，和是角平分线，所以，进一步求即可． 【详解】解：如图所示，过点，，作，，， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ， ∵， ， ，， ， 和是角平分线， ， ， ， ∵， ，， ， 即． 故选：A． 二、填空题：本大题共6小题，共24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 13. 如果是方程的解，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解．把代入方程得出，求出a的值即可． 【详解】解：是关于、的方程的一组解， 代入得：， 解得：， 故答案为：3． 14. 某校为了了解学生到校的方式，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，则扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数为___________ ． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合， 根据统计图中的骑车的人数与其占比两项数据可以求得本次调查的学生数，进而求得扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数． 【详解】解：由图可得， 本次抽查的学生有：（人）， 扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数为：， 故答案为：． 15. 物理中有一种现象，叫折射现象，它指是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，根据平行线的性质可得，由对顶角的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若的算术平方根是5，则的立方根是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，立方根．根据的算术平方根是5可得，从而求出a的值，进而求出，即可求出它的立方根． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根是2． 故答案为：2 17. 对实数x，y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组恰好有3个整数解，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次不等式组、由一元一次不等式组的整数解求参数，分两种情况：，，根据新定义列不等式组，求得x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数求m的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，①若，， 由得，（舍）， ②若，， 解得， ∵不等式组有3个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标规律探求，属于常考题型，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键． 观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环，按照此规律解答即可． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， … 按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环， 由于， 所以经过第2024次运动后，动点P的坐标是． 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚． 19. 计算： （1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得：， ∴， ∴不等式组的解集为． 20. 小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． （1）求正方形贺卡的边长； （2）求长方形信封的长和宽； （3）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】（1） （2）长方形信封的长为，宽为 （3）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的应用、无理数的估算等知识点，利用算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长是解题的关键． （1）直接运用算术平方根求解即可； （2）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （3）将贺卡的边长和信封的宽进行比较即可解答． 【小问1详解】 解：正方形贺卡的边长为． 答：正方形贺卡的边长为． 【小问2详解】 解：∵信封的长、宽之比为3：2， ∴设长方形信封的长为，则宽为， 由题意得，即， ∴（负值舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为． 【小问3详解】 解：：正方形贺卡的边长为，信封的宽为 ∵， ∴， ∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 21. 在第29个“爱眼日”来临之际，某校数学兴趣小组通过调查统计，形成了如下报告（不完整）． 调查目的 1．了解本校八年级学生的视力健康水平 2．给同学提出更合理地使用眼睛保护视力的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分八年级学生 调查内容 部分八年级学生的视力 调查结果 部分学生视力情况频数分布表 视力 频数 频率 部分学生视力情况频数分布直方图 （每组数据含最小值，不含最大值） 建议 … 结合调查报告，回答下列问题： （1）__________，__________，补全须数分布直方图； （2）已知该校八年级有名学生，估计该校八年级视力正常（及以上为正常视力）的人数有多少？ （3）该统计结果引起了同学们的里视，学校提出了“爱护眼睛，守护光明”的倡议，请你结合自身提出两条爱眼护眼的合理化建议． 【答案】（1），图见解析 （2）人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表，样本估计总体； （1）先求出总数，进而得出、的值； （2）根据800乘以4.9及以上为正常视力的人数所占的百分比即可； （3）根据爱护眼睛的意义解答即可． 【小问1详解】 解：样本容量为：， ，， 故答案为：；； 直方图如图 【小问2详解】 解：（人）， 答：该校八年级视力正常的人数约有280人； 【小问3详解】 解：①读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书； ②保证充足的睡眠，饮食均衡．（合理即可） 22. 如图，已知，直线分别交直线、于点E、F，． （1）若，求的度数； （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，平角和垂直的定义，角平分线的定义． （1）根据垂直的定义求出的度数，再根据平行线的性质即可求解； （2）根据平角的定义和可得，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义和平角的定义即可求解． 小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 平分， 23. 为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价； （2）随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？ 【答案】（1）每辆A型汽车的售价为18万元，每辆B型汽车的售价为26万元 （2）5辆 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设每辆型车的售价是万元，每辆型车的售价是万元，根据“型汽车的售价比型汽车售价高8万元，本周售出1辆型车和3辆型车，销售总额为96万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售型车辆，则销售型车辆，利用销售总额每辆型车的售价销售型车的数量每辆型车的售价销售型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每辆型车的售价是万元，每辆型车的售价是万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车的售价是18万元，每辆型车的售价是26万元； 【小问2详解】 解：设销售型车辆，则销售型车辆， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：型车至少销售5辆． 24. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”． （1）已知点的“级关联点”是点”，则点的坐标为______； （2）已知点“级关联点”为点位于轴上，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，若存在点，使轴，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题的关键是正确理解“级关联点”的意义，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论； （2）根据关联点的定义和点的“级关联点”N位于y轴上，即可求出点N的坐标； （3）由（2）可求得，再轴，且，分点H在点M左侧和右侧两种情况计算即可 【小问1详解】 解：∵点的“级关联点”是点， ∴点坐标为，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点的“级关联点”是点N， ∴点N坐标为，即， ∵点N位于y轴上， ∴， 解得：， ， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 由（2）得：， ， 轴，且， ∴点的坐标为或． 25. 如图1，已知直线与直线交于点E，与直线交于点F，平分交直线于点M，且． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）点G是射线上的一个动点（不与点M，F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N．设． ①如图2，当点G在点F的右侧，且时，求β的值； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】（1），见解析 （2）①；②或，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题关键． （1）由平分，得到，又，所以 ，证得； ①由平分，平分，得到，由可得，，，即可得到结果； ②当点G在点F的左侧时，由平分，平分，得到，由，得到， ，从而得到结果． 【小问1详解】 解：如图1，， 理由如下： 平分， ， ， ， ． 【小问2详解】 ①如图2，平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； ②和之间的数量关系为或． 理由如下： 当点G在点F的右侧时，由①得， 当点G在点F的左侧时，如图， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 综上得，和之间的数量关系为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$