4.7 相似三角形的性质 课件 - 2023--2024学年北师大版九年级数学上册

图形的相似 成比例线段 位似变换 相似多边形 相似三角形 判定 性质 两角相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 测高 本章我们研究《图形的相似》的脉络是什么？ 边 角 对应角相等 对应边成比例 猜想： 三角形中，除了角和边之外，还有哪些重要元素？在相似三角形中它们有什么关系？ 4.7 相似三角形的性质 第四章 图形的相似 第1课时 相似三角形中的对应线段之比 1、经历探索相似三角形中对应线段之比与相似比的关系的过程，知道相似三角形的性质. 2、能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题. 3、在探索过程中体会类比思想、由特殊到一般的数学思想. 学习目标 在搭建模型过程中，小王已经利用前面学习的线段的比制作了柱子，利用相似多边形的知识搭建了宫殿墙壁及道路等，现在要搭建金顶的屋顶，他又遇到了一个难题，屋顶要搭建多高呢？ 情境引入：同学们还记得本章开始搭建咱们河南老君山模型的小王吗？ 探究一：小王依据图纸上的∆ABC，应以 1: 2 的比例建造了金顶的屋顶∆A'B'C'，CD 和 C'D'分别是它们的立柱。 (1)∆ACD和∆A'C'D'相似吗?为什么? 如果相似，指出它们的相似比. (2) 如果 CD =1.5 cm，那么 金顶的屋顶立柱C'D'有多高? 追问:如果把∆ABC 与 ∆A'B'C'的相似比改为 k，则 CD与 C'D'的比为多少? 总结:相似三角形对应高的比等于相似比 证明：∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠BAD=∠B′A′D′ ∴△BAD∽△B′A′D′ 推理验证探究2 如图，△ABC∽△A′B′C′,相似比为k，AD、A′D′分别是角平分线，求证： ∵AD、A′D′分别是角平分线 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 证明：∵△ABC∽△A′B′C′ ∴△BAD∽△B′A′D′ 推理验证探究3 如图，△ABC∽△A′B′C′,相似比为k，AD、A′D′分别是BC、B′C′的中线，求证： 相似三角形的性质： 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 归纳总结 8 如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、…n等分线，对应边的三等分线、四等分线、…n等分线，那么它们也具有特殊关系吗？ 变式拓展探究： 如图，已知△ABC∽△A1B1C1， △ABC与△A1B1C1的相似比为k. 如图，已知△ABC∽△A1B1C1， △ABC与△A1B1C1的相似比为k. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 （3）你能得到哪些结论？ 相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比。 （相似三角形对应线段的比都等于相似比） 典例讲解 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E. （1）当SR= BC时，求DE的长. （2）如果SR = BC呢？ 如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. (1)AE是Δ ASR的高吗？为什么？ (2) ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ (3)求正方形PQRS的边长. S R Q P E D C B A 例题变式 （1）AE是ΔASR的高吗？为什么？ 解： AE是ΔASR的高. 理由： ∵AD是ΔABC的高 ∴ ∠ADC=90° ∵四边形PQRS是正方形 ∴SR∥BC ∴∠AER=∠ADC=90° ∴ AE是ΔASR的高. BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. S R Q P E D C B A BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. （2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ 解： ΔASR与ΔABC相似. 理由: ∵ SR∥BC ∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C ∴ ΔASR ∽ ΔABC S R Q P E D C B A （3）求正方形PQRS的边长. 是方程思想哦！ 解：∵ ΔASR ∽ ΔABC AE、AD分别是ΔASR 和ΔABC 对应边上的高 ∴ 设正方形PQRS的边长为 x cm, 则SR=DE=x cm,AE=(40-x)cm ∴ 解得：x=24 ∴正方形PQRS的边长为24cm. S R Q P E D C B A 全等三角形与相似三角形性质比较 全等三角形 相似三角形 类比学习 对应边____ 对应角______ 对应高______ 对应中线_____ 对应角平分线____ 对应边______ 对应角_____ 对应高的比等于__________ 对应中线的比等_________ 对应角平分线的比等于________ 相似比 相似比 相似比 周长_____ 面积______ 周长的比_________ 面积的比_________ ? ? 相等 相等 相等 相等 相等 相等 相等 成比例 相等 课堂小结 18 作业 课本习题4.11 基础作业：1,2,3,4 弹性作业：基训6 梦在前方 行则将至 行则将至 $$