专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【练习：9题型】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版·必修一）

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（练习） 内容概览 01：二次函数的图像分析与判断 1 02：解不含参数的一元二次不等式 3 03：解含参数的一元二次不等式 4 04：由一元二次不等式的解求参数 5 05：一元二次方程根的分布情况 6 06：一元二次不等式与对应的函数、方程间的关系问题 7 07：一元二次不等式在某区间的恒成立问题 9 08：一元二次不等式在某区间的有解问题 10 09：利用一元二次函数处理实际问题 11 题组训练 01：二次函数的图像分析与判断 1．（多选）（23-24高一上·浙江·阶段练习）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．是抛物线上两点， 2．（多选）（23-24高一上·江西抚州·阶段练习）已知二次函数为常数)的对称轴为，其图象如图所示，则下列选项正确的有（    ）    A． B． C． D．关于的不等式的解为或 3．（多选）（23-24高一上·广东潮州·阶段练习）如图，若二次函数的图象的对称轴是直线，则下列四个结论中，错误的是（   ）    A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（    ）    A． B． C． D．（其中且） 02：解不含参数的一元二次不等式 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是 6．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为 . 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式： (1)； (2)． 8．（高一·全国·竞赛）设集合、，且，求实数k的取值范围. 03：解含参数的一元二次不等式 9．（多选）（23-24高一下·山东淄博·期中）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A．不等式的解集是 B． C．不等式的解集为 D．设x的不等式的解集为N，则 10．（2024高二下·浙江·竞赛）设集合，集合．若，则实数的取值范围为 ． 11．（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式． (1)（）； (2)． 12．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 04：由一元二次不等式的解求参数 13．（24-25高一上·上海·课堂例题）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围 . 14．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数 (1)若的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式． 15．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若不等式的解集是，求的值； （2）已知不等式的解集为，求不等式的解集. 16．（23-24高二上·广东湛江·期中）已知不等式的解集是． (1)求实数的值． (2)解不等式． 05：一元二次方程根的分布情况 17．（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知、、，关于不等式的解集为． (1)若方程一根小于，另一根大于，求的取值范围； (2)在（1）条件在证明以下三个方程：，，中至少有一个方程有实数解． 19．（2024高一上·江苏·专题练习）设为关于的方程的两实数根. (1)若满足，试求的值； (2)若均大于0，求的取值范围. 20．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程 ，当方程的根满足下列条件时，求的取值范围. (1)有两个实数根，且一个比2大，一个比2小； (2)至少有一个正根. 06：一元二次不等式与对应的函数、方程间的关系问题 21．（多选）（高一上·浙江台州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 22．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知不等式的解集为. (1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； (2)若为非零实数，解关于的不等式：. 23．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 24．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时. （i）对任意的恒成立，求实数的取值范围； （ii）求不等式的解集. 07：一元二次不等式在某区间的恒成立问题 25．（高一下·江苏·开学考试）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为 . 27．（高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，． (1)命题p：，命题q：，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (2)若，恒成立，求实数m的取值范围． 28．（高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知命题：“”是真命题 (1)求实数m的取值集合B； (2)设关于x的不等式的解集为A，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 08：一元二次不等式在某区间的有解问题 29．（2024高三·全国·专题练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 30．（23-24高一下·安徽·开学考试）已知集合，命题“，”是真命题. (1)求实数a的取值集合B； (2)在（1）的条件下，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 31．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 32．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命题，，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 09：利用一元二次函数处理实际问题 33．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 34．（高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 35．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 36．（23-24高一上·安徽黄山·阶段练习）“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（练习） 内容概览 01：二次函数的图像分析与判断 1 02：解不含参数的一元二次不等式 4 03：解含参数的一元二次不等式 6 04：由一元二次不等式的解求参数 10 05：一元二次方程根的分布情况 13 06：一元二次不等式与对应的函数、方程间的关系问题 16 07：一元二次不等式在某区间的恒成立问题 20 08：一元二次不等式在某区间的有解问题 23 09：利用一元二次函数处理实际问题 26 题组训练 01：二次函数的图像分析与判断 1．（多选）（23-24高一上·浙江·阶段练习）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．是抛物线上两点， 【答案】ABC 【分析】利用抛物线的性质逐个选项分析判断即可. 【详解】由图知该抛物线开口向上，故，对称轴是直线，， 故，即，故B正确， 抛物线与轴的交点在轴下方，，故A正确， 由抛物线对称性得该函数图像必过，可得，结合，可得，故C正确， 易知点到对称轴距离相等，故，故D错误， 故选：ABC 2．（多选）（23-24高一上·江西抚州·阶段练习）已知二次函数为常数)的对称轴为，其图象如图所示，则下列选项正确的有（    ）    A． B． C． D．关于的不等式的解为或 【答案】BCD 【分析】由图知，，设的两根分别为，由得，可判断AC选项；由，可判断B选项；利用可解D选项中不等式. 【详解】由图知，当时，， 设的两根分别为，两根均大于0，则，， 所以，故A错误； 由，（因为故取不到等号），所以，所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 对D： 等价于：， 等价于：，（) 等价于：， 等价于：，其解为或.故D正确. 故选：BCD 3．（多选）（23-24高一上·广东潮州·阶段练习）如图，若二次函数的图象的对称轴是直线，则下列四个结论中，错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由图象得出a， c的符号，由对称轴的位置即可得a与b的关系，即可判断A与B选项，由抛物线与x轴的交点个数即可判断C选项，由图象知和时y值相等，由此可判断D选项． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴， ∵抛物线的对称轴为直线，∴， ∴，∴，故A正确； ∵，∴，故B错误； ∵抛物线与x轴有两个交点，∴， ∴，∴C正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴和时，y的值相等， ∴当时，，∴， ∴，∴D错误. 故选：BD． 4．（多选）（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（    ）    A． B． C． D．（其中且） 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数图象，结合二次函数的性质用表示，再逐项判断得解. 【详解】观察图象知，二次函数图象对称轴为，过点， 由对称性得该图象还过点，于是，即，显然， 因此，，，，C错误，AB正确； 当时，，而， 即，D正确. 故选：ABD 02：解不含参数的一元二次不等式 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是 【答案】 【分析】根据给定条件，分类讨论，再结合二次函数的图象性质列式求解作答． 【详解】当时，恒成立，则； 当时，依题意，二次函数的图象总在x轴下方， 于是，解得. 综上， 故答案为：. 6．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式并对参数的取值进行分类讨论，再由解集中存在整数解且只有一个整数解即可求得的取值范围为. 【详解】由，得或， 所以的解集与或的交集中存在整数解，且只有一个整数解. 当时，的解集为，此时，即，满足要求； 当时，的解集为，此时不满足题设； 当时，的解集为，此时，即，满足要求. 综上，的取值范围为. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用绝对值不等式解法求解即可；（2）将不等式转化为或，结合一元二次不等式解法求解即可. 【详解】（1）（方法1）原不等式等价于解得． 所以原不等式的解集为． （方法2）两边同时平方得，化简得， 即，解得， 所以原不等式的解集为． （2）原不等式等价于或，即或， 故或或． 数轴如图． 所以原不等式的解集为． 8．（高一·全国·竞赛）设集合、，且，求实数k的取值范围. 【答案】或 【分析】 由一元二次不等式分和解出集合，再利用交集的运算求出取值范围. 【详解】或， 令，即，所以，， 当时，，， 由得或，解得； 当时，，， 由得或，解得； 综上，或. 03：解含参数的一元二次不等式 9．（多选）（23-24高一下·山东淄博·期中）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A．不等式的解集是 B． C．不等式的解集为 D．设x的不等式的解集为N，则 【答案】ABD 【分析】先利用题给条件求得三者正负号和三者间的关系，进而判断选项A和选项B；化简不等式的解集，判断选项C；设，，根据图象判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为 则,且关于的方程的根为，， 则，解之得， 则不等式为，所以解集为， ，所以A、B都正确； 不等式可化为，即， 所以解集为，或，故C错误； 设，， 则函数的图象向上平移一个单位得的图象，如图，    所以不等式的解集为N，则，D正确. 故选：ABD 10．（2024高二下·浙江·竞赛）设集合，集合．若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出集合A，再根据集合的子集关系和二次函数性质求出参数范围 【详解】因为，要使, 则, 则, 所以. 故答案为：. 11．（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式． (1)（）； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据两种情况，进行求解； （2）分，，，和，分类讨论，求出不等式的解集. 【详解】（1） ①当，即时，原不等式无解． ②当，即或时， 方程的两根为，， 则原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式无解； 当或时，原不等式的解集为； （2）若，原不等式等价于，解得． 若，原不等式等价于， 解得或． 若，原不等式等价于， ①当时，，无解； ②当时，，解得， ③当时，，解得， 综上所述，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 12．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)6. 【分析】（1）解含参一元二次不等式，即可得答案； （2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）不等式即为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上可知：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号， 故的最小值为6. 04：由一元二次不等式的解求参数 13．（24-25高一上·上海·课堂例题）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】根据题意和不等式与对应一元二次方程的关系，对参数分类讨论即可求解. 【详解】当时，不等式为，解集为； 当时，关于的不等式的解集为，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 故答案为： 14．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数 (1)若的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 因为的解集为，可得，解得， 所以，则， 因为，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的取值范围为. （2）解：由且，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 15．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若不等式的解集是，求的值； （2）已知不等式的解集为，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，由韦达定理即可求解， （2）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，由韦达定理即可求，进而可求解. 【详解】（1）的解集是，则是对应方程的两个根，故且，解得， 当时，不等式为，满足题意， 故 （2）若不等式的解集为，则，3是对应方程的两个根，且， 则，即， 则不等式等价为， 即， 即， 解得， 即不等式的解集为 16．（23-24高二上·广东湛江·期中）已知不等式的解集是． (1)求实数的值． (2)解不等式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用给定的解集，结合赵大宝列式计算即得. （2）由（1）的结论，化不等式为不等式组求解即可. 【详解】（1）由不等式的解集是，得是方程的二根，且， 于是，解得， 所以. （2）由（1）知，不等式化为，即或， 解，得或，解，无解， 所以原不等式的解集是. 05：一元二次方程根的分布情况 17．（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】说明时，不合题意，从而将化为，令，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案. 【详解】当时，即为，不符合题意； 故，即为， 令， 由于关于的方程有两个不相等的实数根，且， 则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故， 故选：D 18．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知、、，关于不等式的解集为． (1)若方程一根小于，另一根大于，求的取值范围； (2)在（1）条件在证明以下三个方程：，，中至少有一个方程有实数解． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集判断，得到，结合题意可得，即可求得答案； （2）利用反证法，假设三个方程都没有实数解，可得它们的判别式都小于0，求得a的范围，出现矛盾，即可证明原结论. 【详解】（1）因为关于不等式的解集为， 即的解集为， 故，且1，3为的两根， 则，即， 又方程一根小于，另一根大于， 设，而，则， 即， 结合，可得的取值范围为. （2）证明：假设，，都没有实数解， 则它们的判别式都小于0， 即，即，解得， 这与的取值范围为矛盾， 故，，中至少有一个方程有实数解． 19．（2024高一上·江苏·专题练习）设为关于的方程的两实数根. (1)若满足，试求的值； (2)若均大于0，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理结合完全平方式列式计算即可； （2）根据根的分布利用韦达定理列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为为关于的方程的两实数根， 所以，即， 因为， 所以或（舍去）. （2）因为均大于0，所以， 所以，解得或， 即的取值范围是. 20．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程 ，当方程的根满足下列条件时，求的取值范围. (1)有两个实数根，且一个比2大，一个比2小； (2)至少有一个正根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则由题意可得，求解即可得答案； （2）采用正难则反的原则再进行分类讨论即可. 【详解】（1）设， 则由题意可得，解得. （2）关于x的方程无实数根时，， 解得， 关于x的方程有两个负实数根时， ，解得， 所以关于x的方程无实数根时或有两个负实数根时， 可得关于x的方程至少有一个正实数根，则. 06：一元二次不等式与对应的函数、方程间的关系问题 21．（多选）（高一上·浙江台州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】利用一元二次不等式的解集性质可知，且和是方程的两个不等实根，再利用韦达定理即可得解. 【详解】对于A，由关于的不等式的解集为可得，故A正确； 对于B，易知和是方程的两个不等实根，所以，又，所以，即B正确； 对于C，令，显然，所以不满足， 将代入可得，即，所以C错误； 对于D，由AB分析可知，即，又， 所以不等式可化为，也即，解得， 因此不等式的解集为，即D错误； 故选：AB 22．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知不等式的解集为. (1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； (2)若为非零实数，解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得的解集为，利用一元二次不等式的解集与对应方程根的关系可得，；的解集为，利用一元二次不等式恒成立可得，进而解不等式，结合题意即可求解； （2）由（1），结合含参一元二次不等式的求法，对a、b进行分类讨论，即可求解. 【详解】（1）因为，不等式的解集为， 故的解集为且的解集为， 所以的根为，，故，化简得，， 又的解集为，即恒成立， 所以，解得， 不等式等价于，即， 所以，由题意得，解得， 综上所述，的取值范围为. （2）若，由（1）得原不等式可化为，即， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为； 若，原不等式等价于的解集为且的解集为， 所以方程的根为2和3， 则，，所以，， 不等式恒成立，故，解得， 不等式，解得或， 综上所述，当时，解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 23．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1)12 (2)答案见解析 【分析】（1）根据根与系数的关系得，，再利用完全平方公式的变形求解； （2）讨论两根大小求解一元二次不等式. 【详解】（1）当时，. 由题意可知是方程的两个不同实根，则，， 故. （2）不等式可转化为. 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 24．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时. （i）对任意的恒成立，求实数的取值范围； （ii）求不等式的解集. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）答案见解析. 【分析】（1）不等式的解集为，等价于的两根为和，且，根据韦达定理求解； （2）（i）对恒成立对恒成立，由一次函数的性质即可求解； （ii）分类讨论解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由题意可知的两根为和，且， ∴由根与系数的关系得，解得. （2）. （i）∵对恒成立对恒成立 对恒成立， ∴由一次函数性质得，解得， 故的取值范围为. （ii）， 当，则，解得； 当，则，解得或； 当，则， 当时，，解，得； 当时，，解，得； 当时，，解，得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 07：一元二次不等式在某区间的恒成立问题 25．（高一下·江苏·开学考试）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】注意到原题条件等价于当时，恒成立，当时，恒成立，故当时，，从而得，由此结合基本不等式即可求解. 【详解】设，， 因为，所以当时，； 当时，； 时，； 由不等式恒成立，得或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，， 则，即， 则当时，，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：C． 26．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由含有量词的命题的否定，转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】命题“，满足不等式”是假命题， 所以，不等式恒成立， 设，， 则有，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 27．（高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，． (1)命题p：，命题q：，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (2)若，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求解可得，再根据充分与必要条件的性质可得可得集合区间端点的关系列式即可； （2）由题意，，恒成立，再根据二次函数的性质求解最值即可. 【详解】（1）解不等式，即，解得， 所以，． 由于p是q的必要非充分条件，则是的真子集，所以，解得， 因此，实数的取值范围是； （2）由，都有，得，， 令，， 当时，y取最大值为，所以，． 因此，实数m的取值范围是． 28．（高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知命题：“”是真命题 (1)求实数m的取值集合B； (2)设关于x的不等式的解集为A，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全称命题为真列不等式求解即可得数m的取值集合； （2）分类讨论解含有参数的一元二次不等式，结合充分必要条件即可得实数a的取值范围． 【详解】（1）∵“”是真命题， ∴， ∴当时，， ∵函数的图像开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，的最大值为， ∴当时，． ∴实数m的取值集合． （2）∵， ∴不等式等价于． ①当，即时，， 又“”是“”的充分不必要条件， ∴是的真子集，即包含于， ∴，∴； ②当，即时，，符合题意； ③当，即时，， 又“”是“”的充分不必要条件， ∴是的真子集，即包含于， ∴，∴； 综上，实数a的取值范围为． 08：一元二次不等式在某区间的有解问题 29．（2024高三·全国·专题练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围. 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 30．（23-24高一下·安徽·开学考试）已知集合，命题“，”是真命题. (1)求实数a的取值集合B； (2)在（1）的条件下，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）利用一元二次不等式有解，列式求解即得. （2）由（1）的结论，利用充分不必要条件的定义，借助集合包含关系求解即得. 【详解】（1）由命题“，”是真命题，得，解得或， 所以实数a的取值集合或. （2）显然，由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于， 则或，解得或， 所以实数m的取值范围是或. 31．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得的值； （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，的解集是或， 所以，解得. （2）时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以的范围为. 32．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命题，，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为真命题，利用判别式求解； （2）利用判别式求命题为真命题时的取值范围，结合（1）求并集可得结果. 【详解】（1）若命题，为真命题， 则，解得， 即实数的取值范围是． （2）若命题，为真命题， 则，解得或，即， 所以，若命题、至少有一个为真命题． 则，即 则实数的取值范围是． 09：利用一元二次函数处理实际问题 33．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式求解. 【详解】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 34．（高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【答案】(1)40 (2)102万平方米，30欧元/平方米 【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米，根据条件建立不等关系，即可解决问题； （2）根据条件建立不等关系，整理得到，再利用基本不等式即可解决问题. 【详解】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 由题知，即，解得， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. （2）由题意得，整理得， 两边同除以得， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，故该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到102万平方米时，才可能使 年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，此时的售价为欧元/平方米. 35．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】(1)100 (2)存在， 【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解； （2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. （2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 36．（23-24高一上·安徽黄山·阶段练习）“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 【答案】(1)米 (2)平方米 【分析】（1）设草坪的长为米，宽为米，根据面积得到关于的等量关系，再结合长比宽至少多米得到关于的不等式，由此求解出结果； （2）设整个绿化面积为平方米，根据图形列出的表达式，然后结合已知条件利用基本不等式求解出的最小值. 【详解】（1）设草坪的宽为米，长为米，由面积为平方米，可得， 因为矩形的长比宽至少多米，所以， 所以，解得， 又因为，所以， 所以草坪宽的最大值为米． （2）设整个绿化面积为平方米，由题意可得 ， 当且仅当即时，等号成立， 故整个绿化面积的最小值为平方米． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$