集合中的重难点与易错点题型综合 讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

集合中的重难点与易错点题型综合 知识点回顾 1．集合的概念 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． 补充：①确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．②互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．③无序性：集合中的元素可以任意排列 (2)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2、集合间的基本关系 3． 子集个数 4．集合的基本运算 5.与集合中元素有关的问题的求解策略 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的． (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 6.根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． 提醒：题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论 7.集合运算中参数问题的求解策略 集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍 具体步骤如下： (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到． (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围． 8.集合新定义问题的求解思路 解决以集合为背景的新定义问题要抓住的两点 (1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质 ①如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析． ②如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到． ③在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性． ④由集合间关系求解参数的步骤：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值． ⑥经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答． 易错考点分类 1、 根据元素与集合的关系及元素的个数求参数（忽略元素的互异性） 解题技巧： 1、与集合元素有关问题解题思路： （1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． （2）看这些元素满足什么限制条件． （3）根据限制条件列式求参数或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性 2、涉及集合中元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性 典例1：若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例2：已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 变式练习 1.已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________． 2、已知集合中的最大元素为，则实数________. 3、已知集合，，则集合中所有的元素之和为（    ） A．0 B．2 C． D． 4、设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5、集合 ，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6、（多选题）若，则实数m的可能取值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 7．已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 8.已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 9、若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 10、已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 二、根据集合的包含关系求参数 典例1、设为全集，集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 典例2：已知，若，求a的取值范围． 变式练习 1、集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B．C． D． 2、已知集合或，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 3、已知集合，，若，则（     ） A．或 B． C． D．或或 4、已知集合． ①若，，求实数的取值范围； ②若，，求实数的取值范围． 5、已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 三、集合间关系的综合应用 典例1：已知集合，集合，若，求实数的取值集合． 典例2：设集合，．若，则a的取值范围为（　　） A．（-∞，1] B．（-∞，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞） 变式练习 1、已知集合，，若，则所有a的取值构成的集合为（　　） A． B． C． D． 2、若集合，，且，则实数的取值集合是什么？ 3、集合，，若，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4、已知全集为R，集合，．若，求实数的取值范围. 5、已知A={x|x24x=0}，B={x|x22（a1）xa21=0}，若B⊆A，求a的取值范围. 6、设集合，，且，求实数的取值范围． 四、韦恩图的应用 典例1、某班有48名学生，有32名学生参加了学校的体育类兴趣小组，有25名学生参加了学校的音乐类兴趣小组，有3名学生这两类兴趣小组都没参加，那么这两类兴趣小组都参加的学生有______人. 典例2、某班有40名同学报名参加集邮、辩论、摄影课外兴趣小组，要求每位同学至少参加其中一项，已知参加集邮、辩论、摄影兴趣小组的人数分别为25，15，13，同时参加三项的同学有2人，只参加集邮与辩论两项的同学有6人，则只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为______人. 变式练习： 1、某班参加数、理、化竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7人，只参加数、理两科的5人，只参加物、化两科的3人，只参加数、化两科的4人，若该班学生共50名，则没有参加任何一科竞赛的学生有______人. 2、某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有______人. 五、集合的新定义问题 解题技巧：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法 典例1、设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 典例2：定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有.若且，则用列举法表示的 . 变式练习： 1、（2022·全国·高一专题练习）设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（       ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 2、（多选题）定义集合运算：，设，，则（       ） A．当，时， B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子 C．中有3个元素 D．中所有元素之和为3 3、设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（　　） A． B． C．8 D．16 4、将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，中的每一个元素都小于中的每一个元素，这种有理数的分割就是数学史上有名的戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中不可能成立的是（       ） A．有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．没有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 5、在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（       ） A．①② B．③④ C．②③ D．②③④ 6、对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素．例如：，运算“”为普通乘法：存在，使得对任意都有，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通减法；②，运算“”为普通加法；③（其中M是任意非空集合，运算“”为求两个集合的交集．（       ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③ 7、设集合为非空实数集，集合，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由． 巩固练习 1、已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 2、已知集合，，若，则实数a＝（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 3、设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B．C．D． 4、已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 5、已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 6、已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7、已知集合，，若，则实数a的取值范围为（　　） A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（4，+∞） D．[4，+∞） 8、设集合，，若，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9、当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”，对于集合，若与构成“偏食”，则实数取值可以是（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 10、已知集合A含有两个元素和，若，求实数a的值. 12、对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的个数是_____． 13、给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论： ①集合A＝{0}为闭集合； ②集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合； ③集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合； ④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合． 其中所有正确结论的序号是__． 14、设集合，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推．若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第位的子集是_________． 15、已知集合，集合若，求实数m的取值范围． 16、已知集合，其中，集合.若，求实数的取值范围. 17、已知，集合或，．若，求实数a的取值范围． 18、已知集合，且，求实数a的取值范围． 19、已知，则a的值为______． 20、已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 21、已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 集合中的重难点与易错点题型综合 知识点回顾 1．集合的概念 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． 补充：①确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．②互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．③无序性：集合中的元素可以任意排列 (2)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2、集合间的基本关系 3． 子集个数 4．集合的基本运算 5.与集合中元素有关的问题的求解策略 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的． (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 6.根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． 提醒：题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论 7.集合运算中参数问题的求解策略 集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍 具体步骤如下： (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到． (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围． 8.集合新定义问题的求解思路 解决以集合为背景的新定义问题要抓住的两点 (1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质 ①如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析． ②如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到． ③在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性． ④由集合间关系求解参数的步骤：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值． ⑥经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答． 易错考点分类 1、 根据元素与集合的关系及元素的个数求参数（忽略元素的互异性） 解题技巧： 1、与集合元素有关问题解题思路： （1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． （2）看这些元素满足什么限制条件． （3）根据限制条件列式求参数或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性 2、涉及集合中元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性 典例1：若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，解得. 故选：A. 典例2：已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，集合，当时，集合； (3) 【详解】（1）解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即 变式练习 1.已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________． 【答案】或 【详解】因为2∈A，所以或，即或. 故答案为：或 2、已知集合中的最大元素为，则实数________. 【答案】1 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意． 故答案为： 3、已知集合，，则集合中所有的元素之和为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】，， ①当时，， 时，，； 时，，满足条件； ②当时，，，满足条件； ③当时，，，满足条件； ④当时，，，满足条件． 从而得到， 所以集合中所有元素之和为． 故选：D． 4、设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意. 故选：D 5、集合 ，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为且，所以且，解得. 故选：B. 6、（多选）若，则实数m的可能取值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】ABD 【详解】三个元素中有且只有一个是3，要分三类讨论． 当时，，此时，，故符合题意； 当时，，此时（注意检验），不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，经检验符合题意． 综上可知，或． 故选：ABD 7．已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)不能取0和4；(2)． 【详解】（1）根据题意，可得，解得且， 因此，实数m不能取0和4； （2）由（1）的结论，可知m≠4， 若，则，解得（不符合题意）， 因此，实数m的值是． 8.已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【答案】C 【分析】根据，分类讨论结合元素的互异性求解即可. 【详解】因为，所以或. 当即时，，满足题意； 当即时， 若，则，满足题意；若，则，不满足题意； 综上，实数的值为或1. 故选：C 9、若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【解析】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D 10、已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【解析】（1），故，解得. （2）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 二、根据集合的包含关系求参数 典例1、设为全集，集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）（1）由题意可得， 当时，， 所以， 因为， 所以 （2）由(1)知，， 若，即，解得，此时满足； 若，要使，则，解得， 综上，若，所求实数的取值范围为 典例2：已知，若，求a的取值范围． 【解析】依题意知，则，其中，故， 记，则在恒成立， 又，故只需，解得， 故a的取值范围是． 变式练习 1、集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：. 故选：A 2、已知集合或，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】当时，无解，此时，满足题意； 当时，有解，即， 若，则，所以要使，需满足，解得； 若，则，所以要使，需满足，解得. 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 3、已知集合，，若，则（     ） A．或 B． C． D．或或 【答案】D 【分析】利用子集的定义讨论即可. 【详解】因为，集合，， 若，则，符合； 若，则或，经检验均符合. 故选：D. 4、已知集合． ①若，，求实数的取值范围； ②若，，求实数的取值范围． 【答案】①；；②. 【分析】①根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围； ②根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围． 【详解】①解：由题可知，，， 若，则，即； 若，则，解得：； 综上，得实数的取值范围是． ②解：已知，，， 则，解得：， 所以实数的取值范围是． 5、已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 【解析】（1）当时，集合，， 故． （2）当时，，即，满足，故满足题意； 当时，，即时，， 解得，于是得，所以， 故实数m的取值范围是． 三、集合间关系的综合应用 典例1：已知集合，集合，若，求实数的取值集合． 【答案】 典例2：设集合，．若，则a的取值范围为 变式练习 1、已知集合，，若，则所有a的取值构成的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 2、若集合，，且，则实数的取值集合是什么？ 【答案】 3、集合，，若，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】选D 4、已知全集为R，集合，．若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】 先求得集合，然后根据是的子集进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【详解】 ，所以. 依题意， （1）当时，即时，符合题意. （2）当时，. 综上所述，的取值范围是. 5、已知A={x|x24x=0}，B={x|x22（a1）xa21=0}，若B⊆A，求a的取值范围. 【答案】a=1或a≤-1. 【分析】先求出集合，由B⊆A，可得当B=A时，0，4是方程x22（a1）xa21=0的两根，从而可求出a的值，当B≠A时，分B=∅，B={0}或B={4}三种情况求解即可 【详解】集合A={0，4}，由于B⊆A，则： （1）当B=A时，即0，4是方程x22（a1）xa21=0的两根，代入解得a=1. （2）当B≠A时： ①当B=∅时，则=4（a1）24（a21）<0， 解得a<1； ②当B={0}或B={4}时，方程x22（a1）xa21=0应有两个相等的实数根0或4， 则=4（a1）24（a21）=0， 解得a=1，此时B={0}满足条件. 综上可知a=1或a≤1. 6、设集合，，且，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】 求出集合中元素，然后根据包含关系确定中元素，从而得参数值或范围． 【详解】 解：因为，且 所以集合可分三种情况． （1）若，此时，所以． （2）若，且，则或，此时，所以 代入方程解得，符合题意，所以． （3）若，此时，即1，2是关于的方程的两个根． 由根与系数的关系，得，且．此时不存在． 综上所述，实数的取值范围． 故答案为：． 四、韦恩图的应用 典例1、某班有48名学生，有32名学生参加了学校的体育类兴趣小组，有25名学生参加了学校的音乐类兴趣小组，有3名学生这两类兴趣小组都没参加，那么这两类兴趣小组都参加的学生有______人. 【答案】12． 【分析】设这两类兴趣小组都参加的学生有a人，作出韦恩图，由韦恩图能求出这两类兴趣小组都参加的学生人数的求法． 【解答】解：设这两类兴趣小组都参加的学生有a人， 由题意作出韦恩图得： 由韦恩图得：32-a+25-a+a+3=48， 解得a=12． 故答案为：12． 典例2、某班有40名同学报名参加集邮、辩论、摄影课外兴趣小组，要求每位同学至少参加其中一项，已知参加集邮、辩论、摄影兴趣小组的人数分别为25，15，13，同时参加三项的同学有2人，只参加集邮与辩论两项的同学有6人，则只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为______人. 【解答】解：由题意作出维恩图如下： 则 ∴7-y+17-x+x+y+z+8=40， 解得z=8． ∴只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为8． 故答案为：8 变式练习： 1、某班参加数、理、化竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7人，只参加数、理两科的5人，只参加物、化两科的3人，只参加数、化两科的4人，若该班学生共50名，则没有参加任何一科竞赛的学生有______人. 【分析】首先分析题目，发现题目已知条件太多，考虑到画图使条件简化，然后根据图形求出单独参加数理化的人数，然后把单独参加数理化的人数和参加2门参加3门竞赛的人数加在一起，即可得到参加竞赛的人数，用总人数减去它即可得到答案． 【解答】解：画三个圆分别代表参加数学、物理、化学的人． 因为参加数、理、化三科竞赛的有7名， 只参加数、物两科的有5名， 只参加物、化两科的有3名， 只参加数．化两科的有4名． 分别填入图形中， 又因为有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛． 故单独参加数学的有8人、单独参加物理的有13人，单独参加化学的有5人， 故8+13+5+5+7+4+3=45是参加竞赛的人数，所以没参加的人数为50-45=5人． 故答案为：5． 2、某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有______人. 【分析】根据参加课外探究小组的人数，结合Venn图进行转化求解即可． 【解答】解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组， 设同时参加数学和化学小组的有x， ∵有16人参加物理小组，∴只参加物理一科的有16-7-5=4人， ∵有27人参加数学小组，∴只参加数学一科的有27-7-x=20-x人， ∵有14人参加化学小组，∴只参加化学一科的有14-5-x=9-x人， ∵总人数为38人， ∴27+4+5+9-x=38， 得x=45-38=7， 故同时参加数学和化学小组的有7人， 故答案为：7． 五、集合的新定义问题 解题技巧：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法 典例1、设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案． 【详解】若不是孤立元，. 设另一元素为， 假设，此时，不合题意，故. 据此分析满足条件的集合为，共有6个. 故选：D 典例2：定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有.若且，则用列举法表示的 . 【答案】 【分析】由题意可得，，或，，或，，然后根据新运算求解即可. 【详解】当时，； 当时，； 当，时，， 所以. 故答案为： 变式练习： 1、（2022·全国·高一专题练习）设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（       ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【解析】对子集A分类讨论： 当A是二元集{3，4}时，此时B可以为{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4结果； 当A是三元集{1，3，4}时，此时B可以为{2，3，4}，{3，4}，共2种结果； 当A是三元集{2，3，4}时，此时B可以为{1，3，4}，{3，4}，共2种结果； 当A是四元集{1，2，3，4}时，此时B取{3，4}，有1种结果， 根据计数原理知共有4+2+2+1＝9种结果． 故选：C． 2、（多选题）定义集合运算：，设，，则（       ） A．当，时， B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子 C．中有3个元素 D．中所有元素之和为3 【答案】BCD 【解析】，，， 当，时，；当，时，； 当，时，；当，时，， A不正确；B正确；而，C，D都正确． 故选：BCD 3、设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（　　） A． B． C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据集合的定义先求出集合，然后再把集合中所有元素相乘即可求解. 【详解】由题意，， 由集合的定义可知，集合中有以下元素：①，②，③，④， 根据集合中元素满足互异性去重得， 所以中所有元素之积为. 故选：C. 4、将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，中的每一个元素都小于中的每一个元素，这种有理数的分割就是数学史上有名的戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中不可能成立的是（       ） A．有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．没有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 【答案】A 【解析】M有一个最大元素，N有一个最小元素， 设M的最大元素为m，N的最小元素为n，若有m＜n， 不能满足M∪N=Q，A错误； 若，；则没有最大元素， 也没有最小元素，满足其它条件，故B可能成立； 若，，则没有最大元素， 有一个最小元素0，故C可能成立； 若，；有一个最大元素， N没有最小元素，故D可能成立； 故选：A． 5、在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（       ） A．①② B．③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【解析】因为，故，故①错误； 而，故，故②正确； 由“类”的定义可得， 任意，设除以4的余数为，则， 故，所以， 故，故③正确 若整数a，b属于同一“类”，设此类为， 则，故即， 若，故为的倍数，故a，b除以4 的余数相同， 故a，b属于同一“类”， 故整数a，b属于同一“类”的充要条件为，故④正确； 6、对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素．例如：，运算“”为普通乘法：存在，使得对任意都有，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通减法；②，运算“”为普通加法；③（其中M是任意非空集合，运算“”为求两个集合的交集．（       ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③ 【答案】D 【解析】①若，运算“”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素； ②，运算“”为普通加法，其单位元素为0； ③（其中是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集， 其单位元素为集合． 故选：D． 7、设集合为非空实数集，集合，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由． 【解析】（1）因为，故集合中所有可能的元素有，即， （2）设，不妨设， 因为，所以中元素个数大于等于7个， 又，，此时中元素个数等于7个， 所以积集B中元素个数的最小值为7． （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，使其积集， 不妨设，则集合A的生成集 则必有，其4个正实数的乘积； 又，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集 巩固练习 1、已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【解析】由， 若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性； 若，即，则不符合集合元素的互异性. 故. 故选：B. 2、已知集合，，若，则实数a＝（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】B 【分析】对于集合，元素对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据韦达定理以及，可确定出其中的元素，进而求解. 【详解】对于集合N，因为， 所以N中有两个元素，且乘积为-2， 又因为，所以， 所以．即a＝1． 故选：B. 3、设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】解绝对值不等式得到集合，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解. 【详解】集合， 或 又，所以或 即或，即 所以的取值范围为 故选：D 4、已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【解析】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 5、已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由题意知：为方程的根， 当时，； 当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时. 故选:B. 6、已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 7、已知集合，，若，则实数a的取值范围为（　　） A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（4，+∞） D．[4，+∞） 【答案】选B 8、设集合，，若，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】选B 9、当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”，对于集合，若与构成“偏食”，则实数取值可以是（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】BD 【解析】因为集合，且与构成“偏食”， 所以或， 当时，得，此时，符合题意， 当时，得，此时，符合题意， 综上，或， 故选：BD 10、已知集合A含有两个元素和，若，求实数a的值. 【答案】0或-1 【分析】分与两种情况，进行求解，检验后得到答案. 【详解】若，则，此时，满足要求， 若，解得，此时，满足要求， 综上：或-1 11、已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是______. 【答案】2或4 【分析】对，分类讨论即可. 【详解】若，则，符合题意； 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意. 故答案为:2或4. 12、对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的个数是_____． 【答案】13 【解析】∵当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n； 当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn， ∴集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，} ＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1）， （1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}， 共13个元素，故答案为：13 13、给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论： ①集合A＝{0}为闭集合； ②集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合； ③集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合； ④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合． 其中所有正确结论的序号是__． 【答案】①③ 【解析】①0+0＝0，0﹣0＝0，0∈A，故①正确； ②当a＝﹣4，b＝﹣2时，a+b＝﹣4+（﹣2）＝﹣6∉A，故不是闭集合，∴②错误； ③由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，∴③正确； ④假设A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，但是，3+5∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，∴④错误． 正确结论的序号是①③． 故答案为：①③． 14、设集合，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推．若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第位的子集是_________． 【答案】 【解析】根据题意，将全部的子集按“势”从小到大顺序排列为： ，，，，，，，． 故排在第6的子集为． 故答案为： 15、已知集合，集合若，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】 （1）确定集合，由子集定义得不等式关系可得结论，注意分类讨论； 【详解】 解：由，解得， ， ， 当时，有，解得； 当时，有，解得， 综上，实数m的取值范围为 16、已知集合，其中，集合.若，求实数的取值范围. 【答案】 由知：，对进行讨论即可求解. 【详解】 解：显然，即， 当， 即时，， 又， ， 解得：； 当， 即时，， 又， ， 解得：， 综上所述：实数的取值范围为. 17、已知，集合或，．若，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】 当时，可得集合B，根据，可列出方程组，求得a的范围；当时，经检验符合题意；当时，根据，可列出方程组，求得a的范围，综合即可得答案. 【详解】 令，解得或， 当时，，所以集合或， 因为，所以，解得，所以， 当时，集合B=R，满足， 当时，，所以集合或， 因为，所以，解得，所以， 因为 所以实数a的取值范围为. 18、已知集合，且，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】因为，，， 所以，即满足. 即恒成立，即. 故答案为： 19、已知，则a的值为______． 【答案】/ 【详解】因为，所以，解得：， 故答案为：． 20、已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【解析】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 21、已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【解析】（1）由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. 学科网（北京）股份有限公司 $$