专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【讲义：知识点+9题型】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版·必修一）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 知识点1：一元二次不等式 1 知识点2：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 2 知识点3：一元二次不等式的解法 2 题型1：一元二次不等式不含参数的解法 3 题型2：一元二次不等式含参数的解法 5 题型3：由一元二次不等式的解确定参数 6 题型4：一元二次不等式根的分布特点 7 题型5：一元二次不等式与对应的函数、方程间的关系问题 8 题型6：一元二次不等式的恒成立问题 9 题型7：一元二次不等式在某区间上有解问题 9 题型8：一元二次不等式在几何中的应用 10 题型9：利用一元二次不等式处理实际问题 11 学习目标导航 关键词 1. 通过实例，了解集合的含义、体会元素与几何的“属于”关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用 （1）集合元素 （2）数集 知识点1：一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解与解集 使某个一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解，元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集. 知识点2：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1，x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大取两边，小取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点3：一元二次不等式的解法 1. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： （1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 2. 解含参数的一元二次不等式的一般步骤： （1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； （2）若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； （3）若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 题型1：一元二次不等式不含参数的解法 【典例1】（24-25高一上·上海·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 方法点拨：解不含参数的一元二次不等式的步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图； (5)根据图象写出不等式的解集. 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【变式1-3】（2025高三·全国·专题练习）解下列关于x的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10). 题型2：一元二次不等式含参数的解法 【典例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 方法点拨：含有参数的一元二次不等式的讨论原则 (1)不等式对应的方程有实根，只是两根大小由参数的范围决定，故按根的大小讨论参数， (2)若二次项系数含有参数，需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论，对于不为0的情况再按大于0或小于0进行讨论. (3)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定，需对其判别式d进行讨论。 【变式2-1】（24-25高一上·上海·假期作业）解关于的不等式： (1)； (2). 【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数的不等式：． （2）解关于实数的不等式：． 【变式2-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（1）解不等式； （2）解关于的不等式. 题型3：由一元二次不等式的解确定参数 【典例3】（24-25高一上·上海·单元测试）已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 【变式3-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． 【变式3-2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）解决下列问题. (1)已知关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式3-3】（23-24高一下·江西上饶·开学考试）已知不等式. (1)若不等式的解集是或，求的值； (2)若不等式的解集是，求的取值范围. 题型4：一元二次不等式根的分布特点 【典例4】（23-24高一上·湖北黄冈·期中）设集合或，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【变式4-2】（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于x的不等式的解集为M. (1)若，求k的取值范围； (2)若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围. 【变式4-3】（23-24高一上·河南·阶段练习）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)若两根同号，求实数的取值范围； (2)求使得的值为整数的整数的值． 题型5：一元二次不等式与对应的函数、方程间的关系问题 【典例5】（多选）（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 【变式5-1】（多选）（23-24高一上·云南·期中）若关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）（21-22高三上·山东枣庄·期中）已知关于x的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）已知，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 题型6：一元二次不等式的恒成立问题 【典例6】（24-25高一上·上海·假期作业）（1）已知， ①如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； ②如果对，恒成立，求实数的取值范围. （2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式6-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·重庆·期末）对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-3】（23-24高一上·陕西西安·期末）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7：一元二次不等式在某区间上有解问题 【典例7】（23-24高一上·湖南张家界·期中）（1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式7-1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）若命题为真命题，则m的取值范围为 . 【变式7-2】（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【变式7-3】（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 题型8：一元二次不等式在几何中的应用 【典例8】在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为 ． 【变式8-2】（高一上·广东深圳·期末）如图，有一个小矩形公园，其中，现过点修建一条笔直的围墙（不计宽度）与和的延长线分别交于点，现将小矩形公园扩建为三角形公园. (1)当多长时，才能使扩建后的公园的面积最小？并求出的最小面积. (2)当扩建后的公园的面积最小时，要对其进行规划，要求中间为三角形绿地（图中阴影部分），周围是等宽的公园健步道，如图所示. 若要保证绿地面积不小于总面积的，求健步道宽度的最大值.（小数点后保留三位小数） 参考数据：. 参考公式：. 题型9：利用一元二次不等式处理实际问题 【典例9】（24-25高一上·上海·课后作业）已知学校超市准备制订新一年的热饮销售计划，根据去年的统计，当热饮单价为1.5元/杯时，每日可卖出800杯，且单价每提高0.1元时，日销售量就降低20杯．若该热饮成本为0.9元/杯，为使今年的日销售利润不低于720元，应如何控制热饮的单价？ 方法点拨：用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 (1)理解题意，把条件进行转化，或者画出示意图，厘清各量满足的条件，找出关键量和不等关系; (2)引进数学符号，依据条件建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学问题，即一元二次不等式问题; (3)解所得的不等式(或求函数最值); (4)回归到实际问题，根据题目的实际意义解决问题。 【变式9-1】（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）某产品的总成本为万元，与产量台的关系是，其中，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是（　　） A．60台 B．90台 C．120台 D．150台 【变式9-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）甲厂以千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．若要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则的取值范围是 ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 知识点1：一元二次不等式 1 知识点2：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 2 知识点3：一元二次不等式的解法 2 题型1：一元二次不等式不含参数的解法 3 题型2：一元二次不等式含参数的解法 8 题型3：由一元二次不等式的解确定参数 10 题型4：一元二次不等式根的分布特点 12 题型5：一元二次不等式与对应的函数、方程间的关系问题 15 题型6：一元二次不等式的恒成立问题 17 题型7：一元二次不等式在某区间上有解问题 19 题型8：一元二次不等式在几何中的应用 21 题型9：利用一元二次不等式处理实际问题 24 学习目标导航 关键词 1. 通过实例，了解集合的含义、体会元素与几何的“属于”关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用 （1）集合元素 （2）数集 知识点1：一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解与解集 使某个一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解，元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集. 知识点2：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1，x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大取两边，小取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点3：一元二次不等式的解法 1. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： （1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 2. 解含参数的一元二次不等式的一般步骤： （1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； （2）若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； （3）若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 题型1：一元二次不等式不含参数的解法 【典例1】（24-25高一上·上海·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次不等式即可； （2）（3）（4）利用配方法求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）原不等式化为，∴． 故所求不等式的解集为． （2）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （3）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （4）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． 方法点拨：解不含参数的一元二次不等式的步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图； (5)根据图象写出不等式的解集. 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用一元二次不等式的解法对各个不等式逐个化简求解即可． 【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是． （2）不等式可化为，∴不等式的解集是． （3）不等式可化为，即，∴不等式的解集是． （4）不等式可化为，∴不等式的解集是． 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：方法一：由方程， 因为， 方程的两个实数根为，． 函数的简图，如图所示， 所以不等式的解集是． 方法二：因为原不等式， 结合一元二次不等式的解法，可得原不等式的解集是． （2）解：方法一：因为方程，可得， 所以方程有两个相等的实根， 函数的简图，如图所示， 所以原不等式的解集是． 方法二：因为不等式原不等式等价于， 所以原不等式的解集是． （3）解：方法一：由方程，可得，此时方程无实数解， 函数的简图，如图所示，所以原不等式的解集为． 方法二：由不等式，所以原不等式的解集为． 【变式1-3】（2025高三·全国·专题练习）解下列关于x的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】（1）（2）两题用一元二次不等式解法即可求解； （3）（4）（10）三题用解分式方程的解法即可求解； （5）（8）用解绝对值不等式的解法即可求解； （6）（7）（9）解高阶不等式用穿针引线法可以求解； 【详解】（1）由，得，即， 所以，所以不等式的解集为. （2）原不等式可化为或， 所以解集为{或}. （3）由题得 由可得：或，又， 则得或，即不等式的解集为. （4）由，得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. （5）当，即时，，得，此时，， 当，即时，，得，此时，， 综上所述，，即不等式的解集为. （6）原不等式可化为或， 即或． 由图可知，原不等式的解集为或． （7）原不等式可化为，即， 即或，即或． 由图可知，原不等式的解集为或. （8），令，则，原不等式为：，即， 由，则或，即. （9）对于， 当时，，原不等式等价于， 等价于，解得或，即； 当时，，原不等式成立，所以是原不等式的一个解； 综上，原不等式的解集为. （10）对于，变形为，即，与同解， ，即. 题型2：一元二次不等式含参数的解法 【典例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将原不等式等价转换为即可求解； （2）由一元二次不等式与一元二次方程根的关系，只需对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）原不等式等价于，即，． ∵，∴原不等式的解集为． （2）∵的两根为，． ①当即时，，即； ②当即时，，即或； ③当即时，，即或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 方法点拨：含有参数的一元二次不等式的讨论原则 (1)不等式对应的方程有实根，只是两根大小由参数的范围决定，故按根的大小讨论参数， (2)若二次项系数含有参数，需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论，对于不为0的情况再按大于0或小于0进行讨论. (3)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定，需对其判别式d进行讨论。 【变式2-1】（24-25高一上·上海·假期作业）解关于的不等式： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）将不等式因式分解，即可分类讨论求解. 【详解】（1）由可得， 当时，不等式的解为或； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为或 （2）由可得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数的不等式：． （2）解关于实数的不等式：． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析； 【分析】对不等式所对应方程的判别式进行判断，分情况讨论参数即可求得（1）（2）中的不等式解集. 【详解】（1）易知方程的， 由得，解得， 当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为． （2）对方程 ， 当时， 即时,不等式的解集为 当时， 即或时, 的根为， 不等式的解集为； 综上可得，时,不等式的解集为， 或时，不等式的解集为. 【变式2-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（1）解不等式； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）或；（2）答案见解析 【分析】（1）根据题意，利用分式不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）不等式，可化为， 即，即，解得或， 所以不等式组的解集为或. （2）①当时，原不等式化为，解集为； ②当时，原不等式化为，解集为； ③当时，原不等式化为； 当时，，原不等式的解集为空集； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为. 题型3：由一元二次不等式的解确定参数 【典例3】（24-25高一上·上海·单元测试）已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）由求解即可； （2）由是方程的根，且求解即可． 【详解】（1）解：∵，则，得， 即，解得， 因此，实数的取值范围是． （2）∵，则是方程的根，且， 则 解得或． 【变式3-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． 【答案】， 【分析】利用一元二次不等式的解与相应一元二次方程的根的关系，结合韦达定理求得后再解相应的不等式即可． 【详解】由的解集为，知的两根为，2， 所以解得所求不等式为， 变形为，即， 所以不等式的解集为． 【变式3-2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）解决下列问题. (1)已知关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三个二次之间的关系结合韦达定理运算求解； （2）分和两种情况，结合一元二次不等式的恒成立问题列式求解； 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 可知，且和是关于的方程的两个实数根， 则，解得. （2）因为关于的不等式恒成立， 当时，成立， 当时，满足，解得， 综上：实数的取值范围 【变式3-3】（23-24高一下·江西上饶·开学考试）已知不等式. (1)若不等式的解集是或，求的值； (2)若不等式的解集是，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由一元二次不等式的性质可知方程的两根为，再由韦达定理可解. （2）由二次函数的性质可得关于的不等式组，解出即可. 【详解】（1）由题意可知方程的两个根分别为， 由韦达定理可知，解得，经检验满足题设. （2）若不等式的解集是，即恒成立，则满足，解得. 题型4：一元二次不等式根的分布特点 【典例4】（23-24高一上·湖北黄冈·期中）设集合或，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，分类讨论的整数的情况，求出参数的范围. 【详解】由题知，方程的两根异号，且两根之积为. 设，， ①若中恰有两个整数为，，则，解得； ②若中恰有两个整数为，， 则且，； ③若中有两个整数为，， 则且，； 综上可得 故选：B 【变式4-1】（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 【变式4-2】（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于x的不等式的解集为M. (1)若，求k的取值范围； (2)若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分类讨论，结合二次函数性质可得； （2）由一元二次不等式的解集结合一元二次方程根的分布可得. 【详解】（1）当时，或. 当时，恒成立； 当时，，解得，不恒成立，舍去. 当时， 解得或. 综上可知，k的取值范围为或. （2）由可得或. 因为不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根， 所以关于x的方程有两个不相等的负根， 设为，，则， 解得， 综上可知，k的取值范围为. 【变式4-3】（23-24高一上·河南·阶段练习）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)若两根同号，求实数的取值范围； (2)求使得的值为整数的整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程两个不相等的实数根．则，两根同号则，解不等式组可得； （2）变形为，由韦达定理代入整理可得，由整数要求得，进而求解验证值可解. 【详解】（1）由题意得即， 所以实数的取值范围为； （2）由（1）知，当时，方程有两个实数根， 可知， 于是， 由，则，则， 即要使的值为正整数，且为整数，则， 则有，化简得，则， 令，此时为整数，则满足题意． 故使得的值为整数的整数的值为. 题型5：一元二次不等式与对应的函数、方程间的关系问题 【典例5】（多选）（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 【答案】BC 【分析】结合一元二次不等式与二次函数的关系及函数的平移得到，从而得到，即可判断A、B、C，由韦达定理得到，利用基本不等式判断D. 【详解】因为关于一元二次不等式的解集为（其中）， 所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，， 又关于一元二次不等式的解集为， 即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，， 又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的， 又开口向下，对称轴为， 由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）： 所以， 则，所以，，所以，故A错误，B正确； 又，，所以，故C正确； 因为、为关于的方程的两根， 所以，， 又，所以，所以， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 显然，所以，故D错误. 故选：BC 【变式5-1】（多选）（23-24高一上·云南·期中）若关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合根与系数关系，逐一判断即可. 【详解】根据题意不等式的解集为,可得， 由得，， 即，，,,,． 故选： 【变式5-2】（多选）（21-22高三上·山东枣庄·期中）已知关于x的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由关于的不等式的解集是，则是一元二次方程的两根 ．利用根与系数的关系等即可判断出结论． 【详解】由关于x的不等式的解集是， 所以是一元二次方程的两根； 所以，选项A正确； ，选项B正确； 所以，选项D正确． 由，可得：是错误的，即选项C错误． 故选：ABD． 【变式5-3】（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）已知，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 【答案】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知：为的零点，运算整理结合基本不等式求解. 【详解】∵则有：当时，则，当时，则 ∴当时，则，当时，则 即为的零点 ∴，则 ∴，当且仅当即时等号成立 故答案为：. 题型6：一元二次不等式的恒成立问题 【典例6】（24-25高一上·上海·假期作业）（1）已知， ①如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； ②如果对，恒成立，求实数的取值范围. （2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）①；② ；（2） 【分析】（1）①根据判别式即可列不等式求解， ②由二次函数的性质，结合分类讨论即可求解， （2）分类讨论即可求解. 【详解】（1）①由题意可得，解得， ②为开口向上的二次函数，对称轴 如果对，恒成立，则或或 解得 （2）①若；此时不等式为，满足题意， ②若， 综上可得 【变式6-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知恒成立， 当时，恒成立， 当时需满足，即，求得， 所以实数的取值范围是 故选：C 【变式6-2】（23-24高一上·重庆·期末）对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由题意首先考虑为零的情况，再考虑的情况，需满足，解不等式组即可得答案. 【详解】当时，明显成立， 当时，则，即，解得， 综上： 故选：B. 【变式6-3】（23-24高一上·陕西西安·期末）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分讨论，当时利用判别式求解即可. 【详解】由不等式可得， 当时，原不等式为，恒成立，符合题意； 当时，由恒成立， 可得，解得， 综上，则的取值范围是. 故选：C 题型7：一元二次不等式在某区间上有解问题 【典例7】（23-24高一上·湖南张家界·期中）（1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）题目转化为，利用均值不等式计算最值得到答案. （2）变换得到，计算函数的最小值得到答案. 【详解】（1）当时，有解， 即在上有解， 又，于是等价于， 故，又， 当且仅当即，即时等号成立，所以 所以实数的取值范围是 （2）当时，恒成立． 因为，且当时有最大值为， 所以等价于． 在区间上的最小值为，故只需即可， 所以实数的取值范围是． 【变式7-1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）若命题为真命题，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用二次函数性质求解可得. 【详解】由题意，不等式有解，即不等式有解， 设，则函数图象开口向上， 要使不等式有解，则函数图象与轴有交点， 则，化简得，解得或． 故答案为： 【变式7-2】（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【详解】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式7-3】（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据基本不等式及一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】若不等式 有解, 即即可, 由题意可知： ， 当且仅当 , 即时, 等号成立, 可得, 即, 解得或, 所以实数 的取值范围是. 故答案为： 题型8：一元二次不等式在几何中的应用 【典例8】在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用表示，再根据矩形的面积不小于300m2列出不等式，即可求出结果. 【详解】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，， 所以，因为，所以， 即，解得. 故选:C 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题. 【变式8-1】一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，结合根的判别式，韦达定理进行求解. 【详解】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，则，解得：或 设的两根为，，不妨令，则， 由题意得：，解得：，结合或，所以实数k的取值范围为 故答案为： 【变式8-2】（高一上·广东深圳·期末）如图，有一个小矩形公园，其中，现过点修建一条笔直的围墙（不计宽度）与和的延长线分别交于点，现将小矩形公园扩建为三角形公园. (1)当多长时，才能使扩建后的公园的面积最小？并求出的最小面积. (2)当扩建后的公园的面积最小时，要对其进行规划，要求中间为三角形绿地（图中阴影部分），周围是等宽的公园健步道，如图所示. 若要保证绿地面积不小于总面积的，求健步道宽度的最大值.（小数点后保留三位小数） 参考数据：. 参考公式：. 【答案】(1)当时，公园的面积最小，为 (2) 【分析】（1）设，由几何关系表示出的面积函数，结合基本不等式求最小值； （2）如图所示，三角形绿地为，过作交于，延长交于G， 设健步道宽度为x，由几何关系求得中上的高（为中上的高），即可由相似比表示出三角形绿地的面积函数不等式，从而求得结果. 【详解】（1）设，矩形中，，则，∴， ∴ ， 当且仅当时，等号成立. 故当时，公园的面积最小，为； （2）由题意得，，，，，中EF上的高为， 如图所示，三角形绿地为，过作交于，延长交于G，易得. 设健步道宽度为x，则， 设中上的高h2，则， 则中上的高， 由得，解得. 故健步道宽度的最大值为. 题型9：利用一元二次不等式处理实际问题 【典例9】（24-25高一上·上海·课后作业）已知学校超市准备制订新一年的热饮销售计划，根据去年的统计，当热饮单价为1.5元/杯时，每日可卖出800杯，且单价每提高0.1元时，日销售量就降低20杯．若该热饮成本为0.9元/杯，为使今年的日销售利润不低于720元，应如何控制热饮的单价？ 【答案】答案见解析. 【分析】根据题意列出不等式，即可根据一元二次不等式求解. 【详解】解：设该热饮的销售单价提高元，由题意可得， 化简得， 解得， 所以热饮的单价为，即． 故热饮的单价为 方法点拨：用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 (1)理解题意，把条件进行转化，或者画出示意图，厘清各量满足的条件，找出关键量和不等关系; (2)引进数学符号，依据条件建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学问题，即一元二次不等式问题; (3)解所得的不等式(或求函数最值); (4)回归到实际问题，根据题目的实际意义解决问题。 【变式9-1】（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 【变式9-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）某产品的总成本为万元，与产量台的关系是，其中，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是（　　） A．60台 B．90台 C．120台 D．150台 【答案】D 【分析】根据利润=销售额总成本，列出不等式，然后解一元二次不等式即可得解. 【详解】由题意，有，即， 所以，解得或（舍）． 故选：D. 【变式9-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）甲厂以千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．若要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意列出一元二次不等式，，解出解集，结合，从而得到的取值范围； 【详解】根据题意，， 即，解得或． ∵， ∴，即的取值范围是． 故答案为：. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$