1.3 .2 正方形的性质与判定 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

1.3 .2 正方形的性质与判定 复习 1.正方形的定义 2.正方形的性质 任务一 将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样剪才能剪出一个正方形？ 任务一 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角/ 一组邻边相等/ 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等， 且一内角是直角 正方形的判定 满足什么样的矩形是正方形？满足什么样的菱形是正方形？ 任务一 已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角 线，AC⊥DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°. ∵ AC⊥DB， ∴ AD = AB = BC = CD. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形. A B C D O 任务一 已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB. ∵ AC = DB， ∴ AO = BO = CO = DO. ∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形. ∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. A B C D O 任务一 常用的正方形判定方法： 定义法 矩形法 菱形法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 任务一 例1 如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形 BECF 是正方形. F A B E C D 任务二 中点四边形问题 如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？ C A B D 任务一 A B C D 1. 如图，顺次连接平行四边形 ABCD 、矩形ABCD 、菱形 ABCD、正方形ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ E F G H H G F E D C B A A B C D O E F G H A B C D O H G F E 决定中点四边形形状的关键因素是什么？ 中点四边形问题 任务二 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线垂直 矩形 对角线相等且垂直 正方形 决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系. 中点四边形问题 小结 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 巩固训练 证明：对角线相等的菱形是正方形． 1. 巩固训练 已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF．求证：四边形AECF是菱形． 2. 巩固训练 如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？ 3. 巩固训练 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′-C′O与正 方形ABCD的边长相等．在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论． 4. 巩固训练 1. 下列命题正确的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是正方形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D 巩固训练 2. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当 AB = BC 时，四边形 ABCD 是菱形 B．当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形 C．当∠ABC = 90°时，四边形 ABCD 是矩形 D．当 AC = BD时，四边形 ABCD 是正方形 D 巩固训练 3. 如图，四边形 ABCD 中，∠ABC = ∠BCD =∠CDA = 90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． AB = BC (答案不唯一) A B C D O 4. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从①AB = BC，②∠ABC = 90°，③AC = BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，其中错误的是_____________（只填写序号）． ②③或①④ 巩固训练 5. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC ，对角线 BD 平分∠ABC，P 是 BD 上一点，过点 P 作 PM⊥AD，PN⊥ CD，垂足分别为 M、N. (1) 求证：∠ADB =∠CDB； (2) 若∠ADC = 90°，求证：四边形 MPND 是正方形. C A B D P M N $$