专题—分数乘法简便运算（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

分数乘法简便运算专题 以前学过“整数乘法运算定律的应用”，现在的分数只是以前学过知识的迁移、拓展，将“整数”改成“分数”而已，其运算定律依然没变，仍然适用。 混合运算，重在运算顺序，即先乘除后加减，有小括号先算括号里面的 简便运算，涉及的定律和整数乘法一样，主要有3个： ①乘法交换律：a×b＝b×a ②乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c） ③乘法分配律：（a+b）×c＝a×c+b×c 做题时，要善于观察，仔细审题，发现数字与数字之间的关系，根据题意来选择适当的公式或方法，进行简便运算。 八种分数乘法简便运算常见题型 第一种类型：连乘 第二种类型：乘法分配律的应用 第三种类型：乘法分配律的逆运算 第四种类型：添加“×1”（构造乘法分配律） 第五种类型：整数乘分数（构造乘法分配律） 第六种类型：含有带分数（构造乘法分配律） 第七种类型：交换分子/分母（构造乘法分配律） 第八种类型：裂项相消 第一种类型：连乘——乘法交换律和结合律 乘法交换律：a×b×c=a×c×b 乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c） 基本方法：通过交换位置或加小括号，让能约分的或积为整数的先相乘。 ( 交换 的位置，变成 ，可直接约分。 ) ( 交换15和 的位置，变成 ，可直接约分。 ) ( 的积为整数，所以交换 的位置 ) ( 很明显 可以约分，先计算这一步比较简单。原则上同级运算没有括号需要从左往右依次计算，连乘的算式可以通过加括号的方式改变运算顺序。 ) 练习1： 第二种类型：乘法分配律的应用 乘法分配律：a×(b±c)=ab±ac 基本方法：括号外的数与括号内的数能约分或积为整数，用括号外的数乘括号内的每一个数，符号保持不变。 ( 4与 一个能约分，一个相乘的积是整数。 ) ( 很明显27与 的积是整数，利用乘法分配律计算要简便得多。若按运算顺序则要先算括号里面的，异分母分数相减需要通分再计算。 ) ( 把【6 × 18】看作一个整体，无需提前算出。【6 × 18】与 的积是整数。 ) ( 把【7 × 5】看作一个整体，无需提前算出。【7 × 5】与 的积是整数。 ) 第三种类型：乘法分配律的逆运算 乘法分配律逆定律：ab±ac=a×(b±c) 基本方法：有相同因数的，先把相同因数提出括号外，剩下的因数用括号括起来，再相加减。 ( 把相同因数 提出来，把不同因数 放在括号里，中间符号保持不变。 ) ( 把相同因数 提出来，把不同因数 放在括号里，中间符号保持不变。 ) 练习2： 第四种类型：添加“×1”（构造乘法分配律） 乘法分配律逆定律：ab±ac=a×(b±c) 题目特点：“±”左右两边不对称，且有一个因数重复出现 基本方法：将其中一个数n化成n×1，原式转化为两两之积相加减的形式，再提取公因数，按乘法分配律逆定律计算。 ( 减号左右两边不对称，有相同因数 ，将 化成 ，这个时候已经构造出符合乘法分配律的算式结构，后面的运算按分配律计算即可。 ) ( 有相同因数23，将23化成23 × 1，再按分配律计算即可。 ) 第五种类型：整数乘分数（构造乘法分配律） 乘法分配律：a×(b±c)=ab±ac 题目特点及基本方法： ①一个因数很接近另一个因数的分母或分母的倍数，通常相差1→ 将整数化成分数的分母或分母倍数加减一个数的形式，再用乘法分配律计算； ②分数很接近1，分子、分母相差1→ 将分数化成1减一个数（该分数的分数单位）的形式，再用乘法分配律计算。 ( 19和 的分母倍数18很接近，将19化成18+1，构造出符合乘法分配律的算式结构，后面的运算按分配律计算即可。 ) ( 85和 的分母很接近，将85化成86-1，构造出符合乘法分配律的算式结构，后面的运算按分配律计算即可。 ) ( 很接近1，把 化成1- ，构造出符合乘法分配律的算式结构。 ) ( 很接近1，把 化成1- ，构造出符合乘法分配律的算式结构。 ) 练习3： 第六种类型：含有带分数（构造乘法分配律） 乘法分配律：a×(b±c)=ab±ac 基本方法：带分数不能直接参与乘除运算，将带分数化成加式或减式（整数±分数），再用乘法分配律计算。 ( 化成 ，方便与另一因数 约分计算。 ) ( 也可化成5- ，即（ ） × 10=50-2=48 ) ( 化成 ，方便与另一因数 约分计算。 ) 练习4： 第七种类型：交换分子/分母（构造乘法分配律） 乘法交换律：a×b×c=a×c×b 乘法分配律逆定律：ab±ac=a×(b±c) 题目特点：与乘法分配律结构相似，但无法直接找到公因数 基本方法：相乘的两个分数通过交换分子或分母得到公因数，再按乘法分配律逆定律计算。 ( 交换 的分子1和5，以此得到公因数 ；也可交换 的分母17、9，得到： ) ( 交换 的分子2和6，以此得到公因数 ；也可交换 的分母9、7，得到： ) ( 将27拆成3 × 9， 结合得到 ，以此找到公因数。 ) ( 将35拆成5 × 7， 结合得到 ，以此找到公因数。 ) 练习5： 第八种类型：裂项相消 基本方法：将一个分数拆成两个或两个以上的分数相加或相减的形式，再进行计算。 （1）裂差 特点：符号相同（连加必裂差）； 分子是两数之差，分母是两数之积且“首尾相连”。 方法：直接拆成两个分数单位相减（分子为1的分数） 公式： （2）裂和 特点：符号加减交替（加减交替必裂和）； 分子是两数之和，分母是两数之积且“首尾相连”。 方法：直接拆成两个分数单位相加（分子为1的分数） 公式： 练习6： 分数乘法简便运算专题练习答案 练习1： 练习2： 练习3： 练习4： 练习5： 练习6： ( 第 1 页 共 7 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$